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第五章测量平差系统的可靠性理论1.ppt

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1、第五章 测量平差系统的可靠性理论,5.1 测量平差系统可靠性研究概述,一、可靠性研究的必要性 1. 测量平差模型误差包含系统误差、粗差和偶然误差。 2. 采用附加参数的平差方法消除系统误差对平差结果的影响。 3. 传统的粗差发现方法(重复观测、几何图形限制约束、人工发现)工作量大,难免有遗漏。因此:在观测中粗差的位置和大小不确定,需要进行多余观测,来发现粗差,提高观测数据的可靠性。,可靠性研究的内容: 测量领域的可靠性定义:是指一个平差系统发现模型误差(粗差、系统误差)的能力和不可发现粗差对平差系统的影响。 1. 从理论上研究平差系统发现模型误差的能力(内部可靠性), 及不可发现、不可区分的模

2、型误差对平差结果的影响(外部可靠性)。 2. 从实际上寻求平差过程自动发现和区分模型误差以及确定 模型误差位置的方法,开发数据处理与优化设计软件。 例:,二、可靠性研究的发展概况 可靠性研究的基础:数理统计假设检验 1. 经典的假设检验为苇曼和皮尔逊1933年提出。 2. 荷兰Baarda教授从测量平差的范畴于19671968年提出, 其可靠性理论从单个一维备选假设出发,研究平差系统发 现单个模型误差的能力和不可发现的模型误差对平差结果 的影响。 概念: 内部可靠性:平差系统发现模型误差的能力。 外部可靠性:不可发现的模型误差对平差结果的影响。 Baarda检验原理:从已知的单位权方差出发,导

3、出了粗差 的数据检测法(Data Snooping)。,3. 1983年,Frstner第一次提出模型误差的可区分性,从 两个一维备选假设出发,由检验量之间的相关系数来区分模 型误差。在单个粗差检测方面: Frstner, Koch 等导出了未知方差因子的t检验量。 Pope, Koch导出了检验量。在多个粗差检验方面: Frstner, Koch导出了F检验量。4. 19841986年间,李德仁院士的博士论文。 从高斯马尔科夫模型含两个多维备选假设出发,研究总体 相关和最大相关,并导出内部和外部可靠性理论,可发现与 可区分的模型误差的下界,及不可区分不可发现的模型误差 对平差的影响。,三、粗

4、差定位的方法 1. Baarda的数据检测法 把粗差归入函数模型,利用数据检测法来发现和消除粗 差。 2. 把粗差归入平差随机模型,利用选择权函数法,在逐次 迭代平差中赋予含粗差观测值很小的权,来实现粗差的 自动剔除。 3. 应用情况 Baarda提出了单个模型误差的可靠性理论得到了广泛的 应用,由于多个模型误差的可靠性理论研究的复杂性, 尚未得到广泛的应用。多个模型误差是适合于现实情况的,5.2残差理论与可靠性矩阵一、观测误差对平差改正数的影响未被发现的粗差进行了平差,而这时平差结果却满足精度要求。例1:在6点相对定向时,假设4点的上下视差有100m的粗差(3-2-1a),而平差后结果如图(

5、3-2-1b).平差后最大残差不在4点;设观测值中误差为10m;用简单的 方法按v的绝对大于3倍中误差难以发现 该粗差。,例2 在摄影测量四角布设平面控制点的平面区域网平差中,图3-2-2 摄影比例尺:1:18000 成图比例尺: 1:10000 像幅:1818 摄影机主距:115.28mm 区域大小:41516假设:给定任一点10m的粗差结果:平差后在四点上差生的残差仅为0.1m结论: 1)观测值粗差在平差改正数中的反应总是小于(最多等于)原始的粗差; 2)第i个粗差对所有改正数产生影响,最大的影响不一定在本改正数上。所以,不能仅依据 和 来判断粗差,二、观测值误差与改正数之间的关系,法方程

6、式为 改正数为记:,误差方程式:,由(4-2-3a)知: 1) 改正数与观测值向量 L 有关。 2) 改正数与设计矩阵B,观测 权阵P有关,与设计图形和观测精度有关。残差与观测误差(真误差)的关系:由(4-2-3a)有:,1. 某一观测值改正数 与 的关系,结论: 1)每个观测值改正数 受所有观测值误差的作用。 2)每个观测值误差 影响的大小取决于相应的系数:,图示:结论:任一观测值误差对所有改正数有影响,作用大小取决于 中第i行第 j列元素。,2. 某一观测值误差 对所有改正数 的影响,结论:观测值误差对自身改正数的影响大小取决于,3. 某一观测值误差对自身改正数的影响 图示:,三、 矩阵的

7、特性1、 为幂等矩阵 即:幂等阵的特性:(1)特征值为0或1 。(2)幂等阵的秩等于其迹。(3)若A为幂等阵,则E-A亦为幂等阵。(4)幂等对称阵至少是半正定的(特征值为非负的)。(5)当幂等对称阵对角元素为0或1时,则该列的其他元素必为零。 2. 平差的多余观测数r等于 矩阵之迹(主对角元素之和),3、 为降秩方阵 因为幂等阵的秩等于其迹,故 所以 的凯利逆是不存在的。 4、 的第i个对角线元素称之为第i个观测值的多余观测分量 且意义:代表该观测值在总的多余观测数中所占的分量,对独立观测值平差,即 P 为对角矩阵,有: 当 ,则意为该观测值为必要观测;,当 ,则意为该观测值完全多余,即未参加

8、平差,此时有: 由此式说明,多余观测分量代表观测差 反映在改正数 中的百分比。讨论:(1)、一般情况下,观测值误差只能部分反映在它的改正数中。(2)、当没有多余观测(r=0)时,所有多余观测分量 均为零,意味着所有的观测值误差将全部作用到解算的未知数中,而所有的观测值改正数皆为零,r越近于0抗差能力越弱。 (3)、r=1,完全多余粗差全部反映在对应的观测值上,r越近于1说明该观测值的抗差能力越强。,5、 由 矩阵计算改正数的中误差,当观测值为独立观测值时:,四、粗差的估计,1. 粗差的估计设 为第i个观测值的粗差估值 由式则其粗差估值为: 2. 粗差估值的精度。由误差传播定律有:,例:设:则:

9、求得 研究说明:1. 若某观测值估求的粗差该法对大、中等粗差较为有效。2. 粗差估值的精度要低于观测值本身的精度,且取决于多余观测分量。,六、多余观测分量的计算方法,多余观测分量仅依赖于观测的几何图形(一级设计矩阵)和观测值的观测精度(权矩阵),可在观测实施前算出。1、计算方法 组成法方程系数矩阵 求逆阵 计算,七、多余观测分量的值域,独立观测值为0,1,P64实例,5-3 可靠性的统计检验方法(数据探测法),残差大的并不能说明粗差大。更为关心的问题: 1)、如何根据残差v来统计地判断平差系统中是否存在粗差; 2)、在一定的可靠性下,多大的粗差在平差中被发现。,一、数据探测的简单推导(Baar

10、da数据探测法)假设:(1)最多只存在一个粗差。(2)观测值的单位权方差已知且为 。(3)权矩阵为对角矩阵。构建变量: 为 第i个对角元素显然 为标准化残差。即: 服从标准正态分布,当观测值 不存在粗差时,结论:可对标准化残差 的统计检验来判断 是否存在粗差。方法:1. 给定一个显著水平 (通常令2. 由正态分布表得到检验的临界值 ( )。3. 若 ,则接受零假设(认为该观测值为正常观测值); 若 ,则认为该观测值可能含有粗差。,通常情况下方差未知,例1:设 设则标准化残差为:或因此, 不含粗差,例2:设 则或则 舍弃,放弃H0假设*此两例说明了多余观测分量对检验量 的影响,二、Baarda数

11、据探测法的原假设和备选假设的另一种表示方法,构造检验量:当 含有粗差 时,对改正数的影响为:对检验量产生的误差为:结果:使wi的分布函数产生相应的平移,称为非中心化参数讨论:* 几何条件愈弱(ri 愈小),粗差对检验量wi影响越小; * 观测值的中误差 愈大,粗差对检验量wi的影响越小,Baarda数据探测法的原假设和备选假设的另一种表示方法,H0(原假设):观测值无粗差,检验量wi的期望为: (备选假设):观测值li含有粗差 ,它导致 则wi的密度函数产生大小为 的位移,期望为:,如果 ,接受原假设,即观测值Li不含粗差;,通常情况下,先验方差未知,此时,可用t检验代替,假设检验的抉择可能性

12、,统计检验有四种不同抉择的可能性:原因:由于改正数和标准化残差同时受粗差和偶然误差的影响。第错误:尽管原假设成立,但由于 而错误地将H0拒绝 , 其弃真概率为0 第类错误:尽管 成立,即存在粗差,但 而错误地放弃 , 其纳伪概率为:p,1一个观测值至少必须出现多大的粗差 ,才能以所给定的检验功效0 在显著性水平0的检验中被发现,即,在给定的0和 0的条件下,能发现的最小粗差 方法:步骤1)根据给定的0和 0,由标准正态分布表查0; 2)由式求与之对应的可发现的最小粗差: 可见:下界值 与观测值的中误差 、平差系统的几何条件ri、检验参数有关,5.4平差系统的可靠性度量指标,K、之间的关系,1)

13、第一类错误的概率检验临界值:K值愈大值愈小;2)检验功效和非中心化参数关系:K一定时,愈大,检验功效1-愈大,同时,第类误差的概率愈小;3)检验功效1-与的关系:当一定时, 愈大,检验功效1-愈大。,和的关系(K=3),和的关系(=4),讨论:,a) 下界值 0一般不等于检验的临界值K(如右表);b) 观测值的多余观测分量ri愈小,所能发现的粗差下界值愈大。因此,对独立观测值,ri也可用来判断内部可靠性的尺度;,观测值的可控性数值 (即极限误差)根据其下界难以直接比较可靠性好与坏,为此定义: (无单位) 由此可见:可控性数值给定是:粗差的下界值至少是观测值中误差的 倍即观测值的粗差至少为其中误差的多少倍,才能在给定的显著水平和检验功效的把握下被发现,可控性数值越小,探测粗差的能力越强。,3外部可靠性度量指标可发现的最小粗差也就是不可发现的最大粗差,因此,外部可靠性定义为不可发现的最大粗差对平差参数及其函数的影响。1)不可发现的最大粗差对平差参数的影响,当观测值为独立观测值时:,设Li中未能发现的最大粗差为,2)外部可靠性指标(影响函数长度)Baarda给出的外部可靠性指标:,3)不可发现粗差对平差参数的影响,

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