1、一.求和方法大集锦1.分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。例如：求 1/2+3/4+7/8+9/16+(2n-1)/(2n)的话，可以将通项(2n-1)/(2n)写成 1-2(-n)这样就变成每一项都是 1-X（X 为通项）的公式对于通项-2(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2.数列累加法 (1)逐差累加法 例3 已知 a1=1, an+1=an+2n 求 an 解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, an-an-1=2n-1 将以上 n-1个式子相加可得 an=a1+2+22+23
2、+24+2n-1=1+2+22+23+2n-1=2n-1 注：对递推公式形如 an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法 求通项公式，特别的，当 f(n)为常数时，数列即为等差数列。 (2)逐商叠乘法 例4 已知 a1=1, an=2nan-1(n2)求 an 解：当 n2时， =22, =23, =24, =2n 将以上 n-1个式子相乘可得 an=a1.22+3+4+n=2 当 n=1时，a1=1满足上式 故 an=2 (nN*) 注：对递推公式形如 an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当 g (n)为常数时，数列即为等比数列3.裂项求和当一项可以拆时需要注
3、意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+1/n*（n+1 ） 可拆为 1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4 ）+ （1/n-1/ （n+1） ）然后你会发现从-1/2 到 1/n 全部能想消掉，故只剩下首项和末项。 4.倒序相加最简单的是等差数列用倒序相加求和：1 到 9 1+9=10 2+8=10。 。 。所以便有首项加末项乘以项数除以二。1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+.+1/99*100 =1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+.+(1/99-1/100) (裂项） =1+1-1/2+1/2-1/3+.-1/99+1/99-1/100 (
4、消元） =2-1/100 =199/100 5.错位相减这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn 乘上 q（等比的比例常数） 如：Sn （数列和）=1+2+4+8+2(n-1)+2n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+2n+2(n+1) 用后式-前式:Sn=2(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。 分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如 1+3+4+9+2n+3n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。 二.数列概念大综合1.一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关
5、系：an=s1(n=1) an=Sn=Sn-1(n2) 错位相减：这个可以求出和与求通项公式和首相的关系，常用与等比数列，Sn 乘上 q（等比的比例常数） 如：Sn（数列和）=1+2+4+8+2(n-1)+2n 左右乘上2：2Sn=2+4+8+16+2n+2(n+1) 用后式-前式:Sn=2(n+1)-1 这就得出了总和与通项式的关系 。2.分组求和：此为裂项求和的反运算，但是没有裂项求和用的频繁，那个是有分式首先就想到裂项求和，如 1+3+4+9+2n+3n 实际上可以看成两个或多个数列，但有时混在一起而且条件不充分时不容易发现。3、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+
6、(n-k)d (其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项) 当 d0 时，an 是关于 n 的一次式；当 d=0 时，an 是一个常数。 4、等差数列的前 n 项和公式：Sn= Sn= Sn= 当 d0 时， Sn 是关于 n 的二次式且常数项为0；当 d=0 时（a10） ，Sn=na1 是关于 n 的正比例式。 5、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k ( 其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项，an0) 6、等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时，Sn=n a1 (是关于 n 的正比例式)； 当 q1 时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数
7、列的结论 7、等差数列an的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m 、S4m - S3m、仍为等差数列。 8、等差数列an中，若 m+n=p+q，则 9、等比数列an中，若 m+n=p+q，则 10、等比数列an的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m 、S4m - S3m、仍为等比数列。 11、两个等差数列an与bn 的和差的数列an+bn 、an-bn仍为等差数列。 12、两个等比数列an与bn 的积、商、倒数组成的数列 an bn、 、 仍为等比数列。 13、等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 14、等比数列an的
8、任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 15、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d 16、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 17、an 为等差数列，则 (c0)是等比数列。 18、bn（bn0）是等比数列，则logc bn (c0 且 c 1) 是等差数列。 19、分组法求数列的和：如 an=2n+3n 29、错位相减法求和：如 an=(2n-1)2n 20、裂项法求和：如 an=1/n(n+1) 21、求数列an的最大、最小项的方法： an+1-an= 如 an= -2n2+29n-3 (an0) 如 an= an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an=
