1、1第一讲 不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形，它们的面积及周长都有相应的公式直接计算。实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。例 1 如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 10 厘米和 12 厘米。求阴影部分的面积。EFGAB C D解：阴影部
2、分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三2个“空白”三角形（ABG、BDE、EFG ）的面积之和。因为 SABG = 1010=50；21SBDE = （1012）12=132；SEFG = （1210）12=12。又因为 S 甲 S 乙 =12121010=244，所以阴影部分面积=244（5013212）=50（平方厘米）例 2 如下图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积。解：因为ABE、ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，所以四边形 AECF 的面积与 ABE、ADF 的面积都等于正方形ABCD 面
3、积的三分之一。也就是：S 四边形 AECF=SABE =SADF = 66=12。31在ABE 中，因为 AB=6，所以 BE=4，同理 DF=4，因此，CE=CF=2，所以ECF 的面积为 222=2。所以 SAEF = S 四边形 AECFS ECF =122=10 （平方厘米） 。例 3：两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是 10 厘米和 6 厘米。如下图那样重合。求重合部分（阴影部分）的面积。3DGEB ACF解：在等腰直角三角形 ABC 中， AB=10 S ABC = 1010=5021又 S ABG = SABC = 50=25，21 EF=BF=ABAF=106=4 ， S
4、 BEF = 44=8，21 阴影部分面积= SABG S BEF =258=17（平方厘米） 。例 4：如下图，A 为CDE 的 DE 边上中点，BC= CD，若31ABC（阴影部分）面积为 5 平方厘米，求ABD 及ACE 的面积。FE DCBA4解：取 BD 中点 F，连结 AF。因为ADF 、ABF 和ABC等底等高，所以它们的面积相等，都等于 5 平方厘米。所以ACD 的面积等于 15 平方厘，ABD 的面积等于 10平方厘米。又由于ACE 与ACD 等底等高，所以 ACE 的面积是 15平方厘米。例 5：如下图，在正方形 ABCD 中，三角形 ABE 的面积是 8平方厘米，它是三角
5、形 DEC 的面积的 。求正方形 ABCD 的面积。54F DCEBA解：过 E 作 BC 的垂线交 AD 于 F。在矩形 ABEF 中，AE 是对角线，所以 SABE =SAEF =8。在矩形 CDFE 中 DE 是对角线，所以 SECD =S EDF。因此，正方形面积=8 28 2=36（平方厘米） 。54例 6：已知 SABC =1，AE=ED，BD= BC，求阴影部分的面325积。E FCDBA解：连结 DF。 AE=ED， S AEF =SDEF ；S ABE =SBED ， S 阴影 =SABF =SBFD 。 BD= BC，32 S BFD = SBCF = （1S ABF ）
6、，32 SABF= （1S ABF ） ， S ABF = 。5 阴影部分面积为 。5例 7：正方形 ABCD 的边长是 4 厘米，CG=3 厘米，矩形DEFG 的长 DG 为 5 厘米，求它的宽 DE 等于多少厘米？HGFEDCBA6解：连结 AG，自 A 作 AH 垂直 DG 于 H，在ADG 中，AD=4，DC=4 （AD 上的高） 。 S AGD =442=8，又 DG=5， S AGD =AHDG2= AH=825=3.2 （厘米） ， DE=3.2 （厘米） 。例 8：梯形 ABCD 的面积是 45 平方米，高 6 米，AED 的面积是 5 平方米，BC=10 米，求阴影部分的面积
7、。EDCBA解： 梯形面积= （上底下底）高2即 45=（AD BC）6245=（AD 10）62 AD=452610=5 米。又 SADE= AD高，即 5= 5高，121 ADE 的高是 2 米，EBC 的高等于梯形的高减去ADE 的高，即 62=4 米。 SBEC= BC4= 104=20（平方米） 。21217例 9：如图，四边形 ABCD 和 DEFG 都是平行四边形，证明它们的面积相等。GFED CBA证明：连结 CE，平行四边形 ABCD 的面积等于CDE 面积的 2 倍，而平行四边形 DEFG 的面积也是 CDE 面积的 2 倍。所以，平行四边形 ABCD 的面积与平行四边形
8、DEFG 的面积相等。习 题 一一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：4121(1)(2)12 101012 (3)8 101088(4)4466(5)22333333(6)33 1 124(7)11133(8)84 35(9)11111111二、解答题：1如右图，ABCD 为长方形，AB=10 厘米，BC=6 厘米，E、F 分别为 AB、AD 中点，且 FG=2GE。求阴影部分的面积。CDFGBEA2如图，正方形 ABCD 与正方形 DEFG 的边长分别为 12 厘米和 6 厘米。求四边形 CMGN（阴影部分）的面积。9MNG FEDCBA3正方形 ABCD 的边长为 5 厘米，CEF
9、的面积比ADF的面积大 5 平方厘米。求 CE 的长。FEDCBA4如下图，已知 CF=2DF，DE=EA，三角形 BCF 的面积为2，四边形 BEDF 的面积为 4。求三角形 ABE 的面积。FED CBA5直角梯形 ABCD 的上底 BC=10 厘米，下底 AD=14 厘米，高 CD=5 厘米。又三角形 ABF、三角形 BCE 和四边形 BEDF 的面10积相等。求三角形 DEF 的面积。B CEDFA6如下图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是 64 平方米和 9 平方米。求长方形的长、宽各是多少？7如下图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右图，它的面积与原三角形面积之比为 2：3，已知阴影部分的面积为 5 平方厘米，求原三角形面积。8如下图，平行四边形 ABCD 的边长 BC=10，直角三角形BCE 的直角边 EC 长 8，已知阴影部分的面积比三角形 EFG 的面11积大 10。求 CF 的长。CBDFEGA
