1、第一节 点估计第二节 最大似然估计第三节 矩估计第四节 正态总体参数的区间估计第五节 * 比率的区间估计第五章第五章 参数参数 估计估计痔展纯誓面习逛镁促臂寓姨颖彼闻粒嫂典却颈干捎毋租馆撼宴贴任盔坏醛第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计1第二 节 最大似然估 计n 大家平常有这样的概念：概率较大的事件很容易发生；而已经发生的随机事件，其概率一般认为应该较大而不应较小。n 例如： 事件 A的概率 P可能是 0.01或 0.09，在一次试验中 A发生了，人们自然会认为 P(A)应较大 ,即p=0.09(估计 )；n 两射击手各射击一次，有一人击中，认为击中的比没击中的射击技术较好，这是合理
2、的。n 又如一个老猎人带一新猎手去打猎，发现一只野兔，他们各打一枪，野兔应声倒地，但只有一人击中，人们一般认为这是老猎人打中的。搽淳他胀略以巧铃踩碑僵愿腮诣拢挣拯鸡袍航郝镰鄂菜因匝迹迭玉替幢吧第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计2home常用分布的最大似然估计1. “01” 分布 X 0 1P 1-p pPX=k=pk(1-p)1-k ， k=0,1PX=x=px(1-p)1-x ， x=0,1由样本 (x1,x2,xn) 求解：似然函数为L(x1,x2,xn ， p)= 令即解得舷滚褥成砂瘸膀太惹娱颁蛤躬剁息撞配滓资诺写茧泣昌段涂雀抱宦市闪售第五章03极大似然估计第五章03极大似然估
3、计3第二 节 最大似然估 计n 基本思想 ： 我们就让已经发生的事实 (结果 )概率达到最大，由此对参数 q作出估计，求得估计量 .n 把样本代表的结果 理解为已经发生的事件，要让它的概率达到最大。由此求得的 q的估计量n 称为最大似然估计量。n 基本方法、步骤 (3步 )：n 1. 首先要建立似然函数n 2. 建立似然方程 (组 ) n 3. 解似然方程 (组 ),得出 q的最大似然估计量 婚女顷迢柜牢靠吮方弓蹈肤静船腥育言埂佛凳樟铸椒坪洗妄姿芝禽闻首愁第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计4第二 节 最大似然估 计n 1. 首先要建立似然函数n 若 总 体 X为 离散型随机 变 量，
4、概率函数 为 PX=x=P(x,q)n 则样 本 (X1,X2, Xn)中 PXi=xi=P(xi,q)，n 样 本的 联 合概率 为 L(x1,x2, xn， q)= n 称为 q的似然函数n 若 总 体 X为连续 型随机 变 量，有密度函数 f(x,q)n 则样 本 (X1,X2, Xn)中 Xif(xi,q)，n 样 本的 联 合密度 为 L(x1,x2, xn ， q)= n 也称为 q的似然函数鳃荣疵匪舵誉砷充移淤慈酋崖垛匝法舰拇和较送局弹极锡毅蝗疾句午肝呸第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计5第二 节 最大似然估 计n 定义 5.4 n 若似然函数 L(X1,X2, Xn
5、， q)在 时 达到最大 ,则 称 为 q的最大似然估 计 量。n 即要找 似然函数 L(q)的最大值点。而 L(q)与 lnL(q)极值点相同，因此只须对 lnL(q)化简并求出极值点 (最值点 )即可。烹受后疗睬攒并梧饱争上婿死颜速淮这甭冕音磐鼠尼蠢知摊谱哎足征滨趟第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计6n解出的 q的取值记作 即为参数 q的最大似然估计量 .n即n若 q=(q1,q2,qk)，须解得第二 节 最大似然估 计3. 解似然方程或方程组2. 建立 (对数 )似然方程 (组 )n 即令n 若q=(q1,q2,qk) 则须令稚曙翅卓蛾逢即片娠稼琐桌浅劣宠温含磅清帆钙汛话兔齿物
6、和单两刽禾浩第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计7home常用分布的最大似然估计1. “01” 分布 X 0 1P 1-p pPX=k=pk(1-p)1-k ， k=0,1PX=x=px(1-p)1-x ， x=0,1由样本 (x1,x2,xn) 求解：似然函数为L(x1,x2,xn ， p)= 令即解得烽寇敦疤盯市懂奉渭理箍竭乳无绷判香寂伦予愿炯璃婿刁圭伴彬铃捌崖理第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计8home nextback常用分布的最大似然估计2. 泊松分布概率函数为 Px, l其中 x=0,1,2,l0由样本 (x1,x2,xn) 求解：似然函数为L(x1,x2,xn
7、 ， l)=令解得注意 EX=l， 是 l的无偏估计、有效估计、一致估计。冒掏徐静垒育郑乖逐谋搓谩仕真葡哉颜谢玖忱磨侥鹰匀锰窿迅题算厦役肾第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计9home nextback常用分布的最大似然估计3. 指数分布密度函数为 f(x, l)=le-lx其中 x0,l0由样本 (x1, x2,xn) 求解：似然函数为L(x1, x2,xn ， l)=令解得注意 EX=1/l， 不是 l的无偏估计。屠镀跟岗尾师联帝乓躬谗套勋禽配敏朗视有吩侯罐寝鹤潜锌恳异戎偏菊菠第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计10常用分布的最大似然估计4. 正态分布XN(m,s2)的密度
8、函数为解：似然函数为L(x1,x2,xn ， m,s2)由解得注意： 是 m的无偏估计。而 sn2不是 s2的无偏估计。home nextbackf(x, m,s2)由样本 (x1,x2,xn) 求碎伞沦踏解讯帅撞癣材盈聂丘钥蜘封未猪肮待陵邹塑丛敲豪免涤烘磊势撤第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计11由样本 (x1, x2, ,xn) 求home nextback常用分布的最大似然估计5. 均匀分布XU0,q的密度函数为解：似然函数为L(x1, x2,xn ， q)似然方程无解，应考虑边界点由于 0 x1, x2, ,xnq所以 q Maxx1, x2, ,xn在 q的取值范围内， q
9、越小 ,L(q)就越大，当 q=Maxx1, x2,xn 时， L(q)最大。=Maxx1, x2, ,xn漠挛幢敦渊斋俄跟湍拓疡抚睬苹蜒鸡髓吩遁燎粪燎危刻盘蛹上垒掌棱若团第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计12课堂练习n 设总体 XUa,b，求 a,b的最大似然估计量。n 解 密度函数为样本 (x1, x2,xn) 的似然函数为 L(x1, x2,xn ， a, b)同样要应考虑边界点由于 a x1, x2,xnb所以 aminx1, x2,xnbMaxx1, x2,xn在 a, b 的取值范围内， a 越大b越小， L(a, b)就越大，当a =minx1, x2,xnb =Max
10、x1,x2,xn 时， L最大 .=minx1, x2,xn=Maxx1, x2,xn淬四啄读筏腊养俊感秦迎拭她剧矽臆纬戊足局漳中恶抚进桃极驱怖恕比枪第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计13第一节 点估计第二节 最大似然估计第三节 矩估计第四节 正态总体参数的区间估计第五节 * 比率的区间估计第五章第五章 参数参数 估计估计帮谋愤捧纱炕抽采力律佐畴作粱眉溢瞪肥芍啡打伐瞅粥轨链邦困湾返腹柯第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计14第三 节 矩估 计首先复习矩的概念n 1.样本 k阶原点矩n 2.样本 k阶中心矩样本矩 总体矩 1.总体 X的 k阶原点矩 mk= E(Xk)， k=1
11、,2, k=1时， m1= EX 2.总体 X的 k阶中心矩 sk=E(X-EX)k， k=1,2, k=2时， s2= E(X-EX)2=DX向琅绒烯樟堪陵讥暴湍散莱驹乳规辖榨甚叁阳穗浇捶腐趁视堵舞碌宝雹业第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计15第三节 矩估计矩估计的方法用样本矩去估计相应的总体矩，进而求出参数的估计量。称为参数的矩估计量。例如：用样本 1阶原点矩估计总体 1阶原点矩即n 又如：用样本 2阶中心矩估计总体 2阶中心矩n 即用 Sn2估计总体方差 s2譬鼓肚沥桂孙诗超教笋哺抵惑僚株疫窄廷帮搬哲痪树陈钓讨浸稻者郴抓蔡第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计16第三节
12、矩估计例如对于正态总体 XN(m,s2)，则参数 m,s2的矩估计量为。n 又如设总体 X服从参数为 l的泊松分布，求l的矩估计量n 解 由于 EX=l，所以n 例 1. 设总体 X服从参数为 l的指数分布，求 l的矩估计量n 解 由于 EX=1/l=m，又 即据缔擒象遥浆韦太族贬肄途艾索葵葛骂耸途迟闭烬眉笺哀甘搞拟宇伤振闽第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计17第三节 矩估计n 例 2. 设总体 XU0,q ，求 q的矩估计量n 解 由即n 例 3. 设总体 XUa,b ，求 a,b 的矩估计量n 解 由即解出形束交酷耸始艰绣玄越烷设浸捧瘦时踩丁赡炬擞舞贝凯蚌生殖鼎音攘臀挨第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计18作业 习题五习题五 P264P267 B： 1、 2、 3、 6、 7、 9饭快震礼姜躯靶叙扯纵符朽易灿勉诞扮课朵畏印酮对绿捏蝎徽拥龄彰向拒第五章03极大似然估计第五章03极大似然估计19
