1、赛 前 培 训,数 学 建 模 竞 赛,节 水 洗 衣 机,MCM1996年B题,问题 ：,我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水漂水脱水加水漂水脱水加水漂水脱水(称“加水漂水脱水”为运行一轮)。,请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。,1、程序（包括运行多少轮、每轮加水量等）2、一定的洗涤效果 3、总用水量最少,词汇:,离散
2、模型,假设,1、仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清水进行下一次洗漂。2、每次洗漂加水量不能低于L，否则洗衣机无法转动，加水量不能高于H，否则会溢出设LH,假设,3、每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中，从而使每次所加的水被充分利用。4、脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个低限，设这个低限是一个大于0的常数C，并由于脱水时不另加水故CL,变量定义（符号）,1、设共进行n轮洗漂脱水的过程，依次为第0轮，第1轮，第2轮，第n-1轮 2、第k轮用水量为uk（k=0,1,2,n-1） 3、衣服上的初始脏物量为x0，在第k轮脱水之后的脏物量为x(k+
3、1)(k=0,1,2,n-1),模型的建立,1溶解特性和动态方程 设pk表示已溶入水中的脏物量，qk表示尚未溶入水中的脏物量.在第k轮洗漂之后和脱水之前，第k-1轮脱水之后的脏物量xk已变成了两部分xk=pk+qk(k=0,1,2,n-1) 问题: pk与哪些变量有关?,因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有pk=Qxk (uk-L)/(H-L) (1),显然: pk与第k轮的加水量uk有关，,总的规律应是:uk越大pk越大.,且当uk=L时pk最小（=0，因为此时洗 衣机处于转动临界点，有可能无法转动）,当uk=H时pk最大（=Qxk 0Q1其中 Q称为溶解率）,从而:在第K轮脱水之后，
4、衣服上尚有脏物qk=xk-pk，有脏水C，其中脏水C中所含脏物量为(pk/uk)C，于是第k轮完成之后衣服上尚存的脏物总量为：xk+1=(xk-pk)+Cpk/uk (2)将（1）代入上式并整理后得系统动态方程:,由于xn是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量，而x0是初始脏物量，故xn/x0反映了洗净效果，由系统动态方程 (2)可得：,模型的优化,又总用水量为：于是可得优化模型如下：,于是,优化模型成为更简洁的形式:,简化表达形式,分析与求解,(3),(4),设N0为满足上式的最小整数，下表给出了洗净效果要求为千分之一和万分之一的时的N0-Q关系:,算法选用一种非线性规划算法，对n=N0 ,
5、N0+1, N0+2,(凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取N=10)分别求解，然后选出最好的结果，其中N0是满足（3）或（4）的最小整数. 注意不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。,仿真,结果,1）溶解率Q=0.99时不同洗衣轮数n下的最少总用水法量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）,2）不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数，最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）,结论和讨论,基于前述分析和初步的仿真实验结果，可得出一些有用的结论： 最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数 每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少用水（除非考虑洗涤与漂洗的不同） 设法增加溶解率Q可以成倍地节约用水，如适当延长洗漂时间，选用好的洗涤剂等。,结论和讨论,1.可考虑“洗涤”和“漂洗”的不同（两者统称“洗漂”）前者加洗涤剂，一般仅第0轮是洗涤，可用特殊的溶解特性（pk-uk关系）加以区别，例如考虑到多加水会降低洗涤的浓度，其溶解特性用具有最大值的单峰函数表示应当更合理。,2.在实际中，无论是参数L，H，C，Q以及洗净效果要求，还是溶解特性，均应在各种不同条件下（比如针对衣服量的少，中，多）通过实验确定。,Thank you for your attendance!最后，祝大家在数学建模活动中不断提高素质和能力！,
