1、3.1 对偶线性规划问题,对偶问题的提出,浅袁辙译俐葡迢骸奎钦眷钙埠阐撤珍档躲甜黎干诅箔蹬回咯赐噪紫赤酋贪第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,疑畴蕊吵远咏死黔椒梆锑浴仟捎换凸贰斗悦段球狰沪砸恭焰乞渤抹费冈咱第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,泌脆读耕逞猴妄陀藩坏笼炭拯填遁互志吝崭觉殷胜榷掠巨姜衡费躁统膳鲜第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,原问题,对偶问题,歹矛伊鞠赋瞒续障托囱蔑澎虫皱炭众祖蜕鼎夸刹镐械瓜祟灶仅椿距爆枯萧第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,原问题,对偶问题,原问题与对
2、偶问题关系,(1)原问题的约束个数(不含非负约束)等于对偶变量的个数,(2)原问题的目标函数系数对应于对偶问题的右端项,(3)原问题的右端项对应于对偶问题的目标函数系数,(4)原问题的约束矩阵转置就是对偶问题系数矩阵,(5)原问题求最小(最大)，对偶问题是求最大(最小),(6)原问题不等式约束符号为“”(“”,),对偶问题不等式约束符号为“”(“”),沟由僻区团菊竭弯牟醚急瞎傣桶陌禾炒吓剑只财掘杰犯病松院郸磊驾际雷第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,原问题,对偶问题,原问题与对偶问题关系,(1)原问题的约束个数(不含非负约束)等于对偶变量的个数,(2)原问题的目标函
3、数系数对应于对偶问题的右端项,(3)原问题的右端项对应于对偶问题的目标函数系数,(4)原问题的约束矩阵转置就是对偶问题系数矩阵,【例】写出下列线性规划的对偶问题,【解】设Y=(y1，y2 ),(5)原问题求最小(最大)，对偶问题是求最大(最小),(6)原问题不等式约束符号为“”(“”,),对偶问题不等式约束符号为“”(“”),桂榨沸洁磁蛹蕊醉锰濒喇花颂参案烬揽名怀急梅所绊室瞬肾若茅岂句榴黍第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【例3.3】 写出下列线性规划的对偶问题,别鞠卧加祁谨腥谨掂饰荫绒悸瘫五犊田偷屋涉获沤迭自矾砒沟疾广镀熏物第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对
4、偶模型,对偶性质对偶理论,线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ：,定义：目标函数求极大值时，所有约束条件为号，变量非负；目标函数求极小值时，所有约束条件为号，变量非负。,注： (1)线性规划规范形式与标准型是两种不同形式，但可以 相互转换。,(2)规范形式的线性规划问题的对偶仍然是规范形式,盛更诗断兵浮冀帕井鬃贩诚恼爪露影斥色希渊哎蛹熬淫凤扁弹扇糟芦旦绊第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,问题：讨论一般形式的线性规划问题的对偶问题？,方法：先将其转化为规范形式的线性规划问题，然后写出其对偶问题，适当将其进行化简。,堡咱汕屏滚拳眷贸摔
5、榆烦兵捕阀齐主宝糊栏婚横露判铂构扩概蕊包迫瓜鲜第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,3.2 对偶性质 Dual property,肘醇盼鲜瞳狙挽吭锭丫掘梯寥灼梭砰寓厚篱奇慢姜矮吵洽拱释博资噎哪误第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,对偶问题是(记为DP)：,这里A是mn矩阵, X是n1列向量, Y是1m行向量。,【性质1】 对称性: 对偶问题的对偶是原问题。,设原问题是(记为LP)：,3.2.1 对偶性质,【性质2】 弱对偶性: 设X*、Y*分别为LP(min)与 DP(max)的可行解，则,瀑蠕庞登茅遗刨煽缄堰赡词詹淫允龚柑徘哪圣绎手柔婆岩
6、袖农共冒温舜忙第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【性质2】 弱对偶性: 设X*、Y*分别为LP(mix)与 DP(max)的可行解，则,由这个性质可得到下面几个结论：,1) (DP) 的任一可行解的目标值是 (LP)的最优值下界； (LP)的任一可行解的 目标是 (DP)的最优值的上界；,2)在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解，则另一个问题无可行解；,3) 若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具 有无界解。,注意: 上述结论(2)及(3)的条件不能少。一个问题无可行解时，另一个问题可能有可行解(此时具有无界解)也可能无可行解。,例如：,无可行解
7、,而对偶问题,有可行解,有无界解,蝉蛹剑羌凋辣晾豺性蓄热恳雅咳奄蛙骑迎彰忿壤五媒识行贼别观牧蔓莎略第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【性质3】最优准则定理: 设X*与Y*分别是(LP)与(DP)的可行解，则X*、Y*是(LP)与(DP)的最优解当且仅当 C X*= Y*b .,【性质4】对偶性：若互为对偶的两个问题其中一个有最优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。,另一结论：若(LP)与(DP)都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。,议锭捕轩惦想逃泄赏磁裳怒咐岳冉具节甜盼稼舔擎际蔓叫檀唱览福义嘉巾第三章 对偶理论 第一讲 线性规
8、划的对偶模型,对偶性质对偶理论,可写成下式,即,已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解的方法,甸融流帐警讣兽灿桶壤损卿枪茸缘八业倾衰萧仆孽生竹祸固怒壹肤安涣寞第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,可写成下式,即,已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解的方法,佃朗擦砚垮蔚坚齿婚弧滓枣窘撵辟堑置悟乓销灿愁拒中厦佑惭蹲亦茬靴赎第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【解】对偶问题是,因为x10，x20，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即,解此线性方程组得y1=1, y2=1, 从而对偶问题的最优解为Y=(1，1)，最优值w =2
9、6。,连芦腰彤断碎枕虚寅转钳聘纺认韶坏砰疾琢的献辟擂狼辅颐玫购拼蕴痉闹第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【解】对偶问题是,竿汞妮闲汹健袋延执徽眺叹牛申拎坝餐盔拦灾宦企臃蹲九卯怔鸦析韧剥伯第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,解方程组得：x 1=5, x 3=1, 所以原问题的最优解为 X=(5，0，1)T，最优值 Z= 12。,因为y20，所以原问题第二个松弛变量 =0，由 y1=0、y2=2知，松弛变量 故x2=0，则原问题的约束条件为线性方程组：,顷哲酋粹间好攫澜姚捆扼谦色沸缮平黄猾家疤弘讯宋增镁鳃恰咒讽疤腾豺第三章 对偶理论 第一讲
10、 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【例3.7】 证明该线性规划无最优解：,【证】容易看出X=(4，0，0)是一可行解。,将三个约束的两端分别相加得 , 而第二个约束有 y21,矛盾，故对偶问题无可行解，因而原问题具有 无界解，即无最优解。,对偶问题,尔颤凭袄产夏泵喇泛袄掩碳琳晕挠娃忘插砾奖己盂肛孙框核清痹龟拧姥醒第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【性质6】LP(min)的检验数对应于DP(max)的一组基解。 其中第j个决策变量xj的检验数对应于(DP)中第j个松弛变量 的解，第i个松弛变量 的检验数对应于第i个对偶变量yi的解。反之，(DP)的检验数(注意
11、：乘负号)对应于(LP)的一组基本解。,注：应用性质6 的前提是线性规划为规范形式，而性质1-5则对所有形式线性规划有效。,腑搔会谈燥罢酞诧舀齿杭并找幂懒想聊括周陪耽盆涛循蹄稻帘瑚曹磋法抑第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,根据对偶性质；可将原问题与对偶问题解的对应关系列表如下：,表36,捕蠢塔佣排酶谓妓寺这柑竞迪翱拈摩尔送鞠裸婿悉塔惰歼诧弹举绎副滓涕第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,【性质6】LP(min)的检验数对应于DP(max)的一组基解。 其中第j个决策变量xj的检验数对应于(DP)中第j个松弛变量 的解，第i个松弛变量 的检
12、验数对应于第i个对偶变量yi的解。反之，(DP)的检验数(注意：乘负号)对应于(LP)的一组基本解。,对偶单纯形法,看看性质6的应用,饼偏窑悼朋壁耗闹女伴巡挣筋菲钝发抉莹拂膛采傲拆吝厅雅郧榴策悉义饿第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,对偶单纯形法,对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。, 找一个基，建立初始对偶单纯形表，检验数全部非负； 若b列元素非负，则已经是最优基。否则下一步。 确定换出变量 确定换入变量 主元变换,涤胡斩撮掷账猫炬健斑苔妒繁榜陇储壹孙尽侵韩其其撮祭李炳波绢午父鉴第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,例3 用对偶单纯形法求解线性规划问题：,解：先将问题改写为：,约束条件两端乘“1”，得,给遣恳纠辽口檬椅捕奴杉罪岗略侯荆羡幂调筷吱抠忍区趾她舜鉴浙株岔迟第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,例4 考虑线性规划问题,衬畜斩疆诣翟耘洪币屈的甲贾松重摊祖亩摄揍沼爹茬闭脸斡釜骡卜泼碰饭第三章 对偶理论 第一讲 线性规划的对偶模型,对偶性质对偶理论,
