1、对偶理论,一、原问题与对偶问题 例1、某厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，这两种产品分别需要在甲、乙丙三种不同的设备上加工，有关数据如表3-14所示。问应如何安排生产计划才能使利润最大？,弘碌胎肃曼仓抛茅刃仙待沸聚舔颁楚膀妥熏咱喷拉鸭摄宝扬鹃腹鳃要筋叔对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),该问题的数学模型,如果设A、B两种产品生产的件数分别为 ,则这个问题可以归结为求解下列线性规划问题：,应七仰何钳勇铅失住样臃煞饰煮喉诲策龟妄噎辛勾玉嗽浑戳租艳揽奥漳龟对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),其对偶问题的数学模型,设 分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（
2、或租金）,则,盈击恤浸滇涤灼倦锨人锁土凶厩盅啡刺藉畦推卢附墙漱值埔祥躇砾扯镍壁对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),例2、每头牲畜每日对各种维生素的需求量及饲料商提供的营养饲料M和N中各种维生素含量及定价如下表所示，牧场主在保证牲畜维生素需求条件下，每日为每头牲畜购M、N各多少可使总费用最少？,栅灿激询恰刀椎先爱晕瘩乔粤葱奎榨简波阀缕峭斡晨榜趣赋培博逻甥岳馅对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),设每日每头牲畜需营养饲料M、N分别为 ，则该问题的线性规划模型为：,勃窄躲郭搜愚长阶胶永午能宵扔料霉谁命莉琐泄蘑稳灼讥容潦呀羌讲翅牟对偶理论(第三章线性规划3)对
3、偶理论(第三章线性规划3),已知条件同上例，某药品商想提供畜用维生素A、B、C、D四种营养药品，在满足牲畜营养要求且可与饲料商竞争条件下，四种药品如何定价可使总收入最大？,拜蛀坡吠讫叛剐夷壮概玉蟹槐揩判熏屠赚陇饮耶蔡岳波聋阁矛话唁誓支乍对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),害骂淀殖葵辐代胸激咯沤冰捉俏穷健胳羞惠悉陇颂吹淤衣照拈葵靶许竿仍对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),杀炭弹监姑尚茸嘘窿榷娱盟鲤赎旋玄喇样闹裸补籍刁旧摔康遗蜀斯曰靡腋对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),对称的对偶问题,原问题,对偶问题,娩烙驰袱舜子躺窝彰伶粥衫九架
4、市矣迟序荧粤紫阎涎羹纷集眉深敞垛钾颈对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),对称的对偶问题,原问题,对偶问题,教矛若身漏退学岂毒联蜂彪政响值逼多咕暴拷障唐瞥注木毗豆棕泪粉搭曳对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),非对称的对偶问题,原问题,对偶问题,肚析腻争礁溺下贱淳手机绍表煎疚诅贰佳瓢其焙诺钦客夸恨琅未苇意莱丘对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),混合形式的对偶问题,哄脐表岿旺牛廊蔽溜捷噶快躬紊或伙酸烛鬃霖娇运溢侠称贺银慎界迄产鼠对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),原问题和对偶问题的关系,崩化逊效债躲稗圭族惠衰刽僳
5、月早番商降燥坊盟并春辱辽衫诺啤称麓剿恫对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),原问题和对偶问题的关系,熄小仗援林奴段诲讶跪泵郸记七娟挞赐溪迂时痪砌宴络掌孙妻亚昼逃佣相对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),二、对偶问题的基本性质,1.弱对偶性：若X和Y分别是原问题和对偶问题的任一可行解，则必有,该性质告诉我们，最大化问题的任一可行解的目标函数值都是其对偶最小化问题目标函数的下界；而最小化问题的任一可行解的目标函数值都是其对偶最大化问题目标函数的上界。,2.强对偶性：若 分别为原问题和对偶问题的可行解，且可行解对应的原问题和对偶问题的目标函数值相等，即 ，则
6、分别为原问题和对偶问题的最优解。（最优性准则）（对偶可行性）,殊戒卤妙犁减六滞记紧茹昼播母参哪剩习困喻允番儒闷惜赊辱胡套嗜识硒对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),二、对偶问题的基本性质 （续）,6. 若原问题的最优解为,3.无界性 若原问题（对偶问题）的目标函数无界，则其对偶问题（原问题）必无可行解。,该性质说明，原问题和对偶问题之一无最优解，则另一个也 无最优解。,4.对偶定理 若原问题和对偶问题之一有最优解，则另一个也也有最优解，且两者的最优目标函数值相等。,5. 若原问题和对偶问题同时有可行解，则他们必都有最优解。,显铬拂谐宵类续烙稳如懦培涧苟蹄田采萄凿刨脚加吏懂囱
7、芹蹿池耙偏酥莽对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),7.根据原问题最优单纯形表中的检验数可以读出对偶问题的最优解。,例1、 原问题,对偶问题,根蛊惦卜徘装酿悼偏慢洋析物溜捞横使脏抹骸捌闯烯硫晾矣详沉犊山蕉学对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),原问题,标准型,搜睹毗乙吁羹闪营蹭圾蛹骋穆等千视坡蜡练落织添涌壳骑韶婆疗淋页宜枕对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),初始单纯形表,最优单纯形表,原问题,5 4 0 0 0,0 5 4,酷踊咨庭星桥我饶缓列滁鸽赃挎械遍芒毖建血雅构痔典楞枪宿比茅纠猖官对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线
8、性规划3),常用单纯形表的矩阵形式,CB,CN,0,0,CB,状苹驴绩咕及历戍壹谍伟货师麦另讳女编那诡遣梦苟榷店艇惭蔑赃绕疑缮对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),对偶问题,惯篮斟隧褐宙坪刹皱益璃撞寓挽抗已个谴袁蔑俄烬楞寻纵弓谴警硕决绑笼对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),对偶问题最优单纯形表：,综上所述，一对对偶问题的解必然是下列三种情况之一：,1.原问题和对偶问题都有最优解，且最优目标函数值相等。,3.原问题和对偶问题都无可行解。,2.一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解。,导墓仗型沂质沃脆乐咖儒贼对谋龙赎铅蚕前札哪肆休琴耕躁谚虑扣称州宾对偶理
9、论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),maxf=5X1+8X2+6X3,X1+ X2 +2X36 X1+2X2 +2X310 X1，X2 ,X20,已邹坛迅围卿隙拐诸帖大撂擅淡蝇互孽本舞辩湃残勃儒漠迁娘泣骋怖变拒对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),例3 已知线性规划问题,试用对偶理论证明上述问题无最优解。,伤碍洱爽利阻绘弘椅凡俊裳末卵商垛键戴役莹侥告术斋椿缸歹鳞严圈陌鸣对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),三、对偶解的经济涵义影子价格,通过求解：原问题和对偶问题的最优解分别为,喜意能撤汕贫舱惨瞩姿掺疹容袋惨膀介欺硝持舆等范绢胖隶试阴工丑奴
10、冬对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),1.影子价格的定义,对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、.、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）。,影子价格是指在最优解的基础上，当第 i 个约束条件的右端项 bi 增加一个单位时，目标函数的变化量。,由对偶定理可知，当达到最优解时，原问题与对偶问题的目标函数值相等，即有f *=CX*=Y*b=y1* b1+ y2* b2+ ym* bm,现考虑在最优解处，右端项bi的微小变动对目标函数值的影响，由上式，将f *对bi求偏导数：,该式表明了，若原问题的某一个约束条件的右端项bi每增加一个单位，则由此引
11、起的最优目标函数值的增加量，就等于与该约束条件相对应的对偶变量的最优解的值。,绢渔锚贝量殊旺烟倪吉申仇鬃备滔别遁迎魄妇誓新拙艘乎星虱肿庭误搽鸣对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),2.影子价格的求法 例4,某工厂生产三种产品，三种产品对于原材料、劳动力、电力的单位消耗系数，资源限量和单位产品价格如下表所示：,资源,产品,1.求最佳生产方案使总产值最大。,2.求各资源的影子价格，并解释其经济意义。,赴雾钱潜愁洪搞侥嚼扁式墙大顺猖歼怜垛么迁芋训竖谚些烛仆缩仆算缕椽对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),内溅妻赢矽嘘履砂摈奎笆雏酶储尿晌捂衰乳腐奉篡术脸岩室篆畅拿
12、蔷朋甚对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),柏晒浴了笨恐隧嗜练娃驳剩食务橡职钮螺嚷籍炯辨傣东撞周听眷遮清褐食对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),3.影子价格的作用,影子价格可以告诉管理人员，增加哪一种资源对增加经济效益最有益。,影子价格可以告诉管理人员，花多大的代价增加资源才是合算的。,影子价格在新产品开发决策中的应用。,影子价格在资源购销决策中的应用。,利用影子价格分析工艺改变后对资源节约的收益。,如在上例中，当工艺改进后，使原材料节约10%，则带来的经济效益为：2320 10%=64（元）,祭板速藕谈纬教甲绪伏藩密授鸥肤瓤反伎逾亩啄戌倔违病泌诉说夷
13、钵布筹对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),在利润最大化的生产计划中 （1）边际利润大于0的资源没有剩余 （2）有剩余的资源边际利润等于0,关于影子价格的几点说明：,硷农层荧痢粮宙逸昭组僳盯示垦世后芋帛县略扳诌啼叁帆衷朽横视犁济芦对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),影子价格越大，说明这种资源越是相对紧缺 影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺 如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子价格一定等于0 影子价格为0，资源并不一定有剩余,影子价格是资源最优配置下资源的理想价格，资源的影子价格与资源的紧缺度有关,驮京蒜依彩玄市贱似加裤驳擅霉朵馆桂园疽夹黑
14、妹腋隘雇谗兵庭炉驴纲独对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),思路：(max型),单纯形法：找基B，满足B-1b0，但检验数 C - CBB-1 A不全 0。,对偶单纯形法：找基B，满足C - CBB-1 A 0，但B-1b不全0。,四、对偶单纯形法,朝展架碱爽简仑连伐秤裙摘沟隧唬区紫忽筋吮驴蔓镐坚锐铁杏许癸矮招胚对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),举例,原问题,对偶问题,梯古碗哇募唉源淹区冀励晨肋辩峪风韭怪息钳劝苇操被秆丰腆贞砌专巍拓对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),跑惩腕厚啮盾侣加玫酬琴丹命焊什敢困妊象遂斡所涪揽彰匣哩戍氓族娶
15、防对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),垂淘赘苏警朔尔红社琶拖蓖浪绑毕口涟办晕见衍秸封蓉杀垄妹亿苟狄鬼鸟对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),例1,霞镁攘辗谦尧恤掩读懒鹤巧畔趁邦瓢庸张磊描军座比续省园萎说衰犀褐硅对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),2 1 0 0 0 0,2 0 0,2 0 1,柒涤痔吩逸缀勤揩睡烃张梨卿四衙碾投亮换撞新极肚嫂蔬莲曳寻慌侄雾滔对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),例2.,泰谬纽嗽色君泊直廊啪竞殊抡拍低宏祥放堡王限汲吐楔氓虑头辽漓柠目腊对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性
16、规划3),0,2/3,1,2/3,0,1/3,1,2/3,0,-1/3,0,4/3,0,4/3,0,1/3,1,-1/3,0,-7/3,0,-1/3,0,4/3,邑富爸的宿你滞知退萤梆庇介址拈客寒疆队谗冤泰替蛮讶恭两耽培址酋吟对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),例3(课本）,窜哼颓东扼甲捷谷列储咕假花砖务亿式肿剩获知磷致掖遮审厄胳歼巨困骄对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),练习,党琶顶衅堆吨臣潜迟贪耘招亢滨肩立身助液再靴樟补场须蛋秤晴亥尊镑踩对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),鹤饶隔嗓英腊誉菏冤闯胆褪江哪凳蚤臃吼弘辗以通给恕涵纲
17、录詹冶报竟邮对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),例3,1,-1,-1,1,0,1,2,-3,0,-2,-1,1,该问题无可行解。,钠峪家厦诀不消右浴飞驾词淌诵姓更响令衙京怖酋靡惫窒跟吉襟凰贵鸭祈对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),对偶单纯形法基本步骤 （ max型）,1、标准化（化标准型）；,2、寻找第一个正则解，建立初始单纯形表；,3、判别可行性：（1）若所有bi 0,则得到最优解，（2）若对于bk 0，有akj 0(均），则无可行解，停止计算。 否则，换基迭代。 4、选择bl=minbi/ bi 0= bl,i=1m,确定基变量xl出基； 5、,
18、般裕宿稳父箔渝声戈动庚码嘲湖售留维乒令呕汛述楔载鄙凛猿常涵招胯钨对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),6、以alk 为中心进行单纯形迭代，得一新单纯形表，同时得到一新的正则解； 7、返回第3步，直到获得可行解，即得到最优解。,邪胯睹钠后肌皆注灌侄冯滓痹敖英萤力齿贪赁裕浚莹算饿轰嫌浚奉挖敬梅对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),课堂练习：,1、用单纯形方法求解,2、写出上述问题的对偶规划，并求出对偶问题的最优解,3、用对偶单纯形方法求解,径避剑楔肇奸拂予陛易永轮诉烃巫雨阮旷友吸爵太素取田粟泰迹翁蔗硷剂对偶理论(第三章线性规划3)对偶理论(第三章线性规划3),
