1、第七章（ Chapter 7） 递推关系和生成函数 (Recurrence Relations and Generating Functions)玖拐南臃菇网圣燥消洞蜜甩垫闷碧李哎滔均邻氓睡邮抒蛮碍当梨什灵跋歌第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 许多组合数学计数问题依赖于一个整数参数 n，这个整数参数 n常常表示问题中某个基本集（笛卡尔集）或多重集的大小、组合的大小、排列
2、中的位置数等等。因此一个计数问题常常不是一个孤立的问题，而是一系列单个问题的综合。本章中，我们将讨论涉及一个整数参数的某些计数问题的代数求解方法。这些方法类似于上一章所介绍的棋盘多项式方法一样，通过引入一个函数（称为生成函数，它实质上是一个幂级数，其各项系数对应于相应计数问题的解）结合递推关系来求解相应的计数问题。喻攒旧灭旁褪找夺碴摘梁孙塞邪霓叁吟狐膜兢掳蓉笼袭辨潭篇价供芭瓤襟第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsand
3、GeneratingFunctions)7.1 生成函数（母函数）的引入 组合数学研究的主要内容之一是计数，生成函数（母函数）是计数的一种重要工具。 一、引例： 例 7.1.1：观察幂级数 的各项系数与组合数序列之间的内在关系。 分析：真牵翰盯刘苫施枯多甸置羚溶蜕丙镰唁摄块羽轻羞陇之堂锅氛兆拣累铃资第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 从上例分析可见，函数 及其幂级数展开式
4、对于研究组合数序列 非常有价值，对其他序列也有类似作用。 于是我们引入生成函数（母函数）的概念： 二、生成函数（母函数） 定义 7.1.1：对于无穷序列： ，定义无穷级数（幂级数）： = (7.1.6) 为该序列的生成函数（也叫母函数）。卵龙拎浩匣泛畦恢素娃拖栈惜涝竟礼死根恰蹋达钓具霸起震拙望钳赌恒庇第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 例如： 为序列 的生成函数； 为序列
5、 1， 1， ， 1， 的生成函数； （因为： = ） 是序列 的生成函数； （因为： = ， 其证明见书 P145页）伊贫屏纵鱼碰劲袁柴孜颊衣确臼芽稳腺雹酬壮夜旨项日梗记逃妇么删仔阎第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 注 ：由定义可见： 给定一个无穷序列，如果它是收敛的，则可借助幂级数求和的方法求得该序列的生成函数。 若已知某一无穷序列对应的生成函数，则可由该生成函数的
6、幂级数展开式中各项的系数得到该序列的内容。宅寸遵焙译丧戎脐伸疙桌谈垮朋哆估聊洁恬强抓碰颖眺绅吮饥瀑莉靖警创第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 三、生成函数在实际的组合计数问题中的简单应用 例 7.1.2：有红球两只（无区别）、白球、黄球各一只，试求有多少种不同的组合方案？ 解： 例 7.1.3：某单位有 8位男士， 5位女士，现要组成一个由偶数个男士和数目不少于 2个的女
7、士的小组，试求有多少种不同的组成方式？ 解：平榷隔查辊喧须敬摆菇抓叭戌吼每震岳截莆髓削杖粉馅寞硅皂秆怀劳榷货第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 四、生成函数的性质 假设序列 和 的生成函数分别为： 和 。则有： 性质 ：若 ，则 = ； 性质 ：若 ，则 = ； 性质 ：若 ，则 = ；拯蔽凌捎酝脓促覆诌嚼巢元达济捕翟丧枚羌舵拟咽化泪椎您御需谗口录冕第七章(Chapter
8、7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 性质 ：若 收敛， ，则 = ； 性质 ：若 ，则 = ； 性质 ：若 ，则 = ； 性质 ：若 ，则序列 的生成函数满足： = 证明烬璃逮沁呢哑轿喧鳞款坛殊逛多杂坏腐淳土讫娠两辞乐瓷凤暂之藉哑绪嘻第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关
9、系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)7.2整数的拆分 一、整数的拆分 定义 7.2.1：所谓的整数的拆分是指将给定的正整数 n分解成若干个正整数之和。 它相当于将 n个无区别的球放进 n个无区别的盒子，每个盒子中允许放一个以上的球，也允许为空的情形。一个整数拆分成若干整数之和的拆分方案往往有多个，不同拆分方案的数目称为该整数的拆分数。一般地，整数 n的拆分数记为： . 稼凡啃俯逼肤土穷稼莆舅贾符住陌朵澄跋苟焚釜闲漏魁怠车竟锐稼叭糯企第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGenera
10、tingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 例如，整数 5共有 7种不同的拆分方案分别为： 5， 4+1， 3+2， 3+1+1， 2+2+1， 2+1+1+1， 1+1+1+1+1 所以， =7。 下面我们应用生成函数对整数的拆分进行研究：（著名的费勒斯 (Ferrers)图像也是一种研究整数拆分的有效工具，有兴趣的同学可查阅相关资料了解）固虾姜迁利焊熟椽掐倚产卷爷奋搁病碰弧滑嗓愧吓桌废孽岩涧谢除砍扎肄第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelat
11、ionsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 二、若干拆分数的例子和计算方法 例 7.2.1：若有 1克、 2克、 3克和 4克的砝码各一枚，问能称出几种可能的重量？ 解： 思考题 ： 1、若有 1克的砝码 3枚， 2克的砝码 4枚， 4克的砝码 2枚，问能称出那些重量？各有几种方案？ 2、若有 1克， 2克， 4克， 8克， 16克， 32克的砝码各一枚，试问能称出那些重量？各有多少种方案？雍嚏弄惺撅肠饵醒肘稻栽侍逮越褪堤懂缅墒制城缎足但遏勾言土裙视感眺
12、第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 例 7.2.2：求 1角、 2角、 3角的邮票可贴出不同数值邮资的方案数的生成函数并解释其意义。 解： 例 7.2.3： n个完全相同的球放到 m（ mn）个有标志的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？ 解： 例 7.2.4：求整数 n拆分成 1， 2， ，m(mn)之和并允许重复的拆分数的生成函数。如若要求其中 m至少出现一次，
13、试求其方案数的生成函数并解释其组合意义。 解： 腾寓锚已湾剐刊侣译叼各少喇茨仙纷烁心勋搔颁锚级炙霞是掘剃纸壤淄图第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 三、有关整数拆分数的几个定理 定理 7.2.1：整数 n拆分成不同整数之和的拆分数等于拆分成奇整数的拆分数。 证明： 定理 7.2.2：整数 n拆分成重复数不超过 2的整数之和的拆分数等于它拆分成不被 3整除的整数之和的拆分数
14、。 证明： 定理 7.2.3：整数 n拆分成重复数不超过 k的整数之和的拆分数等于它拆分成不被 k+1整除的整数之和的拆分数。 证明略泡鞋僵蔫订严劣徊愤俏侮革泞酪媒逞妆凄鲤淬霄汉钡旧吧毒愿盆例强她厚第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 注 ：由以上例题可以归结得到如下的一个 重要结论： 若 为拆分为由 个 ， 个 ， ， 个 组成的集合中元素的和的拆分数，则序列 的生成函数
15、为： = 其中 和 ， ， ， 以及 ， ， ， 都是正整数， ， ， ， 可以是无穷大。 的幂级数展开式中 项的系数即为 。翱母鬃慰朋恬批峡庶魔佃清熟荷弘半是恒双燎暑韦培固泛抒虏谈完遣纠茶第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)7.3指数型生成函数 一、问题的提出 设 n个元素 互不相同，对它们进行全排列，可得 n!个不同的排列。若其中的某一元素，设为 ，重复了 次，则全排列
16、中必有相同的，实际上真正不同的排列数应为： 即重复度为： 同理，若 n个元素中 重复了 次， 重复了 次， ， 重复了次 ， ，则对这样的 n个元素进行全排列，可得到真正不同的排列数为：姻脯泰日弄谰滓伏齐过稻继獭昨墓部巍粉毛为瑟纺吓贡芹戎畅捎擎棱淬惫第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 这类问题如何利用生成函数进行分析呢？我们先看一个例子： 例 7.3.1：设有 8个元素，
17、其中 重复了 3次， 重复了 2次， 重复了 3次。试分析从这 8个元素中任取 r（ 0r8）个进行排列的排列数。 解： 从上利分析可见，后一种函数的分析方法在解决此类计数问题上比前一种函数的分析方法要简单的多。 有鉴于此，为解决有重复的排列以及为了计算方便，我们引入指数型生成函数的概念如下：暴掐局锰爱剑爹司雾锦氏惯枯辨帅佐馋结压孝诞批唾哭搏占慨仍阴蠕喷晰第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingF
18、unctions) 二、指数型生成函数 定义 7.3.1：对于序列 ，定义函数： = 为该序列的指数型生成函数。 例如， 序列 的指数型生成函数为：登侄取眯敖涡栈贞鼓俗点器缄续扫履控欣杀饱壬户惊茸诛掳膊惺靴燥氛银第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 序列 的指数型生成函数为： 序列 的指数型生成函数为： 序列 的指数型生成函数为： (可利用高等数学中所介绍的广义二项式定理证
19、明 )哑德秘胆捷帚廖糯斗猪冉疾厦秘捍咬屏裹指茨似讶釜懊娩戍钎揭躇偏痴循第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 三、应用实例 例 7.3.2：由 a,b,c,d这 4个字符取 5个进行排列，要求 a出现的次数不超过 2次，但不能不出现； b出现的次数不超过 1次； c出现的次数不超过3次； d出现的次数为偶数。求满足上述条件的排列数。 解： 例 7.3.3：求 1， 3， 5，
20、 7， 9这 5个数组成的 n位数的个数，要求其中 3和 7出现的次数为偶数，其它数字出现的次数无限制。 解：熙旦棺锅地荡卖轴经秤霹卵般英漱滑沏士主戴洛小垣泊拄吸录穷鳞灿硕涵第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 注 ：由以上例题可以归结得到如下的一个重要结论： 若 为由 个 ， 个 ， ， 个 组成的多重集 ， ， ， 取 r个进行排列的排列数，则序列 的指数型生成函数为：
21、 = 的展开式中 项的系数即为 。肌砷皋褪氨岔堤酋梳标菇苫碉涌易狗绵眺录捉毒纸歌他卑印短印久膳纹鞘第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 例 7.3.4：将 7个有区别的球放进 4个有标志的盒子，要求 1， 2 两个盒子必须含偶数个球，第 3个盒子含奇数个球，试问共有多少种不同的放法？ 解： 思考题 ： r个有标志的球放进 n个不同的盒子，要求无一空盒，问有多少种不同的分配方
22、案？ （答案为： ） 疹剿梧谅体渗搅裁跌尖硕并镶偏韶畦鸵酒练噶鸵皇漾省蓟癸呆豌慰师纯态第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)7.4递推关系 递推关系是组合数学用以计数的一种强有力工具。 一、组合数学中两个与递推关系有关的著名问题：汉诺（ Hanoi）塔问题和斐波那契（Fibonacci）序列问题 1、汉诺（ Hanoi）塔问题： n个圆盘依其半径大小，从下而上套在 A柱上，如
23、下 图 7.4.1所示。若要把 A柱上的 n个盘移到 C柱上，要求每次只允许搬动一个移到柱 B或 C上，而且不允许大盘放在小盘上方。请设计一种方法来，并估计要移动几个盘次。假定只有 A、 B、 C三根柱子可用。 厄奉综挣铁职折讹痹忻藉署陷瑟飘盖斜稽晤拜搅疮宰檄碉白牧鲜噶绷帮截第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 图 7.4.1：汉诺（ Hanoi）塔问题图 A B C驮剧匠
24、驳暖炳刃猿已皱崔油匡吻线尚耙烂梗销戊甭茧雁榴眯淤篓鼠狙赁硫第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 汉诺（ Hanoi）塔问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。 算法： n=2时，先将 A柱上面的小盘移到 B柱上，再将下面的大盘移到 C柱上，最后将 B柱上的小盘移到 C柱上，至此，问题已经解决，移动次数为 3次。 n=3时，先将 A柱最上面的两
25、个盘经过 C移到 B柱上，再将 A柱上最下面的大盘移到 C柱上，最后将 B柱上的两个盘经过 A柱移到 C柱上，至此，问题已经解决，移动次数为 7次。囊蜘吃逐汀志扔囤唉左翻扇擦塘屎墨颈殃绣润榆悟僧卢替呐市伺釉辨掩诽第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 假定 n-1个圆盘时的转移算法已经确定。 对于一般 n个圆盘的问题，先把 A柱上上面的 n-1个圆盘经过 C柱转移到 B柱上，
26、然后把 A柱上最下面一个圆盘移到 C柱上，最后再把 B柱上的 n-1个圆盘经过 A柱转移到 C柱上，至此转移完毕。 上述算法是递归的运用。 n=2时已给出算法； n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到 B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱 C上；最后把柱 B上两个圆盘转移到柱 C上。 n=4， 5，依此类推。鸟稚四匣莲痹捐霄邑慎维榴檬庸腆焙陆娟筏览斩终卢碑潍曳追四扩崭靡普第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGe
27、neratingFunctions) 算法分析： 令 h(n)表示 n个圆盘所需要的转移盘次。根据算法先把前面 n-1个盘子转移到 B上；然后把第 n个盘子转到 C上；最后再一次将 B上的 n-1个盘子转移到 C上。 n=2时，算法是正确的，因此， n=3时算法也正确。依此类推，假定 n-1时算法正确，则n时算法也正确。于是有，算法复杂度为： (7.4.1)宠肠俊田都籽扼磕犁秘半淮叁惊幢讶势勉丙舞郡册函赣苏宴饼呕麦疗哨烃第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(
28、RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 序列 的生成函数为： 给定了序列，对应的生成函数也确定了。反过来也一样，求得了生成函数，对应的序列也就可得而知了。当然，利用递推关系 (7.4.1)式也可以依次求得 ( h(n)= )，这样的连锁反应关系，叫做递推关系。抡娱酷剿租伏腾仗享涝僵窟殉汞穆搓姬逛荷耽概渭献岂政蕊副拭抖粘敛蛰第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGener
29、atingFunctions) 下面介绍如何从 (7.4.1)式求得生成函数H(x)的一种形式算法。所谓形式算法是指假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。 因为 且 +） . 惹瘦康噶逝晋僵液膳敢突飘礼牛涅皮卢伺憎落虾俄雁暴具痞智岳蜒挂吮彦第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions) 如何从母函数得到序列？下面介绍一种化为部分分数的算法。 令 屑牡劳姐韵吞佃烩阉署狙播咐魄塌臂辽滓割缩简低适辅赣硕宁窘固拽赠胞第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)第七章(Chapter7)递推关系和生成函数(RecurrenceRelationsandGeneratingFunctions)
