1、Monte Carlo模拟,第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions),3.3 直接抽样法（反函数法） （Sampling via Inversion of the cdf）,基本原理 连续型的随机变量的抽样 离散型的随机变量的抽样 几个典型的例子,1. 基本原理,注意：pdf f(x)必须是归一化的,设y=F(x)为随机变量x的累积分布函数 x和y是一一对应的,先随机抽取y，然后通过求F(x)的反函数F-1(y)得到随机变量x的值,随机变量y在区间0,1上均匀分布 利用0,1区间上均匀分布随机数产生器抽取
2、,Monte Carlo模拟,第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions),3.3 直接抽样法（反函数法） （Sampling via Inversion of the cdf）,基本原理 连续型的随机变量的抽样 离散型的随机变量的抽样 几个典型的例子,2. 连续型的随机变量的抽样,方法：,产生在0,1区间上均匀分布的随机数 = P(0,1) ；,注：需要知道累积分布函数的解析表达式，且累积分布函数的反函数存在,P(0,1): 0,1区间上均匀分布的随机数,令F(x) = , 解方程得x：,2. 连续型的随机
3、变量的抽样,Since F-1 ()=x, or = F(x),Proof the Inverse Method,The Mapping from x to is one-to-one.,The probability for between value and d is 1d, which is the same as the probability for x between value x and dx. Thus,Monte Carlo模拟,第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions),3.3 直接抽
4、样法（反函数法） （Sampling via Inversion of the cdf）,基本原理 连续型的随机变量的抽样 离散型的随机变量的抽样 几个典型的例子,3. 离散型的随机变量的抽样,直接抽样法适应于离散型的随机变量,设离散型随机变量X的可能取值为x1, x2, , xN, 其概率为,累积分布函数：,0,x1,xN-1,xN,p1,p2,pN,x2,pk,xk-1,xk,0,x1,xN-1,xN,x2,xk-1,xk,1,F(x),3. 离散型的随机变量的抽样,方法：,计算yk = yk-1 + pk，k = 2,3,N, y1 = p1 产生在0,1区间上均匀分布的随机数 = P(
5、0,1) ； 求满足yk-1 yk 的k值; 随机变量的第k个取值即为欲抽取的值。,0,x1,xN-1,xN,x2,xk-1,xk,1,F(x),pk,0,x1,xN-1,xN,p1,p2,pN,x2,pk,xk-1,xk,3. 离散型的随机变量的抽样,证明：,0,x1,xN-1,xN,x2,xk-1,xk,1,F(x),pk,0,x1,xN-1,xN,p1,p2,pN,x2,pk,xk-1,xk,即:所产生的随机数的pdf为pk,Monte Carlo模拟,第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions),3.
6、3 直接抽样法（反函数法） （Sampling via Inversion of the cdf）,基本原理 连续型的随机变量的抽样 分离型的随机变量的抽样 几个典型的例子,4. 几个典型的例子,例1、粒子衰变末态的随机抽样,设粒子a有三种衰变方式，其分支比如下,随机选取每次衰变的衰变方式（衰变道）直接抽样法, = P(0,1),4. 几个典型的例子,例2、二项式分布的抽样,方法1：利用上面介绍的直接抽样法，需计算累积分布函数，当n很大时，求和计算困难;,方法2：利用二项式分布的定义,产生n个 iU0,1; 统计满足条件 i p（表示成功）的 i的数目r，则r表示在n次实验中成功的次数r即为二
7、项式分布的抽样值,4. 几个典型的例子,例3、泊松分布的抽样,方法1：利用直接抽样法，但计算累积分布函数时非常复杂,方法2：利用泊松分布的定义：二项式分布的极限形式,选取足够大的n，使p=/n相当小，例如，p=0.1 产生n个 iU0,1; 统计满足条件 i p（表示成功）的 i的数目r，则r表示在n次实验中成功的次数r即为泊松分布的抽样值的近似值， n越大，近似程度越好,4. 几个典型的例子,例4、连续型随机变量的直接抽样,1. 求区间a,b上均匀分布的随机数x:,产生 U0,1;,2. 指数分布,产生 U0,1;和（1-）都是 U0,1,4. 几个典型的例子,Particle decay
8、in flight,p: momentum of the particle m: mass of the particle 0: Life time of the particle in its rest frame,The proper decay length of the particle in LAB system:,p(x,d): the probability density function for a particle to decay after flying distance x in space,4. 几个典型的例子,Direct sampling method:,: random number uniformly distributed in (0,1),
