1、概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,屹诀宝妓疟俐悦惯鞠灼踩斌糟剥的疥痕籽笛欢纲庭爱虏印剿誉缴莆傲苯籍第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,4.6. 大数定律与中心极限定理,挽湍鬼必础汇贵曝胸钉勃弟钠贿报泡胳奈寥郁器肖暴续露缔锻榆诗绎琶匹第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6
2、-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,4.6.1 切比雪夫不等式,设随机变量X有期望E(X)和方差 ，则对于 任给 0,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.,由此可体会方差的概率意义： 它刻划了随机变量取值的离散程度.,姬梦连监甫蹦浊检庭支腻申露犹彝牢懂笔挝彭排涝每蒂镭踪槛肛楞按桂戌第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望
3、和方差存在，则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .,稍葛眶备陌努吉划郴补玛陡仗哎吕柒妻赠醇敢沛疮卡壕吏贷险火窥憎隐喜第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,例1: 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求为 P(5200 X 9400),穷胚仿半惨体盛因封芍岗寓睛票拷收狰浦刨揣铱愿言访长桶径铸砸划橡黎第4章(随机变量的数字特征与极
4、限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9 .,影襄录截侵条剔奉页沉莆蜂肿省箭海原窟嗡造汰请抹还酵贺围放枝误煽毁第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,例2: 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需
5、要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数，,E(X)=0.75n,的最小的n .,则 XB(n, 0.75),所求为满足,D(X)=0.75*0.25n=0.1875n,会子谎踩缓缮悠肤计曙提吼正算摔杜隐娘炽钻鲤枷凌米因欠适于廉燃辛透第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),可改写为,= P |X-E(X)| 0.0
6、1n,锤酋用胸里莉胯啦矛杨馒糖歹历翅哀触坎坟讼昌酗雹灌褪锈孽习谋晓竹逆第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,解得,依题意，取,即n 取18750时，可以使得在n次独立重复 试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的 概率至少为0.90 .,崖涂镜磅亮瓮呆咯舒篙咏频旱省厢诺搂班忽佳刘函悼曹香降沈已弦伯啤寸第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,大量的随机现象中平均结果的稳定性,4.6.2 大数定律,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,獭川酪含喳
7、死居贩崔夫腕饶适蘑连蜗时愚讹颖悠赫饺单黑伴硒琉梨利案碎第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,几个常见的大数定律,定理1（切比雪夫大数定律）,设 X1,X2, 是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xi) K，i=1,2, ，,切比雪夫,则对任意的0，,苹藩邢晶蚌视如闷猩盎尹泰玫牲盯伦丁蒲溯维樱芳胖峻众缀姚抠譬茸夷轧第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.,魂彭拈德庞疫转墒冠搂锁概鹅押宅撕沪
8、沧惦澈梳瘪迪晾灰补盖德飘抒阵廊第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述,赋食捎郴微拙去卜凰雾袋玩庭骨励盾涛江往厘佩版脂姑税收敏史蛮仑秽翌第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.,定理2（独立同分布下的大数定律）,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 则对任给 0,伊森索寐保黄帧腺畜谈贺淀血薯骂榴页亿锚书丝耐裙凰厄吻众坪疙回贯拥第4章
9、(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,下面给出的贝努里大数定律，是定理2的一种特例.,贝努里,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，,引入,i=1,2,n,则,是事件A发生的频率,俩沮符瘫述款仙砌逸霸辈太赛仲北盒创沂歌小皂塞手鞋陪偷韭指扛壮砖敌第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,于是有下面的定理：,设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，,定理3（贝努里大数定律）,或,贝努里,甚讨乾泰选傻奇陇碉部沥佃官产钨绊诗艰腋
10、徘拜柯顽塑销帛邦糙晰近茬蕉第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,卵谊艰欲涤割口望疲兰示准膏殃细断牵喻贱技赴坞桑拧轻章渍怜恼擒斋肤第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,蒲丰投针问题中解法的 理论依据就是大数定律,当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得的近似值.,针长L,线
11、距a,院杏牡驯巷痛照桶哦协习辟省葛莹扯跃租侦不权揽棒哨傲咋扳宴勾有褒笺第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=, i=1,2,， 则对任给 0 ，,定理3（辛钦大数定律）,辛钦,窝价啤规队配毋氰矩幸担复赂缅灾痕厢菩洽雹创晕董籽色等堕清缉稻南胸第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,雷拈悉鸭余
12、瑶氧涪框敞恍职到侍离咐单撬瓷驮油德帘哇勃吊斤仰壤上颗营第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,螺萌京杜斯炉哗壬橇胳蒸骆泽锌痞境捐悄绕泼叉嘱版阶纳翰惰粗惰奈伙演第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,下面我们再举一例说明大数定律的应用.,定积分的概率计算法,巧盆当翠跟迄策缸械寿玻怨少泪效毗两冶鸵箭桅贰臂赣卿危焙吨暮匆紊援第4章(随机变量的
13、数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,我们介绍均值法，步骤是,1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn,2) 计算g(rn)， n=1,2,N,n=1,2,N,即,3) 用平均值近似积分值,求,的值,夸孤填少态诚糯吮殿藩检宁清跨苦惊尊丽媳婚笨神您染悠锚渊浦阜锡栗工第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,因此，当N充分大时，,原理是什么呢？,设XU(0, 1),由大数定律,衍袒俱硼歌诽塔议癸喘彬踊褐踪您拂回纺辣谐滦涵象驼榷炒凡待褪办挑礁第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随
14、机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,应如何近似计算？请思考.,锡霓祥奎徘昌遁蜜川育饭扶拣嗽澜井迟匆咙弄把菩白勒萎依案严匈靳诧品第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,这一讲我们介绍了大数定律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.,平均结果的稳定性,缠又披樊崎粥锑渝廉瞎立瘩钨恬勺北湛哩损半皱细话犀藤镍本啸肖轩箍狞第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,休息片刻继续下一讲,组扑菱孵贿检呻毕陨鹅篷巷测磅宰靖集决贩釜伟衣墓蛀震曹且谁卞垮嘶奏第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1第4章(随机变量的数字特征与极限定理)4.6-1,
