1、第4章 数字特征与特征函数,41 数学期望 一、离散型随机变量的数学期望定义:设X为一离散型随机变量,它的概率分布为如果级数 绝对收敛,(即 ),则称 为随机变量X的数 学期望,记为E(X)或EX,即例:设随机变量X服从参数为p的（01）分布，即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p=q，试求X的数学期望。 解: X的分布列为 E(X)=0*P(X=0)+1*P(X=1) =0*q+1*p=p,例: 某城市流行一种疾病,患者约占10%,对全城居民验血, 现有两种方案:逐个化验;将四个人的血样合为一组,混合 化验,如果合格,则只需化验一次,如发现有问题,则需对此组四 人再逐个复查,共化验5次。比
2、较两种方案,何种为优?解: 任取四人,第一种方案需化验四次;设第二种方案需化 验的次数为X,则X为离散型随机变量,分布列为所以第二种方案为优。,二、连续型随机变量的数学期望设X为具有密度函数f(x)的连续型随机变量,若积分 绝对收敛 (即 ), 则称它为X的数学期望(或均值),记为E(X)或EX,即例: 设随机变量X服从正态分布 试求E(X)。解: X的分布密度为,例: 设随机变量X服从P型分布,求E(X) 。 解: X的分布密度为,例: 有5个相互独立的电子装置串联组成整机,它们每一个 的寿命 服从同一指数分布,其概率密度为只要有一个电子装置损坏,整机就不能工作,求整机寿命Y的数学 期望。解
3、: 先求Y的密度函数,显然,Y的取值应为5个装置中寿命最 短的一个。因此有,Y =min(X1 , X2 , , X5 ), Y的分布函数为从而Y的密度函数为于是Y的数学期望为,例: 随机变量X服从柯西分布,其分布密度为求E(X)。解:所以X的数学期望不存在。,三、随机变量函数的数学期望定理: 设Y是随机变量X的函数,Y=g(X)(g是单值连续函数),当X是离散型随机变量时,若当X是连续型随机变量时,若其中, f(x)是X的密度函数。例: 对球的直径作近似测量,其值均匀分布在区间a,b上,试求球的体积的数学期望。解: 设用X表示测量得的球直径,它是一个随机变量,其密度为以Y表示球的体积,则 ,
4、故,推广: X1 , X2 , , Xn为n元随机变量,联合密度为 , 则例: 设服从二元正态分布,其密度函数为试求随机变量 的数学期望。解:,四、数学期望的性质 E(c)=c E(cX)=cE(X) 推广:设X与Y相互独立,则推广: n个相互独立的随机变量,例: 一民航机场的送客班车载有20位旅客,自机场开出,沿途 有10个车站,如到达一个车站没有旅客下车,就不停车,以X表示停 车次数,求E(X)。(设每个旅客在各个车站下车是等可能的)。解: 设10个车站依次为1,10,Xi表示在第i站停车次数。,五、众数和中位数 众数:离散型随机变量:P(X=xi)达到最大时的xi。连续型随机变量:f(x
5、)达到最大时的x。中位数:满足 的x值。,42 方差 一、定义设X为一离散型随机变量,若 存在,则称它为X的方差,记为D(X)或DX。称 为X的均方差。离散型: 连续型: 例: 设随机变量X服从参数为p的(0-1)分布,试求X的方差D(X)。解:例: 设随机变量X服从正态分布,求X的方差。解:,二、方差的性质 D(c)=0 D(cX)=c2D(X)其中 若设X与Y相互独立,则 (a为任意实数)例:设 ,试求D(X)。解:例:设随机变量X服从a,b均匀分布,求D(X)。解:,三、车贝雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E(X)和方差D(X),则对任意0 ,有。证明: 车贝雪夫不等式的另外一种形式例
6、如,对于 利用车贝雪夫不等式估算,有而实际上由第二章可知,对正态分布,恒有,四、标准化随机变量设随机变量X的数学期望为E(X),均方差为,则称为标准化随机变量。上述这种形式又称标准化变换。,43 离势系数、偏态系数、峰度系数、矩,一、离势系数方差或均方差刻画随机变量对其数学期望的离散程度,但由于变量本身量级不同,只比较方差或均方差的大小不合适,因此引入下列指标:二、偏态系数描述分布的不对称程度:三、峰度系数刻画分布密度曲线的峰形阔狭特征。正态分布的CE恒为零。 四、矩称vk=E(Xk) k=1,2,为X的k阶原点矩。称k=EX-E(X)k k=1,2,为X的k阶中心矩。所以, E(X) = v
7、1, D(X) = 2,44 多元随机变量的数字特征,一、数学期望与条件期望定义:设(X1, X2,Xn)为n元随机变量,则E(X1 ), E(X2 ),E(Xn)称为n元随机变量(X1, X2, ,Xn)的数学期望。其中E(Xi )是分量Xi的边际数学期望。定义:设(X,Y)为具有密度f(x,y)的二元连续型随机变量,则下列积分为X=x下Y的条件数学期望,简称条件期望,记为显然m2 (x) 是x的函数。称方程 为Y依X的回归方程。它在xoy平面内的图像称为Y依X的回归曲线。同理可定义Y=y 条件下X的条件期望。注意:一般 与 不互为反函数,或者说两条回归曲线一般不重合。,推广: (X1, X
8、2,Xn)为n元随机变量,Xi的条件密度为 则注意: 当随机变量相互独立时,条件期望等于边际期望。 是随机变量X的函数,它是随机变量,且证明:例:试求二元正态分布的数学期望和条件期望。解:,二、均方线性回归在实际问题中,(X,Y)的联合分布常常未知,所以,回归方程的函数形式一般很难求得。实际应用中,常用线性函数 作为回归方程的一种估计,并且按下述原则来确定未知参数和:由此得到的方程称为均方线性回归方程。 三、协方差与相关系数(一)、协方差与协方差矩阵定义:设(X1, X2,Xn)为n元随机变量,则称D(X1 ), D(X2 ),D(Xn)为n元随机变量(X1, X2,Xn)的方差。设X,Y为两
9、个随机变量,则X与Y的协方差为,协方差有下列性质:对称性 若(X1, X2,Xn)为n元随机变量,以ij表示Xi与Yj之间的协方差,则称为n元随机变量的协方差矩阵或相关矩阵。,例:设(X,Y)的联合密度为求(X,Y)的数学期望及协方差矩阵。解:,(二)、相关系数与相关系数矩阵称 为随机变量Xi与Xj的相关系数。称由n元随机变量的两两相关系数排成的矩阵为相关系数矩阵。相关系数的性质:若是随机变量X与Y的相关系数,则 ;证明: 考虑X,Y的标准化变量,可得 由于标准化变量的方差都是1,因此从而, 的充要条件是X与Y有线性函数关系,即存在常数a,b,使 。 证明:必要性 设=1,得 ,由方差性质知,
10、只当 (其中c是常数)时, 的方差才为0,因此有解得对= -1 可得同样的结果。充分性 由 得,若 ,则X与Y间为线性函数关系。若=0,则称X与Y不相关。注意: 若随机变量X与Y相互独立,则X与Y不相关,但若X与Y不相关,则其不 一定独立,不过当(X,Y)为二元正态变量时,独立与不相关等价。首先证明独立必不相关:事实上在讨论方差性质时已证明独立随机变量的 协方差 ,因此由相关系数定义可知= 0。从而X与Y不相关。下面用例子说明不相关不一定独立,例如,若随机变量X的分布密度f(x)关于 纵轴对称,令 Y=X2,由于f(x)关于y轴对称,显然有E(X)=0。 而所以=0 ,说明X与Y不相关,但Y=
11、X2是X的二次函数,显然X与Y不独立。,例:已知随机变量X与Y相互独立,且都服从正态分布 。令试求与的相关系数。解:,(三)、条件方差、剩余方差和回归方差条件方差:二元随机变量:,可记为 ;,可记为 。剩余方差: ,也称为Y对均方回归直线L(X)的剩余方差。,也称为X对均方回归直线L(Y)的剩余方差。回归方差:,45 特征函数,定义:设X为具有密度f(x)的连续型随机变量,则称 为X的 特征函数,其中t为实数,i为虚数单位。例: 设随机变量X服从N(0,1)分布,试求特征函数。解:特征函数与矩的关系。设随机变量X的n阶矩存在,则它的特征函数可微分n次,且对kn有: 。 只对连续型随机变量情形予以证明。设X的密度函数为f(x),则 其中被积函数 对t的k阶导数为 由定理的条件知 。因此,可在积分号下对t求导, 即有 令t=0,得到 。,利用上式,可以很容易求得随机变量的各种数字特征。例如,若 分布,其特征函数为 由 得于是,
