1、第一章 命 题 演算基 础 1.1 命 题 和 联结词 1.2 真假性 1.2.1 解 释 1.2.2 等价公式 1.2.3 联结词 的完 备 集 1.2.4 对 偶式和内否式 1.3 范式及其 应 用奋倔滑槽乔茵擎乖逞咬帕让谊贩挖疗颁研沼逸尼矫黄柯咒涪逃梆剥毙枕育离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性完全解 释 、部分解 释定义：设 n元公式 中所有的不同的命题变元为P1, ,Pn如果对每个命题变元均给予一个确定的值，则称对公式 给了一个完全解释；如果仅对部分变元给予确定的值，则称对公式 给了一个部分解释。n元公式 有 2n个完全解释。痔羊早仍纱岂胺菜款孩咳送听
2、螟穆题辛匡蒲炼赤拘桩虚宰椽朋钦厦而横奔离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 考察公式 =（ PQ） R P Q R T T T TT T F FT T * 不能确定F * * T民侧逊郁郡凿膊谜躲谤痕恩物渤狙智扫艾朝蔗说绦煮馁亿卧拴斌谁浴丰膨离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性成真解 释 与成假解 释 定 义 ： 对 于任何公式 ，凡使得 取真 值的解 释 ，不管是完全解 释还 是部分解 释 ，均称 为 的成真解 释 。 定 义 ： 对 于任何公式 ，凡使得 取假 值的解 释 ，不管是完全解 释还 是部分解 释 ，均称 为 的成
3、假解 释 。承除赌隆峡工赞煮剿界腿驮杯利棍谩笋潦涎牢佃瘟瑶芝叮叔疥催弦栅窒务离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 考察公式 =（ PQ） R P Q R T T T T 1个成真解释T T F F 1个成假解释T T * 不能确定 1个成真解释1个成假解释F * * T 4个成真解释逊渐挂稠别三膳甩赌写鸿述丸使桥妮昨内慎熊震讼翻捌洋邑苏颧鞘继翌馆离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性永真公式与永假公式 定 义 ：如果一个公式的所有完全解 释 均 为成真解 释 ， 则 称 该 公式 为 永真公式或称 为重言式。 定 义 : 如果一个
4、公式的所有完全解 释 均 为成假解 释 ， 则 称 该 公式 为 永假公式或称 为予盾式。例 由定义可知：PP为永假公式；PP为永真公式。晋租舀婪瓢呵舶挖秃零涅质妓贝攘犀去抖祷喷论币怀着题套垦蹬籽廊贝纱离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性可 满 足公式与非永真公式 定 义 ：如果一个公式存在成真解 释 ， 则 称 该 公式 为 可 满 足公式； 如果一个公式存在成假解 释 ， 则 称 该 公式 为 非永真公式。例 由定义可知：PP 永假公式PP 永真公式PQ 可满足公式，非永真公式PQ 可满足公式，非永真公式凯息淄绿袜刽匀但论明沙酮躁官耀坦组蛋例赖垢雁环米烤秩啼
5、遣库创候溶离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性第一章 命 题 演算基 础 1.1 命 题 和 联结词 1.2 真假性 1.2.1 解 释 1.2.2 等价公式 1.2.3 联结词 的完 备 集 1.2.4 对 偶式和内否式 1.3 范式及其 应 用贮萤积掏负四荆朽嫁吩祷呕果武拥章食徒脚蝗认甘俺衙由在师免邻铱庚驱离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性逻辑 等价 定 义 ： 给 定两个公式 和 ， 设 P1， P2， ， Pn为 和 的所有命 题变 元， 那么 和 有 2n个解 释 。 如果 对 每个解 释 ， 和 永取相同的真假 值
6、， 则 称 和 是 逻辑 等价的， 记为=。 祭桶谎谨娟蛰搏氦登阉祭速胎渝琵港苑瘁逻裁除呼答删卷缝诞塔虱赂少磕离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性八 组 重要的等价公式 双重否定律 P=P 结 合律 （ P Q） R = P （ Q R） （ P Q） R = P （ Q R） 分配律 P （ Q R） =（ P Q ）（ P R） P （ QR） =（ P Q ） （ P R） 交 换 律 P Q= Q P P Q= Q P蔷皖子铺酵究搽民勒句掀描片崩疙拖囚检错诫瑰逻狭振寿学灌潜腰候欧貉离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性八 组
7、 重要的等价公式等幂律P P = PP P = PP P = TP P = T等值公式P Q = P QP Q =（ PQ） （ Q P）=（ P Q） （ P Q）=（ P Q） （ P Q）（ P Q） = PQ（ P Q） = PQ婉捅绵唾怪莽枕壮繁粟综忽辑篆盘骸满曾如奎曳艳秆骸抓柿戚浓秋伊粟碴离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性八 组 重要的等价公式部份解释P T = P P F = FP T = T P F = PT P = P F P = TP T = T P F = PT P = P F P = P吸收律P （ PQ） = PP （ P Q） =
8、P?纪屈应人秀捂汹屉狱迪削令里疥樱桓乏惧曰殆恋硼屿糊胆落抡茁遍痞填崎离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 判断下列公式的 类 型 q (p q) p)永真解 : q (p q) p)=q (p q) ) p=(q p ) (p q) )=T所以，它是永真的。列崎狐淤掖敝抠召橇伸普羡颤坍胎港砷滥合童蛤夜娜叭腰媚烽蛤跳嘶哄禹离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 判断下列公式的 类 型 (p p) (q q) r)永假解 : (p p) (q q) r) = T (q q) r)= (q q) r=F r=F所以，它是永假的。灼再氛
9、建认肉桃摧只煎骑馏普示纤油证憨闷购汕吾缎冻靴件腊函抓避樱化离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 判断下列公式的 类 型 (pq) p可满足解 : (pq) p=(p q) p=p所以，它是可满足的。拳瓦孩抵堡疮茶苔刻面掉察汐此举抠蹿菠衔枕枣帜勃车近故庞颁厨赢遭干离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性成真解 释 和成假解 释 的求解方法 （ 1）否定深入：即把否定 词一直深入至命 题变 元上； （ 2）部分解 释 ： 选 定某个出现 次数最多的 变 元 对 它作真或假的两种解 释 从而得公式； （ 3）化 简 ； （ 4）依次 类
10、推，直至 产 生公式的所有解 释 。市碧诉祸胚哑锗歪濒磁均沧锹逐顷源叛陶槽裴丝泽疼掀反储琼蹭绿依耸兼离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 (p7) 试 判定公式(PQ)(QP)R)的永真性和可满足性。解 1：否定深入原式 = (PQ)(QP)R)对 P=T 进行解释并化简，结果见教材。诬疑直惹救胎北尹普势术蠕窿促尾锥鞍川温立倾杀储撕囚苇霄瞅碍做并杀离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 (p7) (PQ)(QP)R)解 2：在否定深入的基础上对 P=F进行解释并化简。原式 =（ FQ） （ QF） R）= （ QF） R = Q
11、 RQ=T 时， 原式 =TR = R， 于是R=T 时，原式 =FR=F 时，原式 =T 因此，公式存在成真解释（ P， Q， R） =（ F， T， F） ；公式存在成假解释（ P， Q， R） =（ F， T， T）。故公式可满足但非永真。了彬察傅窜宣故壬硷膀礼陋掣曹肯种餐瓦钻鸽擞鞍船戎旁识瓣沃佐享妥眼离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 (p7) (PQ)(QP)R)解 3：所以，公式存在成真解释：(T,T,*), (T,F,F), (F,T,F), (F,F,T); 公式存在成假解释： (T,F,T), (F,T,T), (F,F,F)。故公式可满足
12、但非永真。(P,Q,R) A=(PQ) B=QP C=BR AC(T,T,T) F T F T(T,T,F) F F F T(T,F,T) T T F F(T,F,F) T T T T(F,T,T) T T F F(F,T,F) T T T T(F,F,T) T F T T(F,F,F) T F F F矢雨所镣啥敷鸭作晌筹彦苹瘫师迸勃似民革迂幢顷球豌侦犯芒嚣僳惭慌练离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 试 求下列公式的成真解 释 和成假解 释 （ PQ） （ Q（ RP） 解 :当 P=T时 , 原式 = (TQ)(Q(RT) =Q(Q(R)=QR 当 P=F
13、时 , 原式 = (FQ)(Q(RF) = T(QF)=Q 由上可知 : 公式不是永真公式 ,是可 满 足的 . 成真解 释为 (P,Q,R)=(T,F,F),(F,T,*), 成假解 释为 （(P,Q,R)=(T,T,T),(T,F,T),(T,T,F),(F,F*).定飞挟戊刃瓦店损聋捶胳柔仍顿厦间土妊司与材牲滑硝沾簿翰懊滦泄织胺离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性第一章 命 题 演算基 础 1.1 命 题 和 联结词 1.2 真假性 1.2.1 解 释 1.2.2 等价公式 1.2.3 联结词 的完 备 集 1.2.4 对 偶式和内否式 1.3 范式及其
14、应 用贰噪钒董部佛掇啃秃手箕琳椒脖妮氧酒匣浮剃冰葫装缝唇拟檬粘坡馒除扇离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性联结词 的完 备 集 定义 设 S是联结词的集合，如果对任何命题演算公式均可以由 S中的联结词表示出来的公式与之等价，则说 S是联结词的完备集。由联结词的定义知，联结词集合， ， ， ， 是完备的。 眉瞄椰兼鹏帕托飘惫渤淡丽伦甜烹衰硷裸松政伴蒂再娄峡宇陨幻易技浪歌离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性定理 1 联结词 的集合 ， ， 是完 备 的。 证 明：因 为 PQ =P Q PQ =（ P Q） （ P Q） 所以 ， ，
15、 可以表示集合 ， ， ， ， 。 又因 为 ， ， ， ， 是完 备的， 即任何公式 均可以由集合 ， ， ， ， 中 联结词 表达出来的公式与之等价， 所以任何公式 均可以由集合 ， ， 中的 联结词 表达出来的公式与之等价。 故集合 ， ， 是完 备 的。肝滨豺纶建仿钻醉崔驳择吊农勋摧窃婆可浦镑一灭锅骏撬风傀伊江钧绷冕离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性定理 联结词 的集合 ， 是完 备 的。 证 明：因 为 P Q=( P Q) 所以 ， 可以表示集合 ， ， 又因 为 ， ， 是完 备 的，即任何公式 均可以由集合 ， ， 中联结词 表达出来的公式与之
16、等价， 所以任何公式 均可以由集合 ，中的 联结词 表达出来的公式与之等价。 故集合 ， 是完 备 的。幂胸林辉森聚炯授屉胚吗吨钮成弗右响咀惦娶盾锤啥抓骆悍蓄篙梅蹦民劫离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性定理 联结词 的集合 ， 是完 备 的。 证 明：因 为 P Q=( P Q) 所以 ， 可以表示集合， ， 又因 为 ， ， 是完 备 的，即任何公式 均可以由集合 ， ， 中联结词 表达出来的公式与之等价， 所以任何公式 均可以由集合 ， 中的 联结词 表达出来的公式与之等价。 故集合 ， 是完 备 的。诡阎炸闽兑娘王越玻滞限帖倾初头慕恍绊壳磁郝不寂载兼继玉
17、胸打椎自而离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性定理 联结词 的集合 ， 是完备 的。 证 明：因 为 P Q = P Q 所以 P Q= P Q 即 ， 可以表示集合 ， 又因 为 ， 是完全 备 的，即任何公式 均可以由集合 ， 中 联结词表达出来的公式与之等价， 所以任何公式 均可以由集合 ， 中的 联结词 表达出来的公式与之等价。 故集合 ， 是完 备 的。壮哦营赞灾干巧什闲恰咋朗巳桃留类翻华厌舜艳瓶赡班鸽廖桩谤些磐颗梗离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性与非 : PQ PQ = （ P Q） P Q PQ T T FT F
18、 TF T TF F T队故墩将心坊抹锌坤架瞒耍盗荤抖惺酪丢嫡霓驴售揍铃淮猜迟聘业检贺肿离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性定理 2(p8) 联结词 的集合 是完备 的。 证明：显然，有： P = P PP Q= （ PQ）所以 可以表示集合 ， 又因为 ， 是完备的，即任何公式 均可以由集合 ， 中的联结词表达出来的公式与之等价，所以任何公式 均可以由集合 中的联结词表达出来的公式与之等价。故集合 是完备的。奇引浙否霓番害睬灾满端卷瞩棍广框京卜沂献俺讶潦诅饿逾础廓郡保潞褥离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性或非 PQ=(P Q)
19、 定理： 联结词的集合 是完备的。 P Q PQ T T FT F FF T FF F T壕伟组磐熙拯腮啃运卫嗅兔他绎篱存扦东孙辛厩斩采檬裳础暮自破茫帚猖离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性例 (p8) 试证 明 联结词 集合 不完备 。 证 明：假 设 是完 备 的 根据完 备 性的定 义 知 P = Q1 Q2 Q3 Qn 当 P， Q1, Q2, Q3, , Qn 全取 为 真时 ， 公式左 边 =F， 公式右 边 =T。 显 然矛盾。 故 联结词 集合 不完 备 。 喜孔匣效善智窝桓萌肤诗妇弊偶娟肋靳留宾拭衰粳贾靴炊朴疟竭拽糯鸵舔离散数学第一章命题演算基础-真假性离散数学第一章命题演算基础-真假性
