1、傅立叶展开与傅立叶变换1.傅立叶展开对于周期为 的周期函数 ，可展开为2xf 10sinco2nxbaf函数系 ， ， ， ， ，在 上满足正交性21xcosixcsi,d 0cosinxdm0sin12x12si,nxmcs,nx则 adxfco0nbsi11对于任意周期为 的周期函数 ，可展开为lT2xf 10sincosn xlblaxf 函数系 ， ， ， ， ，在 上满足正交21lcoslix2l,性 1dx 0cosinxdmsin12 1120si,nxmcs,nx则 l adlxfcol nbsi112.傅立叶变换对于无周期的函数 ，其定义在 上，可看作为 的周期函数xf, l
2、T2取 的极限。l 10sincos2n xlbxlaxf l dlcos1 l nbdf1cos2nll tlxtftfxf当 时，lld0再取 ，lnln则 xf1cosnlndtxtfnldtxtfdcos0定义傅氏积分： ttfxf 10傅立叶定理：若函数 在任意有限区间上满足狄利克雷条件 ，且在区间内绝对可积，则 的傅氏积分在 上处处收敛，且有, f ,20cos10 xffdtxtd此式称为傅氏积分公式。利用欧拉公式，此公式可写为复数形式： 2xfftetfxi当 在 处连续时，则 在 处的傅氏积分就等于 。xf dttfdxi1eiti2令 xefFi则 dxfi1被称为 的傅氏变换， 被称为 的傅氏逆变换。fF
