1、颜学友毕业论文 第 1 页 共 12 页超级市场的最佳进货方案数学与应用数学 2001 级 1 班颜学友指导教师：简国明 副教授1 问题的提出韶关市某大型超级市场每天需要储存大量物品以满足顾客的需要，经营的品种分为贮存时间较短的短期商品(如：蔬菜、面包、熟食等)和贮存时间较长的长期商品(如：洗涤用品、香烟、毛巾等)该超市常常碰到以下问题：商品进货策略把握不好，有些商品脱销，有些商品积压其后果是减少了超级市场的收益另外，有些商品缺货会造成顾客的抱怨，以至影响该超级市场的声誉，导致超级市场出现缺货损失在竞争激烈的市场经济条件下，该超市试图确定最佳进货方案，使得支付的总费用最小，以期获得最大利润2
2、模型的假设2.1 顾客的需求量是随机的2.2 超级市场周期初所订的货物立即到达2.3 短期商品的保质期为销售的一个周期，一个周期只定一次货2.4 短期商品在一个周期内没有售出的(超过保质期)，不再贮存，立即折价售出2.5 长期商品在一个周期未售出的，进入下一个周期的销售，并且摆在货柜的最前面，即不考虑保质期的影响2.6 超级市场的商品在一个周期内，其进货价和销售价保持不变3符号约定商品一个周期的订货量Q顾客的需求量，是一个连续的随机变量r需求量 r 的密度函数 p颜学友毕业论文 第 2 页 共 12 页每次的订货费(与数量无关)0c单位商品的进货价1单位商品一周期的贮存费2c单位商品的销售价3
3、短期商品一个周期内未售出的商品，折价售出时单位商品的售价4c单位商品的缺货损失费5长期商品一个周期末的存货量x长期商品一个周期初的订货量u4问题的分析超级市场进货后短期商品和长期商品的整个运转过程可用以下流程图表示：从以上销售系统可知，我们需要对短期商品和长期商品这两大类商品分别建立数学模型对于短期商品到周期末未售出的，要立即折价售出而不再贮存，因为已经过了保质期；对于长期商品到周期末未售出的，进入下一个周期的销售，而且应放在货柜的最前面，这样，我们不用考虑其保质期的影响我们只需分别对两类商品就是否考虑缺货损失，建立总费用与进货量的函数关系式，进而求极值将解决问题5模型的建立和求解销售周期初周
4、期末长期商品销售系统未售完的商品未售完的商品周期初短期商品销售系统销售周期末折价售出颜学友毕业论文 第 3 页 共 12 页5.1 短期商品进货方案5.1.1 不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略不考虑中断损失，那么一个周期的费用是订货费、进货费以及贮存费的总和由于需求量 是随机变量，密度函数是 ,所以一个周期的累计贮存量为rrp此时，平均费用为Qdp0Qrd prc rQcL0210 41,说明：因为需求量 是一个随机变量，所以 的值也是不定的，超级市场r若要确保不缺货，那么进货量 一定要大于需求量 ，否则 超市可以根rr据需要取相应 的表达式QL下面对上式进行分析，进而确定进货量 ，使得总
5、费用 最小：QL当 时，rQdrpcdL0241令 ,得0dQL(1)Qcdrp0214由于(1)式右边为负数，两边同时加上 ，且将 代入，Q01drp得到(2)Qcdrp241由于 ，即函数 存在最小值所以满足(2)式的 可以02pcdLLQ使平均费用达到最小当 时，rQ颜学友毕业论文 第 4 页 共 12 页QdrpcdL021令 ,得0dQL(3)Qcdrp021同理，由于(3)式右边为负数，两边同时加上 ，且将Qdrp代入，得到01drp(4)Qcdrp21由于 ，即函数 存在最小值所以满足(4)式的 可以02pcdQLLQ使平均费用达到最小5.1.2 考虑中断（缺货）损失的最佳进货策
6、略当订货量小于需求量，即 时，缺货费为 ；当rQdrprcQ3时，缺货费为零这样平均费用可以表示为rQ QQr cdrpc dpL0 41210 3,下面确定 使总费用 最小：L考虑 情形，根据平均费用的表达式，我们有rQQdrpcdrpcd0321令 ，化简得，0dQL(5)1230cdrpQ颜学友毕业论文 第 5 页 共 12 页由于 ，即函数 存在最小值满足(5)式的 可以使平均费用达02dQLQLQ到最小 当 时，缺货费为零，与不考虑中断损失时的模型类似r下面我们以超市提供的部分数据为例，来验证以上理论的正确性根据该超级市场提供的历史数据(见附录)，对表格中的数据进行方差分析，可以知道
7、各种商品的的需求量符合正态分布此时，我们令需求量 的密度函数 为rrp21rerp这里，考虑 情形，密度函数中的 ， 参看附录 1 中表格：短期商品销售rQ的历史资料，然后根据(4)和(2) 分别计算出不考虑中断损失和考虑中断损失时的进货量，见表(1)表(1)理论进货量( )rQ项目商品销售价 3c进货价 1折价后的售价 4c贮存费 2实际销售量(平均值) 不考虑中断损失考虑中断损失面包 1.90 1.24 0.60 0.12 886.80 872 899饼干 2.70 2.23 0.80 0.12 134.60 125 146豆奶 2.50 1.80 0.70 0.12 74.60 75 8
8、7某种牛奶 3.50 2.90 1.00 0.12 76.80 82 84矿泉水 2.50 1.70 0.80 0.12 105.40 98 123香肠 1.20 0.56 0.40 0.12 75.80 66 84从表(1)中，我们很明显看出，考虑中断损失时的进货量要高于不考虑中断损失时的进货量，与我们常识相符52 长期商品进货方案5. 2.1 不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略因为长期商品不用考虑保质期这个因素的影响，也就是说，一个周期未售颜学友毕业论文 第 6 页 共 12 页完的商品不用折价售出此时，订货费为 进货费为 ，贮存费为0cuc1当然，不进货(即 )时不用付以上费用当进货量
9、uxdrpc02 u时，平均费用是订货费、进货费以及贮存费的总和；当进货量 时， 0u只须付贮存费此时，平均费用为 xux drpcudrpuS02021, 0,当 时有0u uxrcduS021再令 ，得 duS(6)210crpux由于(6)式右边为负数，两边同时加上 ，且将 代入，uxd01drp(6)式变形为(7)uxcrp21由于 ，即函数 存在最小值所以满足(7)式的 可02pcduLSu以使平均费用达到最小当 时，我们不用考虑进货问题有0xdrpcdS02因为 ，所以 存在最小值令 ，容易得02xpcdS 0xS，即00xrp(8)1xdrp也就是说当上一周期末的存货量 如果满足
10、(8)式，那么就可以考虑不用进x颜学友毕业论文 第 7 页 共 12 页货5. 2.2 考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略当进货量 时，平均费用是订货费、进货费、贮存费以及缺货损失费的0u总和；当进货量 时，只须付贮存费此时，平均费用的数学表达式为0u uxLcS0,10其中， xx drprdrpcL502当 时，urcrcuSuxux5021令 ，可得0duS(9)1250cdrpuxx即周期初的订货量加上上周期末的存货量 满足(9)式时，平均费用最ux小也就是说，满足(9)式的 即为最优的进货量与不考虑中断（缺货）损失的最佳进货策略类似：当 时，我们不用考0u虑进货问题有(10)drpc
11、drpcdxSxx502令 ，得0dxS(11)250cdrpxx当上一周期末的存货量 如果满足(11)式，那么就可以考虑不用进货我们以超市的香烟为例对以上建立的长期商品进行检验，密度函数 中rp的参数 ， 见附录 1 中表格中各种品牌香烟销售的历史资料，这样我们可以颜学友毕业论文 第 8 页 共 12 页计算出不考虑中断损失和考虑中断损失时各品牌香烟的进货量，见表(2)表(2)理论进货量项目品牌销售价 3c缺货损失费 5进货价 1c贮存费 2实际销售量(单位：包)上次库存不考虑中断损失考虑中断损失盖双喜 8.00 2.40 7.45 0.12 73 3 74 79黄红梅 4.00 1.20
12、3.65 0.12 21 3 22 23盖红河 5.00 1.50 4.15 0.12 17 0 19 23白云烟 5.50 1.65 4.75 0.12 24 0 29 35红山茶 4.00 1.20 3.30 0.12 41 3 38 48红云烟 7.00 2.10 6.00 0.12 13 1 12 17同理，我们从表(2)中，也可以知道，考虑中断损失时的进货量要高于不考虑中断损失时的进货量，与我们常识相符6模型的推广超级市场在实际进货时往往不是每次进一种商品，于是该问题可以推广到一次性同时进货 种商品时，进而确定第 种商品的进货量 若第m).1(miiQ种商品的需求量为 ， 种商品一次
13、性进货时总的订货费(包括交通费) 为 (与iir 0c数量无关) ，第 种商品的单位商品的进货价为 ，第 种商品的单位商品一周期ic1的贮存费为 ，第 种商品的销售价为 ，第 种短期商品一个周期内未售出ic2 i3的商品折价售出时单位商品的售价为 ，第 种商品的缺货损失费为 此时，ic4 ic5我们同样对长期商品和短期商品就是否考虑缺货损失费分别建立函数关系式，以一次性同时进货多种短期商品且不考虑缺货损失费为例， 颜学友毕业论文 第 9 页 共 12 页 imiQiiii imi iiii iiiim rdprcc rQ cQL , , 10210 14121下面对上式进行分析，进而确定第 种
14、商品进货量 ，使得总费用 最小i L当 时，irQiQiii drpcQL0241令 ,得方程组0iQL0021mQLL然后解这个方程组得，(1)iQicdrp0214由于(1)式右边为负数，两边同时加上 ，且将 代入，Qir01drpi得到(2)Qi iiicdrp241由于 ，即函数 存在最小值所以满足(2)02cdLii mQL,21式的 可以使平均费用达到最小iQ其实这与前面单一商品进货情况一致，这是由于总费用是每种商品费用的线性颜学友毕业论文 第 10 页 共 12 页相加，而固定费用通过求导(偏导)后已经消去的缘故从这里也可以看出，当每次进货量越大那么固定费用平均分配到每件商品后，
15、单位商品的一次性费用也越小对于一次性进货多种长期商品，或者既有长期商品又有短期商品都有类似的结论，这里不在累述如果考虑商品之间的相互影响，如替代品之间的销售量的影响则不再是线性关系，较为复杂7模型的评价本文所建立的数学模型较为清晰明确的确定了总费用与订货费、贮存费、缺货损失费等因素的关系最终建立了总费用与进货量 的函数关系式，通过Q微积分知识合理的解决了超市商品缺货和出现商品积压的问题； 本文所建立的模型是针对单个商品建立函数关系式来确定进货量实际的经济运行规律是复杂的，它不能简单的用一些函数关系式来描述现实的经济系统另外，超级市场每次进货都是多种商品一起进货的，而且商品相互之间还有影响，销售
16、量是随机变化的，各种商品的销售量还受替代品的影响所以，实际操作时是一个较复杂的问题致 谢：毕业论文写作完毕。回想起论文的写作过程，一直得到简国明副教授对我的关心、支持与帮助。简老师知识渊博，工作认真负责，从 2000 年开始一直担任我校大学生数学建模竞赛主教练本人也两度参加全国大学生数学建模竞赛，在简老师的辛勤栽培下，我的数学思想、方法以及综合素质都有了很大的提高在本篇论文的选题、论证、撰写中得到了简老师的悉心指导，简老师提供或查找资料、帮助我解决各个疑难问题、并在修改论文时提出很多的意见和建议，论文能如期完成，是与 简老师的指导、教育分不开的在此，本人特向简老师表示衷心的感谢祝简老师身体健康
17、、工作顺利、万事胜意！参考文献：1姜启源数学模型(第三版 )M北京：高等教育出版社， 20032 洪毅等经济数学模型M 广东：广东华南理工大学出版社， 1998颜学友毕业论文 第 11 页 共 12 页3 王庚实用计算机数学建模M 安徽：安徽大学出版社， 20004 Jerry Banks,John Carson 著侯炳辉等译离散事件系统模拟北京：清华大学出版社，1988.35魏宗舒概率论与数理统计北京：高等教育出版社,19836 程里民运筹学模型与方法教程北京：清华大学出版社，20017尹泽明等精通 MATLAB6M北京：清华大学出版社，20048 中国超市网 http:/www.china
18、- 9 http:/ 经济学中的常用函数2004.7.16附 录短期商品销售的历史资料：销量商品周期 1 周期 2 周期 3 周期 4 周期 5 期望值 标准差 面包(单位：只) 879 887 884 891 893 886.80 5.5857饼干(单位：包) 124 135 126 135 153 134.60 11.4586豆奶(单位：瓶) 75 84 66 75 73 74.60 6.4265某种牛奶(单位：瓶)76 81 69 81 77 76.80 4.9193矿泉水(单位：瓶)101 105 98 106 117 105.40 7.2319香肠(单位：条) 67 81 77 78 76 75.80 5.2631各种品牌香烟销售的历史资料：项目品牌周期 1 周期 2 周期 3 周期 4 周期 5 期望值 标准差 盖双喜 78 79 87 68 55 73.40 12.3004颜学友毕业论文 第 12 页 共 12 页黄红梅 19 25 26 18 20 21.60 3.6469盖红河 17 15 16 19 21 17.60 2.4083白云烟 28 26 24 23 22 24.60 2.4083红山茶 45 44 42 41 36 41.60 3.5071红云烟 11 14 13 18 9 13.00 3.3912
