1、1高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿（2004 年 11 月 20 日）一、 函数函数是数学分析中的基本概念，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理） ，并会应用这些性质。问题 1 试证不存在 上的连续函数 ，使得 在无理数集上是1Aff一一映射，在有理数集上不是一一映射。证 若不然，则存在 ，使得 且 。设,ab()fabLab在 上的最大值和最小值分别为 和 。若 在 上取常()fx,abMmf,值，则 在无理数集上不是一一映射。于是 或 。不妨设f ， ，则由 可数、开区间 不可数知()LMc
2、()fA(,)L。(,fA任取某个 ，分别在 和 上应用介值性定理(,)(hLf,ac,b必有 和 使得 且 。因 ，故stasctb)(sfth()(LMfA和 都是无理数，这与 在无理数集上是一一映射矛盾。f问题 2 若一族开区间 覆盖了闭区间 ，则必存在|I0,1一个正数 ，使得 中的任意两点 满足 时，0,112,x2x必属于某个开区间 。12,xI证 不妨设每个开区间都是有限区间。（1） 作函数 ， 。:0,fAsup(,)|CxdxI2（2） 连续，且 。而闭区间上的连续函数一定有最小f()0fx值，令 。 （连续性的证明：1min|,12，,xy(,)if()|CCdxIdxaI
3、=inf(),)|,dayin,|，取上确界得,CIsup(,)|(,)sup(,)|CxdxdI即 ，同理 ，于是),fyfyxy，故 取 ，当 时，()d0,，所以 是 上的连续函数。 ）)fx(fx1（3） ， ，因此存在 ，使得0,1)I，从而 。(,)CdI(,I（4）而满足 的点 必在某个 中( 事12x12,x(,)x实上取 即可)，从而命题得证。练习 1 设 在 上可导，且 。证明：对任意(xf0,1)(,0)(ff正数 、 ，必存在 内的两个不同的数 与 ，使ab)。()abaff证 设 ，令 C0= ，则 0 C01。因01b且 在0, 1上连续，由介值性定理存在 ，(),
4、(ff()fx (0,1)c使得 = C0。现在在0,c 上利用拉格朗日中值定理，存在c，有(0,)3。0()()cfcaf bc同理在c,1上利用拉格朗日中值定理存在 ，有,1。0(1)()cff ac于是 。()()1()abacbbff命题得证。二、 极限数列和函数极限的计算，以及有关问题的讨论，无穷阶的比较，实数完备性理论及其应用。问题 3 设 求 。.,21,),0(11 nacacan limna证 首先证明 是递增数列.n,假设 成立，则112 accac kka1, 因此 是递增数列. kkka n再证明 是有界数列. .n cc显然成立. 成立.cana1211设 成立，则k
5、1,cccck2因此， 成立.an根据单调有界定理知知 收敛，设 ,在nanalim两边取极限，得 ,解得 或nnaca21 c2 214c4，但由于 , 因此 , 从而214ca can1 0a.limn练习 2 设 ，求 。11,2,1,nnaa limna证 显然 首先证明， .0n n, 若假设 , 则 .根据归21a2a 2421na纳法可得 成立.n又由 , 即 是递增数02)(21 nnnn aaa na列且有上界, 根据单调有界定理知 收敛，设 , 在nlim两边取极限，得 ,解得 或 ，但由于nna21 a202, 因此 , 从而 .2limna练习 3 设 ，求证： 存在。
6、123nS linS分析 两个事实： 1) 单调递增 ；()ne2) 单调递减 。1有不等式 。1ln()证 = ，故 单调11lnnSl0nS下降，且 =1l()l()ln()l2。231lnln 105存在。limnS注 ，其中 是欧拉常数。1l(1)23nCo三、 积分中值定理函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等） 。问题 4 设 是常数，求证 。0P21lim0npdx解 由积分第一中值定理知 ，有(,)221npdxP故原式 。21lim0P练习 4 。sinlipnxd解 由积分第一中值定理知 ，有
7、(,)npsiinpx故原式= =0。silm四、 积分不定积分和定积分的计算，定积分的性质以及变上，下限的积分，定积分的应用和广义积分。问题 5 求积分 。20sin1coxd6解 （1）2 200sinsinsin1co1cocoxxxddd代入（1）得22i()isstt原式= 2200incosartncos|01cos1tddt = 。练习 5 证明： 。20sin()0xd分析：令 。2xu练习 6 证明 。04231|si|03t分析：令 ，再利用积分第二中值定理。2xu定理： 设 在 上 Riemann 可积，则()f,ab， 使 在(,)0(,)x(fx处连续。0x证明：作分
8、划 。因010: nxx在 上 Riemann 可积，取 ，存在 ，()fx,ab214使 1()(1)niiiMmn（其中 ，以下类似定1,1,() (),f()iii ixxsupf 7义。 ） 所以 ，因此至少有三个 ，使1()(1)12niii nMmi。取 使 。作区间(1)()i0,11()()ii，则 在 上 Riemann 可积。取1,ix()fx，存在 ，使224n1()(2)114iiiMmn于是 ，因此至少有三个 ，使2()(2)14niii ni。()()iiMm取 使 。如此继续可以得到一个闭区间20,n22()()1ii套 1,n 使得（1） ；（2） 在 上的上下
9、确界满4nn()fxn足 。由闭区间套定理知 。下证()()iiMm01,nx在 处连续。fx0事实上， 有 。而由上述构造过程01,n0知， 有 ，,(,),nx此时800()()01()niifxMm故 在 处连续。()f0问题 6 设函数 在 上 Riemann 可积，且 。试()fx,ab()0bafxd证明：存在闭区间 ，使得当 时， 。,x分析 只需在 区间上找一个连续点 ，使得 。利用00()f定积分的定义，分点取连续点（上述定理保证存在连续点）即可。练习 7 若 可积，则 在连续点处恒等()fx2()()bafxdfx于 0。证必要性 若 在 连续，但 ，则0,f00f有 ，于
10、是0(,)(,xab()xx，矛盾。22(fdfd充分性 （ 取连续点） 。1()lim)0nbiabafxfi五、 其它问题 7 从已知 的内部的点 向三边作三条垂线，求使ABCP此三条垂线长的乘积为最大的点 的位置。解：设 到 的距离分别为 。则P, ,xyz，2cxbyazS其中 为 的面积。SABC，331112()()Sxyzcyzababcabc等号当且紧当 时成立，且可达到。9练习 8 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。练习 9 求使得下列不等式对所有的自然数 都成立的最大的数n和最小的数 ： 11()()ne。 （ ）1,ln2问题 10
11、设有函数列, , ,fx1275()fxfx2215()()fxfxnn()()215求方程 的一切实数解。04解（1）首先验证 是方程的解。（2）当 时，用归纳法证明 。5x()2nfx（3）当 时，用归纳法证明 。问题 11 设 ， ， ，若存在 ，使得1()fxf1()()nnfxfxA0n，则 是 到 的一一映射。0()nfxA1证 只需证 是单射。假设 不是单射，则 使得ff12x。因此 ， 使得 ， 。于是12()fxf1n211()nfx22()n，从而 。所以121()nnx1221()nf ， 。12121nffx 21212()()()nnnfxfxf 于是 ，这与 矛盾。故 是 到 的一12()()nx A1一映射。（钱有华）
