1、第五单元 几何的初步与三角形,第 25 讲 尺规作图,内容索引,备考基础 温故知新，明确考向,重点突破 分类讲练，以例求法,易错防范 辨析错因，提升考能,备考基础,返回,在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图,考点梳理,尺规作图,特别提醒 尺规作图的工具是没有刻度的直尺和圆规，注意要求是没有刻度，不能用刻度尺去作线段或用量角器作直角.,五种基本作图,1.作一条线段等于已知线段 2.作一个角等于已知角 3.作一个角的平分线 4.作一条线段的垂直平分线 5.过一定点作已知直线的垂线,1.已知三角形的三边，求作三角形 2.已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 3.已知三角形的两角及
2、其夹边，求作三角形 4.已知底边及底边上的高线，求作等腰三角形 5.已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形,利用尺规作三角形,与圆有关的尺规作图,1.过一个点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连结这两点的线段的垂直平分线上 2.过不在同一直线上的三点可以作一个圆 3.作三角形的外接圆、内切圆 4.作圆的内接正方形和正六边形,几何作图的一般步骤,1.已知：写出已知的线段和角，画出图形 2.求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化 3.作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹 4.证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出
3、后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件 5.讨论：研究这个问题是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解 6.结论：对所作图形下结论,特别提醒 尺规作图的基本步骤包括：已知，求作，分析作法，证明，结论，步骤顺序不作要求，但作图时一定要保留作图痕迹，作图后不要忘记写结论.,基础诊断,1.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQl于点Q.”分别作出了下列四个图形其中作法错 误的是( ),A,A,B,C,D,2.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AO
4、BAOB的依据是( )A. SAS B. SSSC. ASA D. AAS,B,3.如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是( )A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.两直线平行，同位角相等D.两直线平行，内错角相等,A,4.如图，已知在RtABC中，ABC90，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：EDBC；AEBA；EB平分AED；ED AB中，一定正确的是( )A. B. C. D.,解 根据作图过程可知：EBEC， D为BC的中点，
5、 PD垂直平分BC，EDBC正确； ABC90，PDAB， E为AC的中点，ECEA， EBEC，EAEB， AEBA正确，EB平分AED错误，ED AB正确 故正确的有.,4.如图，已知在RtABC中，ABC90，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：EDBC；AEBA；EB平分AED；ED AB中，一定正确的是( )A. B. C. D.,B,5.如图，在ABC中，B55，C30，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接
6、AD，则BAD的度数为( )A.65 B.60 C.55 D.45,解 由题意可得MN是AC的垂直平分线， ADDC，CDAC30， B55，BAC180553095， BADBACDAC953065.,返回,5.如图，在ABC中，B55，C30，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为( )A.65 B.60 C.55 D.45,A,重点突破,返回,类型一,利用尺规作线段垂直平分线与角平分线,【例1】 (2017贵港)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：已知线段a和AOB，点M在OB上(如图所示)(1)在OA边
7、上作点P，使OP2a；(2)作AOB的平分线；(3)过点M作OB的垂线,点拨 (1)在OA上截取OP2a即可求出点P的位置；(2)根据角平分线的作法即可作出AOB的平分线；(3)以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线,解,点拨,解 作图如下图所示：,【变式1】 (2017广东)如图，在ABC中，AB.(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；,解,解 作图如下图所示：,(2)在(1)的条件下，连接AE，若B50，求AEC的度数,解 DE是AB的垂直平分线， A
8、EBE， EABB50， AECEABB100.,解,解题要领 熟悉线段垂直平分线、角平分线的概念与性质，灵活应用这些知识解决问题.,【例2】 如图，ABC是等腰三角形，ABAC，请你用尺规作图将ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由(保留作图痕迹，不写作法),类型二,利用尺规作三角形,点拨 作出底边BC的垂直平分线，交BC于点D，利用“三线合一”得到D为BC的中点,解,点拨,解 作出BC的垂直平分线，交BC于点D，作图如图所示； ABAC，AD平分BAC， BADCAD， 在ABD和ACD中，,ABDACD(SAS),【变式2】 (2017吉林)图、图、图都是由边长为1的小
9、等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点线段AB的端点在格点上(1)在图、图中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；(所画图形不全等),解,解 作图如图、图所示，ABC和ABD即为所求,(2)在图中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上,解,解 根据平行四边形的判定作图，如图所示，ABFE即为所求,解题要领 首先明确已知、求作，然后绘出草图进行分析，找出作图步骤，准确叙述作法，并完成作图.,类型三,利用尺规作与圆有关的图形,点拨 根据勾股定理的逆定理或圆周角定理，可得答案,【例3】 (2017南京)“直角”在初中几何学习中无处不在如图，已知AOB，请仿
10、照小丽的方式，再用两种不同的方法判断AOB是否为直角(仅限用直尺和圆规),解,点拨,解 方法1：如图，在OA，OB上分别截取OC4，OD3，若CD的长为5，则AOB90.,方法2：如图，在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则AOB90.,图,图,【变式3】 (2017六盘水)如图，MN是O的直径，MN4，点A在O上，AMN30，B为 的中点，P是直径MN上一动点(1)利用尺规作图，确定当PAPB最小时P点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)；,解,解 如答图1所示，点P即为所求,答图1,(2)求PAPB的最小值,解,解题要领 熟悉圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与
11、圆的位置关系，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，完成证明及计算过程.,解 由(1)可知，PAPB的最小值即为AB的长， 连接OA、OB、OA，如答图2， 点A为点A关直线MN的对称点，AMN30， AONAON2AMN23060， 点B为 的中点， ，,AOBAONBON603090， MN4，,答图2,类型四,利用尺规设计图形,【例4】 (2016哈尔滨)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上(1)如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、
12、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；,点拨,解,点拨 直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；,点拨 直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案,(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上,点拨,解,解 如图2所示，四边形ABCD即为所求,【变式4】 (2017自贡)如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形请在如图所示的网格中(网格的边长为1)，用直尺作出这个大正方形,解,解 直接根据阴影部分面积得出正方形的边长，如图所示，所画正方形即为所求,类型五,尺规作图与几何证明的综合应用,【例
13、5】 (2017赤峰)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图：作BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点 F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；,点拨,解,点拨 角平分线的作法；,解 作图如图所示，AF即为所求,点拨 先根据平行四边形的性质，再根据角平分线的性质，得出24，据此可得出结论,(2)在(1)的条件下，求证：CECF.,点拨,解,解 四边形ABCD是平行四边形， ABDC，ADBC， 12，34. AF平分BAD， 13，24， CECF.,【变式5】 (2017广州)如图，在RtABC中，B90，A30，AC(1)利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB
14、于点D；(保留作图痕迹，不写作法),解,解 作图如图所示，DE即为所求,(2)若ADE的周长为a，先化简T(a1)2a(a1)，再求T的值,解,设DEx， 则在RtADE中，AD2DE2x，,解得：x1，,T(a1)2a(a1)3a1，,返回,易错防范,返回,易错警示系列 25,尺规作图必须满足题意,正确解答,分析与反思,剖析,试题 尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形已知：，线段a.求作：ABC，使ABAC，BAC，ADBC于D，且ADa.,正确解答,分析与反思,剖析,错误答案展示 解：如图，(1)作EAF；(2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa；(3)过D画直线MN交AE、AF分别于C、B，则ABC为所求作的等腰三角形,剖析 上述画法考虑AD平分BAC，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合，但是画法(3)没有注意到ADBC，也难以使ABAC.,正确解答 解：如图，(1)作EAF；(2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa；(3)过D作MNAG，MN与AE、AF分别交于B、C，则ABC即为所求作的等腰三角形,分析与反思 这里可用交会法，用直线MN和EAF两边相交，确定B、C两点求作的写法是，先写出求作的是什么图形，然后逐一写出对这个图形的要求,正确解答,返回,分析与反思,剖析,本课结束,更多精彩内容请登录：,,
