1、数学模型讨论作业第 1 页 共 5 页姓名：晏福刚 学号：20102183 班级：数学一班一、问题描述某部门现有资金 10 万元，五年内有以下投资项目供选择：项目 A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利 15%；项目 B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利 25%，最大投资额为 4万元；项目 C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利 40%，最大投资额为 3万元；项目 D：每年初投资，年末收回本金且获利 6%；问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？2、问题分析本题为投资组合问题，且属于数学规划问题。其中项目 A 前 4 年每年初都可以进行投资但只能在第二年末才能收回本利息。
2、B、C 在五年中只能进行投资一次，分别在第三年、第四年初进行投资均在第五年末收回且有金额限定。D项目每年初进行投资，每年末就能收回本利息。并且在本题中并没有涉及到风险的问题，所以不考虑有损失。在此题中首先目标是使第五年末的本息最大，约束条件为总的金额及个项目投资金额的限制。3、模型假设 假设每项投资不存在风险，不会出现损失。在投资中一旦投资，就在上面题中所说的时间收回本利息，不考虑中途撤销资金投资的情况。4、符号假设x1i 第 i 年用于 A 项目的投资金额x2 第三年用于 B 项目的投资金额x3 第二年用于 C 项目的投资金额x4j 第 j 年用于 D 项目的投资金额五、模型建立1.约束条件
3、和目标函数的建立首先假设第 i 年用于投资 A 项目的资金为 x1i(i=1、2、3、4)。第三年投资B 项目的资金为 x2（由于 B 项目投资条件的限定在五年内只能进行一次投资） 。第 2 年投资 C 项目的金额为 x3。D 项目第 i 年投资金额为 x4j(j=1、2、3、4、5)。那么五年内的投资情况及收益情况将如下表所示：数学模型讨论作业第 2 页 共 5 页下面对上述表格进行具体的表述：总的资金为 10 万。 （以下单位均为：万元）第一年初：可投资金额：10 万 可投资项目：A、D 项目A 的投资金额：x11（将在第二年末收回） D 的投资金额：x41则必有 x11+x41=10第一
4、年 Error! No bookmark name given.末：收回 D 项目的本利息：x41*(1+6%)第二年初：可投资金额：x41*(1+6%) 可投资项目：A、C、 D 项目A 的投资金额：x12 （将在第三年末收回） C 的投资金额：x3（将在第五年末收回且 x30;x120;x420;x130;x430;x140;x440;6、模型求解数学模型讨论作业第 4 页 共 5 页以上模型为线性规划模型，我们可以用 Lingo 或者 Matlab 软件进行求解Lingo 程序如下：model:max= 0.0465*x41-1.4*x12-0.075*x42-0.031*x13-1.2
5、5*x43+1.15*x14+1.1236*x44+14.3750;1.06*x41-x12-x42-30;x120;x420;x130;x430;x140;x440;end求解结果为：Global optimal solution found.Objective value: 14.37500Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX41 6.521739 0.000000X12 3.913043 0.000000X42 0.000000 0.3036000E-01X13 0.000000 0.000000X43 0.0000
6、00 0.000000X14 4.500000 0.000000X44 0.000000 0.2640000E-01Row Slack or Surplus Dual Price1 14.37500 1.0000002 0.000000 数学模型讨论作业第 5 页 共 5 页0.7750000E-013 0.000000 0.3100000E-014 0.000000 1.1500005 6.521739 0.0000006 3.913043 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 4.500000
7、 0.00000011 0.000000 0.0000007、结果分析由以上结果第五年获得的最大本利息为： 14.37500 其中当X41=6.521739 X12=3.913043 X42=0.000000 X13=0.000000 X43=0.000000 X14=4.500000 X44=0.000000 时，取得最大值。再由x11=10-x41 x3=1.06x41-x12-x42 x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43 x14+x44-1.15x12-1.06x43=0 我们可以算出其他变量的值，进而得到使得五年后本利息最大的投资策略。具体如下表（以上值按四舍五入计算保留四位，单位：万元）： 即最有投资策略为：第一年分别投资 A项目 3.4783 万元 D项目 6.5217 万元第二年分别投资 A项目 3.9130 万元 C项目 3 万元第三年只投资 B项目 4 万元第四年只投 资 A项目 4.5 万元 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年A 3.4783 3.9130 0 4.5000 0B 0 0 4.0000 0 0C 0 3.0000 0 0 0D 6.5217 0 0 0 0
