1、凯里一中 2018 届黄金卷第二套模拟考试理科数学试卷命题学校:凯里一中(试题研究中心)第 I 卷(选择题,共 60 分)一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数 ，则 （ ）2018zizA0 B1 C D22. 已知 ， ，则 （ ）3x30BxABA B C D(,)(1,)(1,)(1,3)3. 函数 的最小值为（ ）24xfA 3 B 4 C 6 D 84. 直线 和圆 的位置是（ ）52yx2420yxA相交且过圆心 B 相交但不过圆心 C. 相离 D. 相切5. 某几何体的三视图如图(1)
2、所示,则该几何体中最短棱和最长棱所在直线所成角的余弦值为（ ）A B C. D6364236. 设 ， ， ，则（ ）3loga1()2b8073tan4cA B C. Dcbccba7.2017 年 11 月 30 日至 12 月 2 日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中,7 名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则 7 名教师上课的不同排法有（ ）种A. 5040 B. 4800 C. 3720 D. 49208. 已知抛物线 的焦点 是椭 （
3、 ）的一个焦点，且该抛物线214yxF21yxab0a的准线与椭圆相交于 、 两点，若 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ）ABAA B C. D2313219.过直线 上的点作圆 的切线，则切线长的最小值为（ yx2460xy）A B C. D19252159.中国传统数学中许多著名的“术”都是典型的算法.如南宋秦九韶的“大衍总数术”就是一次剩余定理问题的算法，是闻名中外的“中国剩余定理”.若正整数 除以正整数 后的Nm余数为 ，则记为 （ ） ，例如 .我国南北朝时代名著孙子算经nNnmod10(mod3)中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩问物几何
4、?”就可以用源于“中国剩余定理”思想的算法解决.执行如图（2）的程序框图，则输出的 （ ）nA 16 B 18 C. 23 D28 10.如图（3）所示，在半径为 的 内有半径均为 的 和 与其相切， 与R;2R1C;21C;外切， 为 与 的公切线.某人向 投掷飞镖，假设每次都能击中 ，且2C;AB1C;2OO击中 内每个点的可能性均等，则他击中阴影部分的概率是（ ）OA B C. D4481811.在 中， ，若 ，则函数 的最小值为（ ABC23()tant()3fAA()f）A B C. D32212.已知偶函数 ，且 ，则函数4log,0()8)8xff()(fxf在区间 的零点个数
5、为（ ）1()2xFxf1,2A 2020 B2016 C. 1010 D1008第卷 非选择题二、填空题：（本题共 4 小题每题 5 分，共 20 分）13. 已知 ， ， ，若 ，则 (1,)a(2,1)b(,2)cabc14. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 nnS108243a2019S15. 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于2ba( 、 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线 （ ）的左、2:1xCya0a右焦点分别为 、 ，若点 是双曲线 上位于第四象限的任意一点，直线 是双曲线的1F2MCl经过第二、四象限的
6、渐近线， 于点 ，且 的最小值为 3，则双曲线Ql1QMF的通径为 .C16.已知球 是棱长为 2 的正八面体(八个面都是全等的等边三角形)的内切球， 为球O N的一条直径，点 为正八面体表面上的一个动点，则 的取值范围是 PPN三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，ABCCabc， ，且 .(2cos,cos)mab (,1)ncmn（）求角 ；（）若 ，求 周长的最大值.318.2018 年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨，黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行
7、了调查，随机抽取 80 名群众进行调查，将他们的年龄分成 6 段：, , , ， ， ，得到如图所示的频率分布直方20340560,7,80图.（）求这 80 名群众年龄的中位数；（）将频率视为概率，现用随机抽样方法从该社区群众中每次抽取 1 人，共抽取 3 次，记被抽取的 3 人中年龄在 的人数为 ，若每次抽取的结果是相互独立的，求 的分布304， 列，及数学期望 .()E19.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， , . PABCDABPDAC（）若 是 的中点，求证： 平面 ；EPA/PCBED（）若 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.D220.已知抛物线 的焦点 为曲线 的一个焦点
8、， 为坐2:(0)CypF2:143xyO标原点，点 为抛物线 上任意一点，过点 作 轴的平行线交抛物线的准线于 ，直线MMP交抛物线于点 .OPN（）求抛物线 的方程；（）若 、 、 三个点满足 ，求直线 的方程.F2FN21. 已知函数 ()2)ln(1()fxxaR（）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；1ayf0,f（）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；()0fx,()（）若数列 的前 项和 ， ，求证：数列 的前 项和na231nS4nbanb.l(1)2nT请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 ，
9、( 为参数， 为倾斜角).以坐标原点为极点， 轴的正半轴2cos:4inxtlytx为极轴建立极坐标系，曲线 的直角坐标方程为 .C240xy（）将曲线 的直角坐标方程化为极坐标方程；（）设点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 的交点为 、 ，求 的取M(2,4)lCABM值范围.23.选修 4-5：不等式选讲已知 、 、 均为正实数.abc（）若 ，求证：3a3abc（）若 ，求证：121()9凯里一中 2018 届黄金卷第二套模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5: CBBAD 6-10: ADCCB 11、12：DA二、填空题13. -3 14. 2018 15. 2 16. 40,3三、
10、解答题17. 解：（） mncos(cos)CaBbA由正弦定理得 2si(iin0A即 ，在 中， sinco)0CB2scsBC00 ， ,1cs2(,)3C（）由余弦定理可得： 222cos()(1cos)9cababC即 ，2()39ab21()932366ab当且仅当 时取等号， 周长的最大值为 6+3=9ABC18. 解：（）设 80 名群众年龄的中位数为 ，则x，解得 ，0.51.0.201.350.5x即 80 名群众年龄的中位数 55 （）由频率分布直方图可知，任意抽取 1 名群众，年龄恰在 的概率为 ,3,40） 1由题意可知 ， 的所有可能取值为 0，1，2，3，1(3)
11、0B，:,033972()=PC（ =) 123943()()=0PC=213()()0 31()()的分布列为X0 1 2 3P72943071010所以 .或者 729433()101E=+3()=1E19. 解：（）连接 交 于 ，连接 .在三角形 中，中位线 ，ACBDGEACP/GPC且 平面 , 平面 ， 平面GP/PBD（）设 ，则 ，且 .分别以 为2CD2ABCDP3EPA,DCP轴的正方向建立坐标系，则,xyz42(0,)(2,0)(,)(0,)(2,0)(,2)3DAECBP ，设平面 的一个法向量为 ，,BPED(,)nxyz则 ,令 ，则 ， 20043xynzDE
12、1xy2z(1,2)设直线 与平面 所成的角为 ，则PB|sin|co, 3PBn所以 与平面 所成角的正弦值为E2320. 解：（ ）解由曲线 ，可得 ，所以曲线 是2:14xy2134xy2:134xy焦点在 轴上的双曲线，其中 ，故 ， 的焦点坐标分别为x23,4ab22cab，因为抛物线的焦点坐标为 ，由题意知 ，得12(,0)(,)F、 (,0)pF12p，所抛物线的方程为p24yx（）设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线的方程得 ，消去 得MN1t214tyx，设 ，由根与系数的关系得 ，240yt12(,)(,)xyN1212,4ty因为 ，故 ，得 ，由 及 ，2FN12(,)
13、(,)xyxy1212y12y解得 或 ，代入 ，解得 或12y12y124t4tt故 的方程为 或 ，化简得 或MN4xyx20xy420xy另解：如图，由 ，可设 ，则2MFN|2,|FtNt，因为 ，所以|2,|2MStEFtFSMNE;FMSE解得， ，所以 ，在 中，3t|3,|1tRt，即 （ 为直线的斜率）|1costan2SFFStan2Fxk，所以直线 的方程为 ，即 ，由于对称性知另一条直线的MN2(1)yx220xy方程为 .20x21. 解：（）因为 ，所以 ， ，切点为1a()2)ln(1fxx(0)2)ln10f.(0,)由 ，所以 ，所以曲线 在ln(1)xfx(
14、0)ln1)10f()yfx处的切线方程为 ，即(0,)0yxy（）由 ，令 ， 2()ln1)xfxa()(0,)gfx则 （当且仅当 取等号）.故 在 上为22() 0()()gx ()fx0,)增函数.当 时， ,故 在 上为增函数，2a()0fxf()fx0,)所以 恒成立，故 符合题意；()f2a当 时，由于 ， ，根据零点存在定理，2a(0)f 1()0aafe必存在 ，使得 ，由于 在 上为增函数，(,1ateftfx,)故当 时， ,故 在 上为减函数， 0)x()0ft()x(0,)t所以当 时， ,故 在 上不恒成立，所以 不符合(,tff,)2a题意.综上所述，实数 的取值范围为a(2（III）证明：由 24,13,1331, .2,nnnSab由（）知当 时， ，故当 时， ， 0x(2)lx0xl(1)x故 ，故 .下面证明：2ln(1)1n112ln()nkkln()2T因为 1 2l()l()l()l()ln()l(1)3nk n 456112l(3)lnl()2l2n而， 23nT122241111313nnk Tn所以， ，即：ln()2l3nTl()2ln23n
