1、福州三中 2016-2017 年度高三 5 月模拟考（理科数学）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集 ，则图中阴影表示的集2,|1,|0URAxNBxR合为( )A1 B2 C3，4，5 D3，4解：A2. 若 an为等比数列，且 ，则公比 q( ) 236aA. B. C. D. 21212解：设等比数列 an的公比为 q，由 ，得 a3 a4， q ，故选2364aa4a3 12B.3. 若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）20x2xA B C Daa02a2a解：D4.已知函数 ),(R
2、x的最小正周期为 ，为了得到函数()cosfx.in4g的图象，只要将 xfy的图象（ ）A向左平移 8个单位长度 B向右平移 8个单位长度C向左平移 4个单位长度 D向右平移 4个单位长度解：由于 xfcos)(的最小正周期为 ，所以 .2所以 .2in()2所以将函数 xfy向右平移 ，即可得到 .故选 B.8()sin2)4gx5. 如图所示的程序框图，若输入的 x1,13，则 时， 的取值范围为( )A. 7,55 B. 15,111 C. 31,223 D. 65,447解：开始输入 x1,13， n1；第一次循环时， x3,27， n2；第二次循环时， x7,55， n3；第三次循
3、环时， x15,111， n4；第四次循环时， x31,223， n5故选 B.6. 椭圆 1 的焦点为 F1， F2，点 P 在椭圆上，若线段 PF2的中点在 y 轴上，则| PF2|是x212 y23|PF1|的( )A7 倍 B5 倍 C4 倍 D3 倍解：设线段 PF2的中点为 D，则| OD| |PF1|， OD PF1， OD x 轴，12 PF1 x 轴，| PF1| .b2a 323 32又| PF1| PF2|4 ，| PF2|4 ，| PF2|是| PF1|的 7 倍. 故选 A.3 332 7327.已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）12()()logxf)1(xfy
4、AxyOBxyODxyOyCxO解： ，所以图像的重要特征是 时，减函数，并且过12logxyf00x点 ，所以选 D0,28.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少?”已知 l 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为 1，则该楔体的体积为（ ）A10000 立方尺 B11000 立方尺 C12000 立方尺 D13000 立方尺解：楔体可以分割成一个三棱柱和两个
5、四棱锥的组合体，体积为10230123019. 将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A 12 种 B 10 种 C 9 种 D 8 种解：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有 种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法，故不同的安排方案共有种，故选 A10. 直线 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB、AD 分别交于 E、F，且交其对角线 AC 于 K，若l， ， （R） ，则 =（ ）2ABE3DFCAKA2 B C3 D55解： ， A
6、 ，1123()(23)KAEFAF由 E，F，K 三点共线可得 ,=5 故选：D3【注】用特殊法，利用正方形检验。11. 过双曲线 的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交21(0)xyab于 A、B 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）|2FA B C D 2335解：由 ，由角平分线定理知 = = ,由 ABAO 知AOB=60 ,AOF 2=30 ,|1FBOA2F100易解得离心率 e= 选 A23CD BA【注】注意 ab0 的条件12.已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 ，na1annS214,nSnN若对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）,nNA. B.
7、C. D. 16(,)3），（ 36516(3)， (35)，解： ， ， ，即 ，214nS214()nS184nS184na即 ， 故 ， 由 知 ，28a28naa21616， ；若对任意 恒成立，34()44 1,nNa只需使，即 ，解得1234aa1622aa3513. 若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 的共轭复数为_.ziziz解： ，则 ，所以复数 的共轭复数为i ii21)(1 i2114. 设变量 x， y 满足Error!若直线 kx y20 经过该可行域，则 k 的最大值为_解：画出可行域如图，k 为直线 的斜率，直线过定点 ，kx(0,2)且直线过可行域，要使
8、k 最大，此直线需过 ，所以(4)B， 4115. 正三棱锥 A-BCD 外接球半径为 1， 为 中点， ， 123S、 、 分别表示MACMABC、 D、 A的面积，则 123S的值是 .解：依题意得，正三棱锥为 A-BCD 的各个侧面为全等的等腰直角三角形，侧棱长为 x，则3x2=22, 即 13S的值为 3x2 =2116. 对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，称 为“局部fxxfxffx奇函数” ，若 为定义域 上的“局部奇函数” ，则实数 的1243xmRm取值范围是_解： “局部奇函数”，存在实数 满足()fxx()(ffx即 ，令 ，224343xmm0t则 ， 在 上有
9、解21()60tt 21()()8tmt (0,)t再令 ，则 在 上有解，函数关于 hht22()80gh,)h的对称轴为 .m当 时， ， ，解得 ； 1 2()22()m2m当 时，则 ，即 ，解得 . 2 480g0132综合 ，可知 . 1 2 32三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分 12 分）如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D，E，F 分别在三边 AB，BC 和 CA 上，且 D 为 AB 的中点， ， ， 09B00(9)（1）若 ，求DEF 的面积；（2）若 ，求 的大小03 3tan2EF解：（1）在B
10、DE 中，由正弦定理得00si63(1)sin()2D在ADF 中，由正弦定理得00in1s(3)2i(3)AF所以 .11224DEFSA（2）由（1） ， 03sin(6)03sin()DF由 tanDEF ，得 ，整理得 ，所以 60 20si()2tan318.（本小题满分 12 分）若质地均匀的六面体玩具各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等抛掷该玩具一次，记事件 A=“向上的面标记的数字是完全平方数（即能写出整数的平方形式的数，如 9=32,9 是完全平方数） ” （1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：甲抛掷一次，若事件 A
11、 发生，则向上一面的点数的 6 倍为甲的得分；若事件 A 不发生，则甲得 0 分；乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分。现甲、乙二人各抛掷该玩具一次，分别求二人得分的期望；（2）抛掷该玩具一次，记事件 B=“向上一面的点数不超过 ”，若事件 A 与 B 相16k互独立，试求出所有的整数 .k解：（）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为 ， XY,则 的分布列为=0624X0 6 24P23116EX=51,2345,6Y1 2 3 4 5 6P161172EY（）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有 6 个，事件 包含 2 个基本事件（1 点，2A点） 记 ， 分别表示事件 ， 包含
12、的基本事件数，()nAB(AB由 及古典概型，得 ， = ,)P()2()6nB)(n(3B故 事件包含的基本事件数必为 3 的倍数，即 k=3,6，当 k=3 时，n(B)=1， ， ，符合，1AB()1当 时， ， ， ，不符合，6k()6n,42nAB故 的值可能为 3 或 619.（本小题满分 12 分）如图，在空间几何体 ABCDFE 中，底面 是边长为 2 的正方形，ABCD， ， .AFB/E2BF（1）求证：AC/平面 DEF；（2）已知 ，若在平面 上存在点 ，使得 平面 ，5DPBDEF试确定点 的位置.Py=-1y xDCBA解：（1）连 BD 交 AC 于 O，取 DE
13、 中点 K，良 OK、KFAC、BD 是正方形 的对角线ABCDO 为 BD 中点， ， 四边形 AOKF 为平行四边形，/12EF /AOFK又 平面 DEF， 平面 DEFKAC/平面 DEF（2）在DAF 中， ， ， ，所以5DF2A1FAD又因为 ， ， 平面 ABCDAB,DB 平面 .C以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系（如图）. AFxyz则 ， ， ， ， ，0,A,20B,2,0,2E0,1F设 ，因为 ， ，DPE,DE,F又 ，2,02,2,0P2,所以 ，,2BPD 0,FE20,0,解得 即 . 所以 是线段 上靠近 的三等分点.,23DPP
14、DE20.（本小题满分 12 分）已知菱形 ， 在 轴上且 ， （ ， ） ABCy)1,0(AC),(t0tRt（）求 点轨迹 的方程；（）延长 交轨迹 于点 ，轨迹 在点 处的切线与直线 交于点 ，试判断以DMN为圆心，线段 为半径的圆与直线 的位置关系，并证明你的结论ND解：（）因为 是菱形，所以对角线 与 垂直平分，ABCBAC因为 在 轴上，所以 与直线 垂直，y1y所以点 到直线 的距离与 到 点的距离相等，1所以 点轨迹 为抛物线（不包含顶点） ，D其轨迹方程为 （ ）.24xy0（）设 ， ，),(1M),(2设直线 的方程为 ，联立 可得：Akxyy42042kx所以 ， x
15、421421因为菱形 ，所以 ，所以 ，BCD/tx2所以 ，所以 ，tx1214txy所以 ，所以kt21t4由 可得4xyxy1所以在点 处的切线方程的斜率为Mt2)421（则切线的方程为： ，即 (42txty2xy因为 ， ，所以 ，tkACACBDkBD又 中点 ，所以直线 的方程为 )0,2( y42(txt）联立可得 ，即点 ，又 ，所以14ytx)1,24(tPtk)1,(kP所以 ，点 到直线 的距离42kPADA4122kd所以圆与直线相切.21.（本小题满分 12 分）已知函数 .2()ln)(0fxa（1）若 ， 求 在点 处的切线方程；3af1,)f（2）令 ，判断
16、在 上极值点的个数，并加以证明；32()gxfx(g,)(3) 令 ，定义数列 . ()2fxh11:0,()nnnxhx当 且 时，3a10,34)k求证:对于任意的 ，恒有 .*mN1|89mkkx解：（1） ，所以所求切线方程为2()(1),()ln32xfffln440yy（2） ，令 ，222()()xgxa 21()xxa则 在 上为减函数. 210()a0,， ，所以 在 上有唯0)21(a21()xxa1(0,)一零点. 所以 在 上有唯一零点.()xx(0,)所以 在区间 上有唯一极值点.g0,（3） ， ， ， ， ，21()3hx1x2398x321|84x(0,2k11
17、1 12221()| | |(9kkk kkk 2232()|)|()9984k kxx又 111| |mkmkmkkkx x. 11 11()()999 8mmkkkmkk22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，点 是曲线 上的动点， ，线段 的中点为 ，P2(0)(2,0)APQ以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系x（1）求点 的轨迹 的直角坐标方程；QC（2）若轨迹 上点 处的切线斜率的取值范围是 ，求点 横坐标的取值范M3,M围解：（）由 ，得2(0)24(0)xy设 ， ，则 ， ，即 ，1,)Pxy,Q112y12x1y代入 ，得 ，
18、； 214(0)2()(4x()(0)（不写 累计扣 1 分）y（）设 ，设点 M 处切线 的倾斜角为 ，(1+cos,in)()Ml由 斜率范围 ，可得 ，l3,256而 ， ， ，26231cos所以，点 M 横坐标的取值范围是 3,223.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 1nifx（1）若 ，求不等式 的解集；（2）若 ，求 的最小值23fx4nfx解：（1）当 时， n32,11,fxx当 时， ，解得 ；1x32x0当 时， 不成立；当 时， ，解得 ；3综上，不等式 的解集为 .3fx/0x或（2） 时，4n142x.3x14当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时， 取得最小值 4.123232xfx
