1、第 1 页 共 13 页第三章一、知识概要图形的平移与旋转一、平移 1、定义在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。2、性质平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。3、作图平移作图的依据是平移的性质：1、平移后的图形大小和形状完全相同，即对应线段平行且相等，对应角相等。2、平移后对应点所连接的线段平行且相等。一、根据“平移后对应点所连的线段平行且相等”作平移后图形。1、已知原图位置和平移的方向及距离，作平移后图形。例 1：如图 1，图形扇形 OAB 按箭头所示方向平移 2cm，作出平移后的图形。BADCOP图 1【分析】
2、：此题已知平移的方向和距离。平移是图形的整体平行移动，图形上每个点平移的方向和距离是相同的，所以根据“平移后对应点连接而成的线段平行且相等” ，找出O、A、B 平移后的对应点即可得到平移后的图形。解：如图，分别过 O、A、B 点作与箭头所示方向相同的一组平行线段 OP、AC、BD，且OP=AC=BD=2cm，连接 OA、OB，作弧 AB，就得到扇形 OAB 平移后的图形。2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。第 2 页 共 13 页例 2：如图 2，平移小旗，使小旗上的点 P 平移到点 A，作出平移后的小旗。B QAR P C D图 2S【分析】：连接 PA，可得到点 P（即图形整体）移
3、动的方向和距离。要画出小旗，根据“平移后对应点所连的线段平移且相等” ，过 Q、 R、S 各点沿由 P 到 A 的方向作出 PA的平行线，并在其上截取与线段 PA 等长的线段，即可找到各自平移后的对应点，顺次连接各点就可得到平移后的图形。解：如图，连接 PA，分别过 Q、 R、S 作线段 QB、RC、SD，使 QBRCSDPA，且QB=RC=SD=PA=2cm，连接 AB、AC、BC、CD, 得到平移后的小旗。二、根据“平移后对应线段平行且相等”作平移后图形。1、已知原图形位置和平移后一边的位置（一对对应边） ，作平移图形。例 3：如图 3，ABC 的边 AB 经过平移到了 PD，作出ABC
4、平移后的图形。 PA B DC E 图 3【分析】：由题意得，AB 与 PD 是平移前后对应的线段，根据“平移后图形的形状、大小不变” ，即“平移后对应线段平行且相等” ，ABPD 且 ABPD，我们可以过点 P 作 AC的平行线，过点 D 作 BC 的平行线，两线相交与点 E，由此可以作出平移后的三角形。也可以过点 P 沿 AC 方向作线段 PEAC 且 PEAC，连接 DE，也可以得到平移后的三角形。解法 1. 分别过点 P、点 D 作 AC、BC 的平行线，两线相交与点 E，则PDE 就是所求作的三角形。解法 2. 过点 P 作与 AC 同向的线段 PEAC 且 PEAC，连接 DE，则
5、PDE 就是所求作的三角形。第 3 页 共 13 页2、已知原图形位置和一对对应点，作平移图形。例 4：如图 3，ABC 的顶点 A 经过平移到了点 P，作出ABC 平移后的图形。【分析】：根据“平移后图形的形状、大小不变” ，即“平移后对应线段平行且相等” ，可以过点 P 分别作与 AB、AC 同向的平行线段 PD、PE，并且分别使 PDAB，PEAC，连接DE，则PDE 就是所求作的三角形。解法：过点 P 分别作与 AB、AC 同向的平行线段 PD、PE，并且分别使PDAB，PEAC，连接 DE，则PDE 就是所求作的三角形。【方法探究】：由上面可以看出，作一个图形平移后的图形：1、除了确
6、定原图的位置，还需要知道图形平移的方向（不一定是水平或垂直方向）和平移的距离（连接对应点的线段的长度）2、关键是确定特殊点（线段端点，角的顶点等）3、顺次连接各点（连接不一定是线段）小练1.小宁和婷婷在一起做拼图游戏，他们用“ 、=”构思出了独特而有意义的图形并根据图形还用简洁的语言进行了表述：图 1观察以上图案（1）这个图案有什么特点？（2）它可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成？（3）在平移的过程中， “基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？你能解释其中的道理吗？第 4 页 共 13 页2.如图 2，经过平移，扇形上的点 A 移到了 F，作出平移后的扇形.图 23.经过平移，
7、ABC 的边 AB 移到了 MN，作出平移后的三角形，你能给出几种作法？图 3测验评价结果：_；对自己想说的一句话是：_.二、旋转 1、定义在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。3、第 5 页 共 13 页 DEF,就是 ABC 绕 O 点旋转后的图形本题还有没有其他作法，可以作出 ABC 绕 O 点旋转后的图形 DEF 吗？1.可以先作出点 B 的对应点 E，连接 DE，然后以点 D、 E 为圆心，分别以
8、AC、 BC 为半径画弧，两弧交于点 F，连接 DF， EF，则 DEF 就是 ABC 绕点 O 旋转后的图形.2.也可以先作出点 C 的对应点 F，然后连接 DF.因为 ABC 与 DEF 全等，所以既可以用两边夹角，也可以用两角夹边，找到点 B 的对应点 E，即 DEF.1课本随堂练习.解：如下图，先确定字母 N 的四个端点绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转 90后的位置，然后连线.2小明和妈妈在广场游玩时, 看见许多喷水嘴正在给草坪浇例 1 如图， ABC 绕 O 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试确定顶点 B， C 对应点的位置，以及旋转后的三角形.分析：一般作图题，在分析如何求作
9、时，都要先假设已经把所求作的图形作出来，然后再根据性质，确定如何操作.假设顶点 B， C 的对应点分别为点 E，点 F，则 BOE， COF， AOD 都是旋转角.DEF 就是 ABC 绕点 O 旋转后的三角形.根据旋转的性质知道：经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，即旋转角相等，对应点到旋转中心的距离相等，则 BOE= COF= AOD， OE=OB， OF=OC，这样即可求作出旋转后的图形.解：(1)连接 OA， OD， OB， OC.(2)如下图，分别以 OB、 OC 为一边作 BOE、 COF，使得 BOE= COF= AOD.(3)分别在射线 OE、 OF
10、 上截取 OE=OB、 OF=OC.(4)连接 EF， ED， FD.OAB CDEF第 6 页 共 13 页水。 喷水嘴不停地旋转着, 但每时每刻喷出的水雾总是四分之一圆。妈妈问：“小明,如果喷出水雾的范围内有一正方形, 喷水嘴位于它的中心, 你知道喷水嘴在旋转的过程中瞬时浇过正方形区域的面积是多少吗? ”请你替小明做出回答。3将一个直角三角板绕 30角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上（如图所示） 。你知道旋转角是多少吗？连结 BB， ABB有什么特征吗？4在五边形 ABCDE 中， AB=AE、 BC+DE=CD， ABC+ AED=180.求证： AD 平分 CDE.连
11、接 AC，将 ABC 绕点 A 旋转 BAE 的度数到 AEF 的位置，因为 AB=AE，所以 AB 与AE 重合.因为 ABC+ AED=180，且 AEF= ABC，所以 AEF+ AED=180.所以D， E， F 三点在一直线上， AC=AF， BC=EF.在 ADC 与 ADF 中，DF=DE+EF=DE+BC=CD.， AF=AC,AD=AD所以, ADC ADF(SSS)，因此， ADC= ADF，即：AD 平分 CDE.5如下图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该图形绕原点顺时针依次旋转 90、180、270，并画出它在各象限内的图形，你会
12、得到一个美丽的“立体图形”!但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！第 7 页 共 13 页二、典例解析1、如图所示：正方形 ABCD 中 E 为 BC 的中点，将面 ABE 旋转后得到CBF.（1）指出旋转中心及旋转角度 （2）判断 AE 与 CF 的位置关系（3）如果正方形的面积为 18cm2，BCF 的面积为 4cm2,问四边形 AECD 的面积是多少？2、如图，E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上一点，且 BEDFEF，求EAF3、如图，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，E 是 AC 上一点，过点
13、 A 作AGEB，垂足为 G，AG 交 BD 于点 F，求证：OE=OF。 4如图，已知正方形 ABCD，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且 AE=BE+FD，请说出 AF 平分DAE 的理由。 6、如图，正方形纸片 ABCD 和正方形 EFDH 边长都是 1，点 E 是正方形 ABCD 的中心，在正方形 EFGH 绕着点 E 旋转过程中，（1）观察两个正方形的重叠部分的面积是否保持不变？（2）如果保持不变，求出它的值；否则，请简要说明理由。第 8 页 共 13 页7、已知，如图ABC 中， ACB=90，AC=BC，P 是 ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求BPC 。三、
14、课堂练习1、ABC 平移到DEF 的位置， （即点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F，是对应点）有下列说法：AB=DE;AD=BE;BE=CF;BC=EF 其中说法正确个数有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2、 （2003，河南）把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 ABCD的位置，它们的重叠部分（如图 1 中的阴影部分）的面积是正方形 ABCD面积的一半，若 AC=，则正方形移动的距离是 AA是_（1） （2） （3）3 （2004，南宁）如图 2 是两张全等的图案，它们完全重合在叠放在一起按住下面的图案不动，将上面图案绕点 O 顺时针
15、旋转，至少旋转_度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形4、如图，两个全等的正六边形 ABCDEF、PQRSTU ，其中点 P 位于正六边形 ABCDEF的中心，如果它们的面积均为 1，则阴影部分的面积是_。5、如图 11-2 所示，RtAB C是ABC 向右平移 3cm 所得，已知B60，BC5cm，则C_，B C_cm 6.如图所示，直角 AOB 顺时针旋转后与 COD 重合，若 AOD127，则旋转角度是 7如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D、C 分别在 D、C位置，若EFB=65，则AED=_.8四边形 ABCD 为长方形，ABC 旋转后能与 AEF 重合，旋转中心是点 旋
16、转了多少度 ；连结 FC，则AFC 是 三角形。PBAC第 9 页 共 13 页9 如图 11-5，O 是等边ABC 内一点，将AOB 绕 B 点逆时针旋转，使得 B、O 两点的对应点分别为 C、D ，则旋转角为_，图中除ABC 外，还有等边三形是_12如图 11-6，RtABC 中，P 是斜边 BC 上一点，以 P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转 90得到DEF，图中通过旋转得到的三角形还有_13、(青岛市) 如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA6，PB8，PC 10若将PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到PAB ，则点 P 与点 P 之间的距离为多少，APB？四、课后作业
17、一、填空1在下列给出的五种运动中，其中属于平移的是 （1）急刹车的小汽车在地面上的运动；（2）自行车轮子的运动；（3）时钟的分针的运动；（4）高层建筑内的电梯的运动；（5）小球从高处作自由落体运动2将面积为 12cm2 的等腰直角ABC 向右上方平移 20cm，得到MNP，则MNP 是 三角形，它的面积是 cm 23如图 1，四边形 ABCD 中，ADBC，BC=8 ，AD=3，AB=4，CD=3，将 AB 平移到 DE处，则CDE 为 三角形，周长为 4如图 2，RtAOB 绕点 O 逆时针旋转到COD 的位置，若BOC=127，则旋转角是 图9BPP/CA第 10 页 共 13 页5ABC
18、 经过平移得到DEF，并且 A 与 D，B 与 E， C 与 F 是对应点， AD=3cm，则BE= cm，AD 与 BE 之间的关系是 ，AB 与 DE 之间的关系是 6如图 3，把三角形ABC 绕着点 C 顺时针旋转 35，得到 A BC ，AB交 AC于点 D，若ADC=90 ，则A 的度数是 7如图 4 给出的图案，可看作由“基本图案”： 旋转 度得到的，旋转的两个图形必 9如图 6，正方形 ABCD 可看作是由图形 经 次平移得到的，也可看作是由图形 绕点 O 旋转 次得到二、精心选一选，慧眼识金！（每小题 3 分，共 27 分）1下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转 45得到
19、的是（ ） 2如图 7，四边形 EFGH 是由四边形 ABCD 平移得到的，已知 AD=5，B=70，则（ ）AFG=5 ，G=70 B EH=5，F=70CEF =5，F=70 DEF=5，E=70第 11 页 共 13 页3下列图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们的共性是都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）A30 B45 C60 D904下列说法正确的是（ ）A平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B平移和旋转的共同点是改变图形的位置C图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D由平移得到的图形也一定
20、可由旋转得到6下列说法正确的是（ ）A若ABCDEF ，则ABC 可以看作是由DEF 平移得到的B若A=B，则A 可以看作是由 B 平移得到的C若A 经过平移后为A，则A= A D若线段 ab，则线段 a 可以看作由线段 b 平移得到的7如图 9，O 是六个正三角形的公共顶点，下列图形中可由OBC 平移得到的是（ ）AOCD BOAB CFAO DOEF8图 10 中，可以视为是图形平移的不同组合对数（一个梅花对另一个梅花不计方向）有（ ）A9 对 B10 对 C5 对 D8 对第 12 页 共 13 页9如果将一图形沿北偏东 30的方向平移 3 厘米，再沿某方向平移 3 厘米，所得的图形与将
21、原图形向正东方向平移 3 厘米所得的图形重合，则这一方向应为（ ）A北偏东 60 B北偏东 30 C南偏东 60 D南偏东 30三、1 （本小题 8 分）请画一个圆，画出圆的直径 AB，分析直径 AB 两侧的两个半圆可以怎样相互得到？2 （本小题 9 分）如图 11，四边形 ABCD 中，OA=OC ，OB =OD试判断：（1）图中哪些边可以通过平移得到；（2）图中哪些三角形可以通过旋转得到3 （本小题 9 分）在图 12 中，将大写字母 A 绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转 90，作出旋转后的图案4 （本小题 9 分）剪两个全等的三角形，把这两个三角形重叠在一起放在桌面上，实际操作试一试，保持其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到图 13 中的两个图形？5(本小题 10 分)如图 14 是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸上将该图形绕点 O 顺时针依次旋转 90、180、270，并画出它变换后的图形，你会得到一个美丽的图形，快来试一试吧!第 13 页 共 13 页四、综合应用1 （本小题 10 分）如图 15，ABC 中，BAC =120，以 BC 为边向形外作等边BCD，把ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转 60后到ECD 的位置若 AB=3，AC=2，求BAD 的度数和 AD 的长
