1、第 2 章 結構力學總複習 13第 2 章結構力學總複習Review of Structural Mechanics這一章的目的是希望能夠在最短的時間內，幫讀者對結構力學作一個總複習，以具備必要的背景知識去理解以後各章節所介紹的觀念。本章的討論只限於線性、靜態的結構之問題。在第一節中我們先定義結構分析的問題：一個實體（body）承受了負載（loads ），我們要去求出它所產生的反應（responses）。在這個簡潔的定義中我們使用了幾個名詞：body、 loads、及 responses，我們將一一分別討論。結構承受負載後的反應通常可以用變位（displacements）、應變（ strain
2、s）、及應力（stresses）來表示，這些量之間存在某些關係；我們將在第二節中討論控制著這些未知量間的方程式。第三節我們將討論利用有限元素法來解這些控制方程式的基本觀念，包括有限元素法的基本構想及形狀函數（shape functions）、勁度矩陣（stiffness matrices）等名詞及其背後的重要性。14 第 2 章 結構力學總複習第 2.1 節 結構分析問題的定義Definition of Structural Analysis Problems2.1.1 結構分析問題很多的工程分析問題都可以定義成在一個區域（domain）中，承受某些的負載（loads），而我們想要知道這個 d
3、omain 的反應（response）。所謂 domain 可能是一固體、流體、或只是一個空間，但在結構分析問題上，domain 是指一個固態的實體（solid body）。結構分析是一個固態的實體（body）承受負載（loads）後（如圖 2-1 所示），求解結構反應（responses）的過程。圖 2-1 結構分析問題定義圖 2-1 中我們畫了一個 body，並有四個常見的負載加在這個 body 上。第一個 load 是作用在邊界 S1 上的均佈載重 F1；第二個 load 是作用在邊界 S2 上的集中載重 F2；第三個 load 是作用在邊界 S3 上的拘束（變位為 0）；第四個 loa
4、d 是作用在邊界 S4 上的已知變位。結構分析的目是去求解在這樣的 loads 下所產生的結構的反應。我們所舉的四個負載都是作用在邊界上，所以又可以稱為邊界條件（boundary conditions）。但是負載並不一定全部都作用在邊界上，譬如重力可以均勻作用在 body 內部，這種情形我們通常不稱之為邊界條件，而以負載統稱這些第 2.1 節 結構分析問題定義 15分佈在邊界上及物體內的條件。負載種類我們將在 2.1.3 小節進一步介紹，而要怎麼去完整的描述結構的反應，我們將在 2.1.4 至 2.1.7 小節討論。在 2.1.2 小節中我們僅以兩個簡單的例子來說明圖 2-1 的意義。2.1.
5、2 結構分析實例圖 2-2 的例子中的 body 是一根樑，這根樑承受三個負載：一是集中載重 P；二是均佈載 Q；三是樑左端的一個拘束（變位為 0）。我們想知道在這些負載下，結構的反應是怎樣子的。圖 2-3 的例子是一個根樑承受了兩個負載：一是右端的已知變位 D，二是左端的固定拘束。我們想要知道在這樣的情形下，它的反應會是怎樣子的。圖 2-2 結構分析實例：懸臂樑承受集中載重 P 及均佈載 Q圖 2-3 結構分析實例：懸臂樑承受變位 D2.1.3 負載為了有效地將負載作用在 body 中，我們有必要對 loads 去作一個很清楚的分類。前面所舉的一些 loads 例子，都是作用在 body 表
6、面上的，所以我們可以先將PQD16 第 2 章 結構力學總複習負載分為兩大類：作用在物體表面及作用在物體內部的 loads。圖 2-4 列出 ANSYS中所考慮的結構物負載。作用在物體表面的 loads 包括了力及變位；力又可分為集中力（SI 單位 N）及分佈力（SI 單位 N/m2）；變位則又可分為零變位及非零變位。以上這些負載應該都是很容易理解的。作用在 body 內部的 loads，最常看到的是熱負載，在 ANSYS 中是以溫度變化量（）描述於整個 body 中（而非只有表面）。慣性力（如重力、離心力等，SI 單位 N/m3）也是常見的分佈於整個 body 的力。其它還有靜電力、磁力等也
7、是分佈在body 的力。負載表面分佈力力點集中力零變位（固定）作用在物體表面變位非零變位慣性力（重力、離心力）力其他體積分佈力（電力、磁力）作用在物體內部熱 溫度變化圖 2-4 結構負載的分類2.1.4 反應我們通常用變位、應變、應力來表示一個 body 承受 loads 後的結構反應。圖 2-5列出本書所用的變位、應變、應力的符號及它們分量的個數。注意，在 3D 的結構分析中，我們總共使用了 15 個分量來描述結構反應，而每一個分量都是位置的函數。事實上，這些量之間並非是完全獨立的，我們將在 2.2 節討論它們之間的關係。為什麼我們要用變位、應變、應力來描述結構反應呢？變位是指每一直點的位移
8、，它代表結構的變形；所以描述結構反應時，變位是不可或缺的。但是應力、應變的重要性又是如何呢？一個材料它能夠承受的應力、應變都是有一限度的；應力、第 2.1 節 結構分析問題定義 17應變超過某一程度，就會破壞掉（fracture）或降伏掉（yield），所以它們通常作為結構設計是否實用的重要檢驗基準。結構反應 符號 分量數目變位（displacements） u 3應變（strains ） 6應力（ stresses） 6圖 2-5 結構負載的分類在本書中，我們用 u 來代表變位、用 來代表應變、用 來代表應力。我們會在以下的三個小節裡分別來討論這些量。注意，這三個量都不是單一的量，所以我們用
9、向量來表示它們。在 3D 的結構系統裡面，變位有 3 個分量，應變及應力各有六個分量，一共有 15 個分量。我們把這 15 個量當做是我們要去求解的未知量，只要知道了這 15 個量，就能清楚的來描述結構反應。注意，去選用多少的未知量是任意的，只要我們建立出等量的方程式，就可以去解出未知量。2.1.5 變位圖 2-6 變位變位應該是很容易了解的。在圖 2-6 中，我們畫了變形前及變形後的 body；假設某一個特定的質點（x, y, z）在變形後移到了一個新的位置，我們把它的位移用一個向量（vector）來表示，這就是這個點的變位（displacement），我們用 u(x,y,z) 來代18 第
10、 2 章 結構力學總複習表。因為它是一個向量，所以在 3D 中我們可以用三個分量 ux、uy、uz 來表示：(2.1)zyxu注意，2.1 式中的 3 個分量都是位置的函數。2.1.6 應力上一小節所討論的變位是很容易了解的，它可以用向量來表示，而我們通常很熟悉向量的觀念。相對的，應力及應變的觀念則有一點複雜。嚴格來說應力用向量來表示是不精確的；比較精確的方式是用張量（tensor）來表示，但是 tensor 是很不容易理解的數學表示方式，所以除非必須非常深入地討論應力，一般的結構力學講解還是捨棄用 tensor 來解 說應力。應力是在描述力的密度（intensity），也就是是每單位面積有多
11、少力量（SI 單位N/m2）。如果有一條斷面積 A 的鋼條被施以 F 的力量，則我們說沿著長度方向有F/A 的應力。在 3D 的情況下，事情變得有點複雜。現在假想你被埋在一個 body 裡面的 A 點，這個 body 承受了某些 loads，如圖 2-7 所示；你如何對外面的人描述你所承受到的力的密度呢？也就是說你的每單位表面積受到多少力。圖 2-7 結構系統中的某一點 A 的應力為了說明，我們假設有一個座標系統 xyz 可供參照，如圖所示。如果這個 body第 2.1 節 結構分析問題定義 19是一靜止的液體，你會受到四面八方相同的壓力，所以只要一個量就可以完整地描述你承受的應力。假設壓應力
12、大小是 p（SI 單位 N/m2），那麼你可以如此描述：我感受到 p 的壓應力 。當我們感受力量向著自己時，這個應力稱為壓應力；反之當我們感受力量遠離自己時，這個應力稱為張應力。注意，當圖中的 body 是靜止液體時，你永遠會感受力量向著自己的，亦即永遠是壓應力，而且此壓應力大小與方向無關。當圖中的 body 是固態實體時，你會在不同的方向感受到不同大小的力量，所以若要精確地描述所承受的力，必須先說明在哪個方向，譬如：我在某方向感受到 p 的應力。注意， p 本身是一個向量，當向著你自己時，這個應力稱為壓應力；反之當遠離自己時，這個應力稱為張應力。圖 2-8 物體中某一點的應力描述我們以圖 2
13、-8 來進一步說明上述這一句話（在某方向感受到 p 的應力）的意義。圖 2-8 中，我們以圍繞在 A 點（圖 2-7）的 6 個平面來分別代表 +x、-x、+y、-y、+z 及-z 方向，譬如垂直於 +x 方向的平面稱為 +x 平面、垂直於-x 方向的平面稱為-x 平面、其他類同。假設你在+x 方向感受到 p 的應力（注意，其 SI 單位為 N/m2），亦即有p 的應力作用在+x 平面上。若將此應力拆成三個分量，分別平行於 x、y、及 z 方向在圖 2.8 中我們以 x、xy、xz 來表示，注意其中第一個下標 x 是指作用在+x平面上、第二個下標是指應力的方向。因為 x 垂直於 +x 平面，所
14、以我們稱之為該平20 第 2 章 結構力學總複習面上的正向應力；而因為 xy、xz 相切於+x 平面，所以我們稱之為該平面上的剪向應力。圖 2-9 是與圖 2-8 是完全一樣的，只是轉個方向而已。圖 2-9 物體中某一點的應力描述（X-Y Plane View）為了描述某一個點的應力，只有描述一個方向（或平面）的應力是不夠的；在3D 的世界裡，我們最少需要描述三個方向的應力才能完整地描述某一點的應力狀態。其它方向的應力可以從這三個方向的應力來推算出來，但是這三個方向必須是獨立的，一般我們選擇+x、 +y、及 +z 方向。如前面所討論的，我們以 x、xy、xz 來表示+x 方向的正應力及平行於+
15、y 及+z 方向的剪應力；同樣的我們以 y、yx、yz 來表示+y 方向的正應力及平行於+x 及+z 方向的剪應力；而以 z、zx、zy 來表示+z方向的正應力及平行於+x 及+y 方向的剪應力。所以我們可以用 9 個分量來表示一個點的應力狀態：(2.2)zyzxx這 9 個應力分量分別表示在圖 2-8 中的立方體上。事實上這 9 個分量也並不是完第 2.1 節 結構分析問題定義 21全的獨立的，我們可以証明(2.3)xzyx也就是說 2.2 式中的矩陣是對稱的。所以只要用 6 個分量就可以來描述，用向量的方式來表示，我們可以寫成(2.4)zxyxzyx 2.3 式的證明很簡單，只要將圖 2-
16、8 的立方體視為一個自由體（free body），再取下列力平衡條件即可得到證明： 0,0zyx MM2.1.7 應變圖 2-10 質點 A 的應變應變是在描述某一質點被拉申或壓縮的程度，它的單位是每單位長度的拉伸22 第 2 章 結構力學總複習長度（SI 單位 m/m，所以相當於無單位）。如果有一長度 L 的物體被均勻拉長L ，則我們說沿著長度方向有L/L 的應變。在 3D 的情況下，應變比應力更難理解。現在讓我們來思考一個 body 內的一個質點 A 及鄰近的點 B 和 C，如圖 2-10 所示。注意，我們故意選擇三個點的位置使的 AB 和 AC 互相垂直。假設這個 body 變形以後 A
17、BC 三個點變為 ABC三個點。為了要計算 AB 和 AC 這兩根纖維在變形後被拉伸了多少，我們先將變位前後的纖維疊合在一起做比較，亦即將變形後的纖維 ABC作一個旋轉變成 AB”C”，再作一個平移變成 ABC。注意，經過旋轉及平移後並不影響其兩根纖維的相對關係（即長度及夾角）。現在可以很清楚地看出原來的 x 方向的一條小纖維 AB 被拉伸成 AB，其總伸長可以用向量 BB來表示。這個伸長量 BB可拆成兩個分量：正向伸長量 BD 及剪向伸長量 DB，我們將它們除以原來的長度 AB 就是正向應變（用 x表示）及剪向應變（用 xy表示）： ABDxyx,注意我們使用了和應力一樣的下標，亦即第一個下
18、標 x 是指作用在+x 平面上、第二個下標是指應變的方向。以上的誘導主要是要讓讀者在觀念上理解到正向應變及剪向應變的涵義。根據上式，正向應變（normal strain）是很容易理解的： x 平面上（有關 x 平面的定義請參照 2.1.6 小節）的正向應變就是 x 方向的一條無窮小的纖維，它的伸長量除以原來的長度。而剪向應變（shear strain）則需進一步思考，以下的討論我們假設變形是無窮小的。根據上式，x 平面上向著 y 方向的剪應變事實上就是夾角 BAB，亦即在無窮小的變位假設下 rad BADxy這個角度也就是兩根原來垂直的纖維其角度的變化。我們的結論是： xy表示 x 平面上 y
19、 方向的剪應變分量，它是 xy 平面上兩根原來垂直的纖維其角度的變化。注意第 2.1 節 結構分析問題定義 23此角度是以徑度量（radian）表示的，相當於無單位（dimensionless ）。在 3D 的情況下， x 平面上除了正應變 x外還有 y 方向的剪應變分量 xy及 z 方向的剪應變分量 xz；y 平面上則有正應變 y、x 方向的剪應變分量 yx、及 z 方向的剪應變分量 yz；z 平面上則有正應變 z、x 方向的剪應變分量 zx、及 y 方向的剪應變分量 zy。所以在 3D 的情況下，我們可以用 9 個分量來表示一個點的應變狀態(2.5)zyzxx這 9 個應變分量可以分別表示
20、乘類似圖 2-8 的樣子（只要把改為就可以了）；圖2-11 則是 x-y 平面的表示方式。圖 2-11 質點 A 的應變描述2.5 式中的 9 個分量也並不是完全的獨立的，我們可以証明（程序有點複雜，24 第 2 章 結構力學總複習若有興趣可以參考任何材料力學課本，譬如 Ref. 24）；(2.6)xzyx也就是說 2.5 式中的矩陣是對稱的。所以只要用 6 個分量就可以來描述，用向量的方式來表示，我們可以寫成(2.7)zxyxzyx 第 2.2 節 控制方程式 25第 2.2 節 控制方程式Governing Equations2.2.1 控制方程式在 2.1 節所定義的結構分析問題中，我們
21、所選定的未知量是變位 u、應力 、及應變 ，(2.1)zyxu(2.4)zxx (2.7)yxzy其中變位有 3 個未知量，應力有 6 個未知量，應變也有 6 個未知量，這 15 個未知量都是位置的函數，所以我們分別稱之為變位場、應力場、及應變場。我們必須建立 15 個方程式才能解出這 15 個未知量，這些方程式就是所謂的控制方程式（governing equations）。一般在建立控制方程式我們會先尋求可以利用的物理法則，例如動量守恆定律、能量守恆定律、及質量守恆定律。再來是觀察這些未知量間是否存在著幾何關係或任何數學關係。最後，在未能建立足夠的方程式之下，我們必須做適當的假設，當然這些假
22、設是經過很多實驗來証實大致上是可以應用的。注意，很多物理定律、假設、或數學定理都會以不同的形式來描述或應用，工程師需要深切理解這點，譬如動量守恆定律在結構力學上常以牛頓運動定律的形式（力平衡原理）來應用。我們先大致敘述結構分析控制方程式的誘導程序，然後在接下來的三個小節中再詳細討論。面對 2.1 節所定義的結構分析的問題，我們會先利用力平衡原理來建立 3 個方程式。在 3D 中，力平衡方程式應該有 6 個，但是其中 3 個我們已經用來証明在剪應力是對稱的了（2.1.6 小節最後部分）。接著利用應變與變位之間的幾何關係，去建立出 6 個方程式，稱為應變與變位關係。最後是假設應力與應變之間存在著某
23、一個關係（就是有名的虎克定律），有 6 條方程式。所以共有 15 個方程式。26 第 2 章 結構力學總複習注意，在以下三個小節的討論中，有時侯在別的教科書上你所看到的控制方程式並不一定是這樣子的，可能是另一種形式，可是它們都是相等的。記著，當你選用幾個未知量，就必須建立一樣數量的方程式才能解這些結構反應。2.2.2 力平衡方程式我們要介紹的第一組方程式稱為力平衡方程式，即動量守恆定律的另一種形式。為了思考 body 上某一質點的力平衡，我們可分成兩個可能性來討論。第一個可能性是這一點是在 body 內部的某一個質點，第二個可能性是這一點是在 body 表面上的一個質點。我們先討論在 body
24、 裡面的某一個質點，假想一個微小元素（如圖 2.8 所示），它的長寬高分別是 dx、dy、dz。假設它除了受 x、y、z、xy、yz、zx 外，其內部還受了 fx、fy、fz 的 body forces（譬如重力等，SI 單位 N/m3），我們對這個微小的元素應用力平衡條件 0,0zyxFF可以得到下列方程式(2.8)00zzyxyzyxxyfff注意，我們不能再應用三個力矩平衡條件，因為我們已經用這三個力矩平衡條件來証明在剪應力是對稱的了（2.1.6 小節最後部分）。如果這個質點是在 body 的表面上，我們也是可以取一個微小元素，再對這個微小元素應用力平衡條件，也可求得方程式如下第 2.2
25、 節 控制方程式 27(2.9)zyzxz yyxzxyxTnn其中 nx、ny、nz 是該點在 body 表面上的單位法向向量（ unit normal vector）的分量，而 Tx、Ty、Tz 是作用在 body 表面上外力（稱為 surface tractions）。以上 Eqs. 2.8、2.9 的誘導步驟我們並沒有詳細說 明，因為誘導過程並不是我們的重點，我們的重點是：無論質點是在 body 內部或邊界上，都存在著 3 個方程式，它們描述了應力分量之間的關係；這 3 個方程式式由力平衡條件誘導來的；在body 的內部它們的形式是 Eq. 2.8，而在 body 的邊界上它們的形式是
26、 Eq. 2.9。注意，這些方程式都是線性的。2.2.3 應變與變位關係接下來我們介紹下列的 6 個方程式，描述著應變 和變位 u 間的關係；(2.10)zuxyxuxuzzyyxzyxEq. 2.10 純粹是一種幾何關係（而不涉及任何物理現象）。你可以取一個微小的元素，從其幾何關係導出這樣的關係出來。誘導過程中忽略了二次微分項及更高的微分項只留下一次微分項；這代表 Eq. 2.10 是在很小的變形量下才能 夠成立。所以對 Eq. 2.10 我們要強調的有三個重點：其一是它們描述了應變與變位之間的關28 第 2 章 結構力學總複習係。其二是它們由純粹幾何關係（而不含物理觀念）導出；其三是應變與
27、變位是線性的，因為是在無窮小的變形假設之下所導出來的。 我們稍微進一步地去觀察 Eq.2.10 中 6 個方程式的涵意，我們看第一個方程式 xu是指在 x 方向的纖維每單位長度在 x 方向的變位，這是相當符合我們在 2.1.7 小節的理解的。同樣的 y、z 也是一樣意思。而 xy 是 xy 平面上原來垂直的兩根纖維的角度變化量，它等於 xuyx2.2.4 應力與應變關係接下來我們要介紹下列的這 6 個方程式，它們又叫做虎克定律（Hookes Law），它們描述了應力和應變的關係：(2.11)GEzxyxzyzxyzyx注意這 6 條方程式只是一種理想化的假設，也就是說當你應用到這些方程式的時候
28、，你必須確定材料符合這種假設。這種描述應力應變關係的方程式又稱為材料的第 2.2 節 控制方程式 29本構方程式（constitutive equations），Eq. 2.11 是常被應用的形式，因為它是最簡單的形式，並且在很多情況下其精確度是可以接受的。注意，Eq. 2.11 中，應力與應變呈線性關係。符合 Eq. 2.11 的材料稱為線性材料（或線性彈性材料）。為什麼需要假設一組應力應變關係的方程式呢？理由很簡單：因為如此才有足夠的方程式來解結構反應。Eq. 2.11 中包含了 3 個參數，它們代表線性彈性材料的材料參數：E、G 、及。E 稱為楊氏模數（Youngs Modulus）。當
29、我們對線性彈性材料做單軸拉伸實驗時，如果把橫軸作為應變，縱軸作為應力，所畫出來的線應該是一條直線，而直線的斜率即為楊氏模數 E。G 稱為剪力模數（shear modulus）。當我們對線性彈性材料作剪力實驗時，如果把橫軸作為剪應變，縱軸作為剪應力，所畫出來的線應該是一條直線，而直線的斜率即為剪力模數 G。稱為波松比（Poissons ratio）。當我們做單軸拉伸實驗時，x 方向被拉伸的同時，y 和 z 的方向會收縮；此時 y 或 z 方向的收縮量與 x 方向拉伸量的比即為 Poissons ratio。事實上這 3 個材料參數並非獨立的，實驗可以證明它們存在著下列的關係：(2.12)1(2E
30、G所以只要知道其中兩個參數即可知道其他一個參數，也就是說符合虎克定律的線性彈性材料只有兩個獨立的材料參數E、 G、之中的任何兩個。讓我們來看看 Eq. 2.11 中的方程式。第 1、2、3 條方程式事實上就是楊氏模數及 Poissons ratio 的定義。對 3D 空間中的某一質點而言，它承受的應力可能是多軸的，所以當我們在觀察 x 方向的應變時，不只是 x 方向的應力會造成 x 方向的拉伸，y 方向的應力也會造成 x 方向的收縮，同樣的 z 方向的應力也會造成 x 方向的收縮。第 4、5、6 條方程式事實上就是剪力模數的定義。30 第 2 章 結構力學總複習第 2.3 節 解題方法：有限元
31、素法Solution Method: Finite Element Method2.3.1 數值解法在 2.2 節中我們建立了 15 條方程式，這 15 條方程式共包含了 15 個未知量。理論上這 15 條方程式可以來解 15 個未知量，但是實務上，只有很簡單的結構並且承受很簡單的負載的結構問題才有可能獲得一個解析解（analytical solution）。實務上的工程問題中，結構的幾何形狀及負載都是很複雜的。過去在沒有電腦的年代，大都數的工程師會對問題都做一個適當的簡化，把幾何形狀及負載做簡化，再來解問題。譬如簡化成一個懸臂樑承受一個集中載重或均佈載重等。但是大部分的工程問題若是太勉強地簡
32、化的結果，所解出來的解答與實際的偏離太多了。在少數可以簡化的問題上，工程師本身必須具有相當的知識、經驗、及洞察能力，才能適當第簡化這些問題，才能適當地抓住原本結構的行為本質；這些知識、經驗、及洞察能力常常需要長時間（譬如 20、30 年）的養成。所以長久以來工程師、數學家試著去研發很多的方法來解 2.2 節中所描述的方程式。數值解法是必要的，因為現代的電子計算機都是以數值方式來處理的（其它處理方式都不算很成功）。數值計算方法的發展幾乎是平行於電腦科技發展的。工程師們從有電腦開始就開始著手發展一套有效數值的方法來解類如 2.2 節所描述的方程式，其中有很多成功的例子，但是到目前為止最成功、最被普
33、遍應用的方法可以說是有限元素法了。從 1930 年代至今，它已經發展了 70 年以上了。有限元素法事實上是針對邊界值問題（boundary value problems）所發展的。實際的工程問題的自變數通常可分為兩類，一個是空間（常用 x、y、z 三個變數表示），另一個是時間（常用 t 表示）。在空間變數上我們通常可以將問題 model 成一個邊界值問題，但是在時間變數上，我們通常將問題 model 成一個初始值問題（initial value problem），因為通常初始時間的條件是已知的，但是最後時間點的條件通常無法得知。初始值問題通常以有限差分法（finite difference m
34、ethod）來解是第 2.3 節 解題方法：有限元素法 31比較適合的。所以一般含時間變數在內的工程問題（即動態問題），我們沿著時間軸將問題切割（利用有限差分法）成許多只含空間變數的邊界值問題，再以有限元素法來解這些邊界值問題；亦即在固定的時間點上去解一個邊界值問題，再將每個時間點的解答串聯起來。2.3.2 有限元素法：基本構想前面提過實務上的結構系統大多有很複雜的幾何形狀及負載，而我們也知道對於簡單的幾何形狀及負載，可直接去寫出它的方程式。有限元素法的基本構想是基於上述的事實的。首先我們把一個有複雜幾何形狀的區域切割成一些比較小且形狀較簡單的區域，每個小區域稱為一個元素（element），如
35、圖 2-12 所示。圖 2-12 有限元素法的基本構想所謂簡單的區域是指其幾何形狀是簡單的，譬如說在 2D 的情況下是三角形或四邊形等，在 3D 的情況下是四面體或六面體等。元素與元素假設是經由節點（nodes）來連接的；在圖 2-12 中我們用黑點表示節點。就單一個元素來看，這些節點可以認為是附屬在元素上面的；舉例來講，一個三角形元素，它的節點可能座落在三個頂點上。再以六面體為例，若它的頂點上32 第 2 章 結構力學總複習面各有一個節點的話，那麼一個六面體就共有八個節點。無論是 2D 的三角形、四邊形、3D 的四面體或六面體，通常在每個頂點上都有一個節點，但是這並不表示只有頂點上可以有節點
36、。舉個例子，2D 四邊形的元素，可以在四個頂點上有節點外，也可以在四個邊上的中點各有一個節點，這樣的元素就共有 8 個節點。在有限元素法中，我們通常取節點上的變位量作為未知量，未知量又稱為自由度（degrees of freedom）。在 3D 的情況下，每個節點有三個自由度，分別是x、y、z 方向的變位量；而在 2D 的情況下，每個節點有二個自由度，分別是 x、y 方向的變位量。對一個 2D 的三角形元素而言，若三個頂點各有一節點，那麼這個元素就有 6 個自由度。對一個 3D 的六面體而言，若各個頂點各有一節點，共有 8 個節點，那麼這個元素就有 24 個自由度。因為每一個元素都是有簡單的幾
37、何形狀，而只有節點上可能有外力作用（因為元素間只有節點相連接），我們很容易可以把這麼簡單的結構實體的方程式寫出來，並且把這些方程式用自由度（未知變位量）來表示，這些方程式就稱為元素的方程式（element equations）。每個元素都會有一組 element equations，它們事實上是將一個元素視為一個自由體（free body）的力平衡方程式。接著就把全部元素的力平衡方程式聯立起來，變成一組聯立方程式系統，稱為整體結構方程式（structural global equations）。解出這組聯立方程式後就可以得知每個節點上的變位量了。有了節點上的變位量後，可以計算整個元素上的變位場
38、（displacement field）。變位場與節點變位的關係通常是透過合理的假設的，這是有限元素法的重點之一，也有限元素法誤差的主要來源之一，我們將在 2.3.4 小節再來討論。有了變位場 u 後可以利用 Eq. 2.10 計算應變場 ，再利用 Eq. 2.11 計算應力場 。2.3.3 自由度前面我們提到的自由度（degrees of freedom）有必要在這裡再進一步地討論。自由度是指節點上的未知量。結構的問題通常是以變位（displacement）為未知量。2D時每個節點有二個自由度，3D 時每個節點有三個自由度。在圖 2-13 中的 3D 四面第 2.3 節 解題方法：有限元素法
39、 33體元素，共有四個節點，每個四個節點上有三個自由度，所以共有 12 個自由度，表示成 d。假設每個節點上的自由度分別用 ux、uy、uz 來表示，而四個節點分別用i、j、k、l 來表示，則這個元素的自由度可以表示成(2.13) lzlylxkzykxjzjyjxiziyix uu圖 2-13 自由度對熱分析而言，自由度通常是指溫度，也就是說未知量是溫度。對流場分析而言，其自由度則相當複雜，包括了流速（v x、vy、vz）還有壓力（p ）等。而對電場分析上而言，自由度通常是電壓（voltage）。磁場分析則使用磁位能（scalar magnetic potential 或 vector ma
40、gnetic potential）作為自由度。2.3.4 Shape Functions讓我們來思考一個問題，考慮一個未知函數 y = f(x)，已知某些 x 點上的 y 值，那麼要怎麼去反求這個函數 f(x)。當然，正確解是不可能的，但是至少我們可以找出一條通過這些已知點的曲線，作為其近似解。這條曲線可以是連續的（continued）或片段連續的（piece-wise continued）。一個很簡單的方法是去假設這些已知點中間的函數為直線；換句話說把每一34 第 2 章 結構力學總複習個已知點用直線連結起來，形成一條片段連續的函數，來代表這個未知函數。對很多應用而言，這種方法常常已經足夠精
41、確；尤其如果已知點之間的距離足夠小時，通常足夠精確。這樣用直線來作為兩個已知點間的內插值的方法稱為線性內插（linear interpolation）。同樣的道理，你也可以用片段的二次函數來代表一個未知函數，這樣的曲線會更平滑（smooth），精確度會更高。這樣用二次曲線來作個已知點間的內插值的方法稱為二次曲線內插（quadratic interpolation）。同樣的觀念可以應用在有限元素法裡面，我們將變位場 u 當作未知函數，節點上的變位量 d 當成已知量。如果假設節點間的變位場是線性的分佈，那麼就採用線性的內插函數來表示節點間的變位量的值；同理，如果假設節點間的變位場是二次的分佈，那麼
42、就採用二次的內插函數來表示節點間的變位量的值。在有限元素裡面我們不把它叫內插函數，而叫形狀函數（shape function）。數學上 u和 d 間的關係可以用下列的方程式來表示(2.14)dNuEq. 2.14 中的 N 就是所謂的形狀函數矩陣；以圖 2-13 的四面體元素為例，因為u是 31 的向量，d 是 121 的向量，所以 N 是 312 的矩陣，其形式如下所示(2.15) lkji lji lkji NNN0000其中 Ni、Nj、Nk、Nl 稱為形狀函數。注意，形狀函數是位置的函數。一般而言一個元素如果有 n 個節點的話就會有 n 個獨立的形狀函數；當形狀函數是線性時，表示變位場
43、被假設為片段線性函數，而當形狀函數是二次時，表示變位場被假設為片段二次函數。第 2.3 節 解題方法：有限元素法 352.3.5 Order of Element一個元素的 order 是指它的形狀函數是一次還是二次；如果其形狀函數是一次的，這個元素就稱為線性元素（linear element）；如果其形狀函數是二次的，這個元素就稱為二階元素（quadratic element）。一般來 說判斷一個元素是 linear elementc或 quadratic element 是很容易的，你可以從它的節點的排列來判斷：如果一個元素只有在頂點有節點，那麼它必定是 linear element，就像
44、圖 2-13 的元素；如果一個元素除了在頂點有節點外，每個邊上中點也有節點時，那麼它是 quadratic element，如圖 2-14 的元素。那麼一個元素的 order 有何重要性呢？一般來講，使用越高 order 的元素，其解答的精度越高，但是解題時間會增加。但是有限元素軟體為了減少元素的種類，通常不發展三階或以上的元素；如果要提高解答的精度，最方便的方法是將整個body 切割成更多、更細的元素。圖 2-14 Quadratic Element2.3.6 Stiffness Matrix在 2.3.2 小節中，我們談過有限元素法的基本構想是將一個 body 切割成很多的元素，每一個元素
45、可以建立它的力平衡方程式。元素的力平衡方程式型式如下：(2.16)fdk36 第 2 章 結構力學總複習其中 d 是元素節點上的自由度，以圖 2-13 的元素而言，d 是一個 121 的向量，所以 f 必然也是 121 的向量，而 k 必然是 1212 的矩陣。f 的物理意義是作用在節點上面的力，那麼 k 的物理意義則是每單位的變位量所需要的力量，這就是剛度（stiffness）的定義，所以 k 稱為元素的剛度矩陣（stiffness matrix）。每一個元素都有像 Eq. 2.16 的方程式，把所有元素的力平衡方程式聯立起來為整體結構的力平衡方程式時，其形式可以寫成(2.17)FDK這裡的
46、 D 就是整體結構所有節點上的自由度， F 就是作用在節點上的力量， 而 K 稱為整體結構的剛度矩陣（structural global stiffness）。Eq. 2.17 事實上是一組線性方程式，藉助電腦可以很容易解出 D。K 有一些特點：它都是對稱的，而且只有靠近中間的值才是非零值，其餘大部分都是零，這些特點造成了這個方程式更容易解。有限元素法的成功原因之一是將一組非常複雜的偏微分方程式轉換成一組很簡單的線性方程式。不過這是對一個線性的結構而言的，若是一個非線性的結構，在觀念上我們可以視為解許多段的線性問題。在熱分析的情況，熱平衡方程式的形式也是如同 Eqs. 2.16 及 2.17
47、一樣，在此自由度 d 或 D 是溫度，右邊的 f 或 F 是熱流量（heat flow），而 k 或K 稱為熱傳導矩陣（conductivity matrix）。2.3.7 FEM Summary最後我們把有限元素分析的步驟整理如下（圖 2-15）：（1）、輸入一個有限元素分析模型，包括每個元素的種類、空間位置、材料性質等，及負載的描述；（2）建構每個元素的力平衡方程式；（3 ）將這些元素的力平衡方程式聯立起來，形成一個整體結構的力平衡方程式；（4 ）解出未知變位量；（ 5）利用解出的變位量計算變位場、應變場、及應力場。第 2.3 節 解題方法：有限元素法 37圖 2-15 有限元素分析的步驟輸入分析模型建立元素方程式建立結構方程式解結構方程式計算應變及應力
