1、12.5 函数与方程第一课时 2.5.1 函数的零点教学目标：1知识与技能理解和掌握二次函数的图像与性质，会用多种方法求解一元二次方程，理解二次函数的零点与一元二次方程的根的关系。2过程与方法培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题，培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。3情感、态度与价值观通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数. 教学过程：一、复习准备：思考：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数
2、 y=ax +bx+c 的图象之间有什么2ax2关系？.二、讲授新课：1、探讨函数零点与方程的根的关系： 探讨：方程 x -2x-3=o 的根是什么？函数 y= x -2x-3 的图象与 x 轴的交点?2 2方程 x -2x+1=0 的根是什么？函数 y= x -2x+1 的图象与 x 轴的交点？方程 x -2x+3=0 的根是什么？函数 y= x -2x+3 的图象与 x 轴有几个交点？2 2 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： 推广到 y=f(x)呢？一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交点2a2横坐标。 定义零点：对
3、于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 讨论：y=f(x)的零点、方程 f(x)=0 的实数根、函数 y=f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标的关系？结论：方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点2 练习：求下列函数的零点 ； 小结：二次函数零点情24yx243yx况2、教学零点存在性定理及应用： 探究：作出 的图象，让同学们求出 f(2),f(1)和 f(0)243yx的值, 观察 f(2)和 f(0)的符号观察下面函数 的图象，在区间 上_(有/无)零点；()f,ab _0（或），
4、在区间 上_(有/无)零点；()fafbc _0（或），在区间 上_(有/无)零点；c,d _0（或)()ffd定理：如果函数 y=f(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b)0,那么，函数 y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在 c (a,b),使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0 的根. 应用：求函数 的零点的个数。（试讨论一些函数值分别用代数法、()ln26fx几何法）小结：函数零点的求法代数法：求方程 的实数根；()0fx几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并()yfx利用函数的性质找出零点 练习：求
5、函数 的零点所在区间.23xy3、小结：零点概念；零点、与 x 轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理三、巩固练习：2. 求函数 的零点所在区间，并画出它的大致图象. 32yx3. 求下列函数的零点：（1） ；（2） ；254yx2(1)3)yx（3） ；（4） .20()3f4已知 ：（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个2()1)fxmmx零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值3第二课时 2.5.2 用二分法求方程的近似解教学目标：1知识与技能会用二分法求函数零点或方程根的近似解，继续深化对函数方程之间的联系与认识。2过程与方法通过具体实例的求解，体验、总结二分法的过程与
6、步骤，并了解这一数学思想，为学习算法做准备。3情感、态度与价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。教学重点：用二分法求方程的近似解.教学重点：恰当的使用信息工具. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？ 零点存在性定理？零点概念：对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点如果函数 y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a).f(b)0,那么，函数 y=f(x)在区间（ a,b）内有零点，
7、即存在 c (a,b),使得 f(c)=0，这个 c 也就是方程 f(x)=0的根. 2. 探究：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于 4 次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解同时，即使对于 3 次和 4 次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似
8、解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题二、讲授新课：1. 教学二分法的思想及步骤： 出示例：有 12 个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可4以找出这个球的，要求次数越少越好. （ 让同学们自由发言，找出最好的办法）解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球. 其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？ 探究： 的零点所在区间？如何找出这个零点？ 师生用二分法ln26yx探索 定义二分法的概念：对于在区间a,b上连续不断且 f(a).f(b)0 的
9、函数 y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 探究：给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下： ()fxA确定区间 ，验证 ，给定精度 ；B. 求区间 的中点 ；,ab()0fabA(,)ab1xC. 计算 ： 若 ，则 就是函数的零点； 若 ，则令 （此1()fx1x1x1)0fxA时零点 ）； 若 ，则令 （此时零点 ）；0,()f 1ax(,)D. 判断是否达到精度 ；即若 ，则得到零点零点值 a（或 b）；否则重复步骤|ab242. 教学例题： 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程 2 +3x=7 的近似解. （师生共练）x 练习：求函数 的一个正数零点（精确到 ）3()2fxx0.13. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注重二分法思想三、巩固练习：1求方程 的解的个数及其大致所在区间.3logx2用二分法求 的近似值； 3求方程的实数解个数： ；0.91x0.3logx
