1、4.1.8 正交试验结果的方差分析方法计算公式和项目 试验指标的加和值= ,试验指标的平均值 与表 4-13 一样，第 j列的(1) Ij ”水平所对应的试验指标的数值之和 (2) IIj“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和(3)(4) kj同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第 j 列的水平数.(5)Ij/kj“水平所对应的试验指标的平均 ”(6)IIj/kj“2”水平所对应的试验指标的平均值(7)以上各项的计算方法，与“极差法”同，见 4.1.7 节(8)偏差平方和 (4-1)(9) fj自由度.f j第 j 列的水平数1.(10）V j方差.Vj=Sj/fj (4-2)（11）V e
2、误差列的方差。(4-3)（12）F j方差之比 (4-4)（13）查 F 分布数值表（见附录 6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法与第 3 章相同。（14）总的偏差平方和 (4-5)（15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即 (4-6)式中， m 为正交表的列数。若误差列由 5 个单列组成，则误差列的偏差平方和 Se等于 5 个单列的偏差平方和之和,即： Se=Se1+Se2+Se3+Se4+Se5；也可用 Se= S 总 S来计算，其中： S为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和应引出的结论。与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著
3、，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。方差分析方法应用举例例 4-6 为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平
4、见表 4-18。表 4-18 例 4-6 的因素水平表因素 发酵温度/ 发酵时间/h 初始的 PH 值 投曲量/ %符号 x1 x2 x3 x4水平 1 10 12 7 52 20 24 6 103 30 48 5 4 50 72 4 试验指标（y）为成品的总酸度。要求写出应用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。解：试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。试验指标（y）：成品的总酸度因素水平表：见表 4-18。理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。因为 3 个因素是4 水平，1 个因素是 2 水平，
5、所以选 L16（4 326）正交表，见表 4-19（a）表头设计：见表 4-19（a）表中数据的计算举例：（以第 3 列为例）I3=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32II3=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34III3=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74IV3=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68k3=4I3/k3=36.32/4=9.08II3/k3=38.34/4=9.59III3/k3=52.74/4
6、=13.19IV3/k3=53.68/4=13.42极差 D3=13.429.08=4.34 218.35表 4-19(a) 使用正交表 L16（4 326）的正交试验数据表列号试验号1x12x23x34e5e6e7e8e9x4总酸度/ %y11(10)1(12)1(7)1 1 1 1 11(5)6.3621(10)2(24)2(6)1 1 2 2 22(10)7.4331(10)3(48)3(5)2 2 1 1 22(10)10.3641(10)4(72)4(4)2 2 2 2 11(5)11.5652(20)1(12)2(6)2 2 1 2 12(10)8.6662(20)2(24)1(7
7、)2 2 2 1 21(5)5.3972(20)3(48)4(4)1 1 1 2 21(5)15.5082(20)4(72)3(5)1 1 2 1 12(10)19.5393(30)1(12)3(5)1 2 2 2 21(5)12.08103(30)2(24)4(4)1 2 1 1 12(10)13.13113(30)3(48)1(7)2 1 2 2 12(10)8.03123(30)4(72)2(6)2 1 1 1 21(5)12.45134(50)1(12)4(4)2 1 2 1 22(10)13.49144(50)2(24)3(5)2 1 1 2 11(5)10.77154(50)3(4
8、8)2(6)1 2 2 1 11(5)9.80164(50)4(72)1(7)1 2 1 2 22(10)16.54表 4-19(b) 上接表 4-19(a)列号名称1x12x23x34e5e6e7e8e9x4Ij 35.71 40.59 36.32 83.91IIj 49.08 36.72 38.34 97.17IIIj 45.69 43.69 52.74IVj 50.60 60.08 53.68kj 4 4 4 8 8 8 8 8 8Ij/ kj 8.93 10.15 9.08 10.49IIj/ kj 12.27 9.18 9.59 12.15IIIj/ kj 11.42 10.92 1
9、3.19IVj /kj 12.65 15.02 13.42极差 Dj3.725.844.341.66偏差平方和 Sj33.57 79.1963.67Se= 30.911.02218.35自由度fj 3 3 3 fe=5 1方差 Vj 11.19 26.40 21.22 Ve= 6.18 11.02方差比Fj 1.81 4.27 3.43 1.78F0。25 1.88 1.88 1.88 1.69F0.10 3.62 3.62 3.62 4.06F0.05 5.41F0.01显著性0*(0.25)2*(0.10)1*(0.25)1*(0.25)偏差平方和 =4(9.0811.32) 2+4(9.
10、5911.32) 2+4(13.1911.32) 2+4(13.4211.32) 2=63.67自由度 f3=41=3方差 Se= S 总 ( S1+S2+ S3+ S9)=218.35(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9fe=(16-1)(3+3+3+1)=5查 F 分布数据值表得：F(=0.01, f1=3, f2=5)=12.06 F3F(=0.05, f1=3, f2=5)=5.41 F3F(=0.10, f1=3, f2=5)=3.62 F3F(=0.25, f1=3, f2=5)=1.88 F3所以，第 3 列对试验指标的影响在 =0.25 水平上显著。其它
11、列的计算结果见表 4-19(b)。用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：（1）关于显著性的结论发酵时间（ x2）对指标的影响在 =0.10 水平上显著；初始的 PH 值（ x3）和投曲量（ x4）在 =0.25 水平上显著；发酵温度( x1)在 =0.25 水平上仍不显著。(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图 4-6图 4-6 是用表 4-18 及表 4-19（b）中的 j/kj, j/kj, j/kj, j/kj值来标绘的。（3）适宜的操作条件在确定适宜操作条件时，对于 F 检验中 =0.25 不显著的因素，如本例中的因素 x1, 一方面因为图 4-6 (a) 所示的“规律
12、”不可靠，不能作为确定 x1适宜水平的依据。另一方面，F 检验不显著， Fj太小，可能是因为 Ve太大，误差太大；也可能是因为 Vj太小，该因素对指标影响太小。所以，对于 F 检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。如本例，可认为 x1=（2050）即可，不必非50不可。所以在本例中为提高总酸度，适宜的操作条件为： x1=（2050） ，x2=72 h, x3=4, x4=10%。（4）对所得结论及进一步研究方向的讨论。 由图 4-6(d)可见，投曲量 x4这个水平为试验范围的边上（最大值或最小值）所以 x4增大，成品的总酸度也增大的结论尚需作进一步的研究。应研究投曲量大于 10%时试验指标
13、随投曲量的变化规律。 从图 4-6（c）可见，初始 PH 值等于 5 时的总酸度与初始 PH 值等于 4 时的总酸度差不多。但与令 PH=4 相比较，令 PH=5，比较容易实现。所以进一步研究的方向之一，是研究令 PH=5 的好处和问题。 从图 4-6（b）可见，发酵时间愈长，成品的总酸度愈大，所以进一步研究的方向之一，是研究为提高总酸度而增长发酵时间的优缺点。例 4-7 为了提高某种产品的产量,寻求较好的工艺条件。考虑三个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。它们都取三个水平见表 4-20（a）。表 4-20（a） 例 4-7 的因素水平表因素 温度/ 压力/ kPa 浓度/%符号 （A） （
14、B） （C）水平 1 60 20 0.52 65 25 1.03 70 30 2.0为考察 3 个因素间所有的两因素交互作用的影响，选正交表 L27（3 13），依该表的表头设计表得到的表头设计如表 4-20（b）所示。表 4-20（b） 例 4-7 正交表表头设计列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13因素符号 A B (AB)1 (AB)2C (AC)1(AC)2(BC)1 e1 e2 (BC)2 e3 e4可见，3 水平两因素的交互作用占两列。试验结果见表 4- 20（c）试验结果的方差分析计算见表 4-20（d） 总的偏差平方和 161.02 两个三水平因素的交
15、互作用占两列，它的 S、f、V 如何计算？以交互作用 BC 为例。 BC 占第 8 和第 11 列。偏差平方和 SBC=S8+S11=0.09187465+0.08907423=0.18095表 4-20（c） 正交表 L27（3 13）的试验设计计算表列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 产量/T 因素符号 A B(AB)1(AB)2 C(AC)1(AC)2(BC)1e1 e2 (BC)2e3 e4 y 试验号 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.30 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4.63 3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 7.23 4
16、1 2 2 2 1 1 1 2 3 0.505 1 2 2 2 2 2 2 3 1 3.676 1 2 2 2 3 3 3 1 2 6.237 1 3 3 3 1 1 1 3 2 1.378 1 3 3 3 2 2 2 1 3 4.739 1 3 3 3 3 3 3 2 1 7.0710 2 1 2 3 1 2 3 1 1 0.4711 2 1 2 3 2 3 1 2 2 3.4712 2 1 2 3 3 1 2 3 3 6.1313 2 2 3 1 1 2 3 2 3 0.3314 2 2 3 1 2 3 1 3 1 3.4015 2 2 3 1 3 1 2 1 2 5.8016 2 3 1
17、 2 1 2 3 3 2 0.6317 2 3 1 2 2 3 1 1 3 3.9718 2 3 1 2 3 1 2 2 1 6.5019 3 1 3 2 1 3 2 1 1 0.0320 3 1 3 2 2 1 3 2 2 3.4021 3 1 3 2 3 2 1 3 3 6.8022 3 2 1 3 1 3 2 2 3 0.5723 3 2 1 3 2 1 3 3 1 3.9724 3 2 1 3 3 2 1 1 2 6.8325 3 3 2 1 1 3 2 3 2 1.0726 3 3 2 1 2 1 3 1 3 3.9727 3 3 2 1 3 2 1 2 1 6.57表 4-20（d
18、） 方差分析计算表列 号 1 2 3 4 5 6 7 8 119,10,12,13因素符号 A B(AB)1(AB)2C (AC)1(AC)2 (BC)1(BC)2 e项 目 Ij 36.73 33.46 35.63 34.30 6.27 32.94 34.21 33.33 32.98 IIj 30.70 31.30 32.08 31.73 35.21 34.66 33.13 33.04 33.43 IIIj 33.21 35.88 32.93 34.61 59.16 33.04 33.30 34.27 34.23 kj 9 9 9 9 9 9 9 9 9 Ij/kj4.0811113.717
19、7783.9588893.8111110.69666673.6600003.8011113.7033333.664444 IIj/kj3.4111113.4777783.5644443.5255563.9122223.8511113.6811113.6711113.714444 IIIj/kj3.6900003.9866673.6588893.8455566.5733333.6711113.7000003.8077783.803333 0.76352010.55538430.20714060.074940690.091874650.08907423Sj 2.038941 1.166608 SA
20、B=S3+S4=1.3189155.8695 S AC=S6+S7=0.282081S BC=S8+S11=0.18095Se =0.3445fj 2 2 fAB =f3+f4=2+2=42 fAC =f6+f7=2+2=4fBC=f8+f11=2+2=4 fe=8Vj 1.0195 0.58330VAB= = 0.329726077.935VAC= = 0.070520VBC= = 0.0453238Ve=0.043062Fj 23.7 13.5 F AB =7.66 1.81103 FAC =1.64 FBC =1.05 1.0F0.01 8.65 8.65 7.01 8.65 7.01 F0.05 3.84 F0.10 2.81 F0.25 1.66 1.66 显著 4* 4* (AB)：4* 4* (AC)： (BC )： 性 0*(0.25) 0*(0.25)Fj 20.2 11.6 6.53 F 0.016.23 6.23 4.77 （显著性)4* 4* 4*
