1、- 1 -一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.sin70co1s70in1等于（ ）A. 2 B. 2 C. 32 D.1【答案】C【解析】试题分析： sin70co1s70in1 2360sin)170si(.考点：两角和差公式.1112.设集合 2|9Ax， |2BxN，则 AB的元素的个数为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】D考点：集合的定义与运算.【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异
2、性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关 BA,等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.13.下列各图中，表示以为自变量的奇函数的图象是（ ）- 2 -A B C D【答案】B考点：函数的定义域奇偶性.4.设向量 ab、是互相垂直的两个单位向量，且 |3|abm，则实数 的值为（ ）A 2 B 2 C 5 D 25【答案】C【解析】试题分析： |3|abm两边平方可得： 5)1(91)()( 2222 m，根据条件可知 0m，所以 5故选 C.考点：向量的运算.5.已知一几何体
3、的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）A. 612 B. 624 C. 12 D.241【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一组合体，它由半个圆柱和一底面是直角三角形的直棱柱组成，故该几何体的体积为 12634213212 考点：三视图求体积. 6.已知 nS为数列 na的前项和，若 2a且 1nS，则 4a等于（ ）- 3 -A6 B12 C.16 D24【答案】B考点：数列的递推求通项.7.函数 5324,01()62xf x的零点不可能在下列哪个区间上（ ）A 1,4 B (3,7) C.(8,13) D (1,8)【答案】B【解
4、析】试题分析：当 10x时 )(xf单调递增，又 0)3(f，所以 10x有唯一零点 3x，故 B 不正确，故选 B.考点：函数的零点.8.设区间 ,qp的长度为 q，其中 p.现已知两个区间 24ln,m与 ln,410m的长度相等，则 1xxem的最小值为（ ）A 32 B32e或 C. 32eD32e或【答案】A【解析】试题分析：根据题意可得： ,ln10l4lnl2 mm化简得 0)5)(ln2(lm，当2lnm是 24l,n无意义，故不成立，所以 5， 5e，61151xxxxeee632故选 A.考点：函数与方程.9.若正整数 N除以正整数 m后的余数为，则记为 (mod)Nn，例
5、如 102(mod4).下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.执行该程序框图，则输出的等于（ ）- 4 -A 4 B8 C. 16 D32【答案】C考点：程序框图.【方法名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.本题中是求解能同时被除余和被除余时的值.10.若体积为 4 的长方体的一个面的面积为 1，且这个长方体 8 个顶点都在球 O的球面上，则球 表面积的最小值为（ ）A.12 B. 6 C
6、.1 D.24111【答案】C【解析】试题分析：设 184,2182,41 2RScabcbaRcab .考点：球的组合体.- 5 -11.若变量 ,xy满足约束条件20,xy，且 (6,3)，则 yzx仅在点 1(,)2A处取得最大值的概率为（ ）A 19 B 29 C. 13 D 49【答案】A考点：简单的线性规划；几何概型.【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本
7、事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率12.设函数 21()log()fxax，2sin()6(3coxg，若不论 2x取何值， 12()fxg对任意 173,02总是恒成立，则的取值范围为（ ）111A () B 4(,)5 C. 6(,)80 D4,95【答案】D- 6 -考点：函数的恒成立问题.1第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13.某高校调查了 400 名大学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5,30
8、，样本数据分组为 17.,20),.5)2.,)5,7.)2.,30.根据此直方图，这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数是_.【答案】 120【解析】试题分析：这 4名大学生中每周的自习时间不少于 25小时的人数是 1205.04.840）（ 考点：频率分布直方图.14.若是集合 1,235,67中任意选取的一个元素，则圆 22:()1Cxy与圆 22:Oxya内含的概率为_.【答案】 74- 7 -考点：古典概型.【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目
9、，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15.关于三角函数的图象有以下三个命题：正切函数在整个定义域内是增函数；存在某个区间，使得正弦函数和余弦函数在此区间均为减函数；正切函数、正弦函数和余弦函数的图象不存在三个函数图象的共同交点.其中，正确的个数为_.【答案】【解析】试题分析：正切函数定义域不连续，不满足在定义域内单增，不正确；例如区间 ),2(上正弦函数和余弦函数在此区间均为减函数；建立方程组可说明无解，故正确.考点：三角函数的图象和性质.16.我国南宋著名数学家
10、秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为 13 里，14 里，15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙田的面积为_平方千米.【答案】 21【解析】试题分析：设在 ABC中， 13a里， 4b里， 15c里，221345cosC213(45)1052,sin23，故 AB的面积为10平方千米.- 8 -考点：余弦定理的应用.【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解
11、决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分 10 分）在 ABC中，角 ， ， C的对边分别为， ， ，且 3574cosin416aABc， ， ， .（1）求；（2）求 的周长.【答案】 （1） 5b；（2） 1.（2）由22543coscA得 2158(23)60cc， 4， 6.9 分 BC的周长为 5.10 分考点：正余弦定理.
12、1【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.（本小题满分 12 分）已知某企业的近 3 年的前 7 个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示：- 9 -（1）试问这 3 年的前 7 个月中哪个月的月平均利润较高？（2）通过计算判断这 3 年的前 7 个月的总利润的发展趋势；（3）试以第 3 年的前 4 个月的数据
13、（如下表） ，用线性回归的拟合模式估测第 3 年 8 月份的利润.相关公式： 1122()()nniiiii iixyxyb， aybx. 【答案】 （1）月和月的平均利润最高；（2）前个月的总利润呈上升趋势；（3） 940万元.（2）第年前个月的总利润为 284765321（百万元） ，3 分第年前个月的总利润为 14（百万元） ，4 分第年前个月的总利润为 （百万元） ，5 分所以这年的前个月的总利润呈上升趋势.7 分（3） 2.5x， 221340y， ， 1243654， 40.80.b，9 分 3a，10 分- 10 - 0.83yx，11 分当 时， .9.4（百万元） ，估计月份
14、的利润为 940万元.12 分考点：折线图；线性回归分析.19.（本小题满分 12 分）已知函数 4()xf与 2()|6|gx的定义域均为 1,4.（1）求这两个函数的值域并作出这两个函数的图象；（2）若函数 ()x的图象与直线 yk仅有一个交点，求的取值范围.【答案】 （1） 2,5， ,9，图象见解析；（ 2） 5,8)9 . ()fx的值域为 2,5.2 分设 26(3)9hx，结合 ()x的图象，可得当 1,4时， ()9,5hx.4 分 |5,9，即 ()gx的值域为 5.5 分()fx， 的图象如下图所示：- 11 -9 分（2）由图可知当 5,8)9k 时直线 yk与的图象 (
15、)ygx只有一个交点，的取值范围为 ,) .12 分考点：函数的图象和性质；函数与方程.20.（本小题满分 12 分）在四棱锥 PABCD中，底面 AB为矩形，平面 PAB平面 CD，3， 2， E为线段 上一点，且 :7:2E，点 FG、 分别为线段、的中点 .（1）求证： PE平面 ABCD；（2）若平面 FG将四棱锥 分成左右两部分，求这两部分的体积之比 .【答案】 （1）证明见解析；（2） 37:5.【解析】试题分析：（1）根据条件易得 PEAB，又平面 P平面 ABCD，平面 P平面 ABCD，- 12 -则由余弦定理可得， 22132()39PE， 423PE，2 分 24PEB，
16、 AB，3 分平面 A平面 CD，平面 平面 CDAB， 平面 .4 分（2）解：设平面 EFG与棱 CD交于点 N，连接 E，因为 /GFAD，所以 /F平面 ABCD，从而可得 /N.6 分延长 至点 M，使 ，连接 M， ，则 MN为直三棱柱，7 分 F到 AE的距离为 123P， 7AE， 7239AEFS， 142AFEDMNV， 17239GDMNV， 5AEFGAFEN，又 18233PABCDABCDVS矩 形 ，- 13 - 3528352:=:():77V右左 .12 分考点：面面垂直的性质；棱柱棱锥的体积公式.【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的
17、题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线 PEAB,再推证 PE与平面 ABCD垂直即可.关于第二问中的求体积，充分利用几何体的特征，采用分割等手段套用体积公式求解即可.21.（本小题满分 12 分）已知正项数列 na的前项和为 nS，且 2(1)2nna.（1）求证：不论 取何值，数列 +总是等差数列，并求此数列的公差；（2）设数列 (1)2na的前项和为 nT，试比较 n与1(8)2n的大小.【答案】 （1）证明见解析， ；（2）当 7时，1()nT，当 17n时，2(8)nT，当 1n时，12(8
18、)2n.试题解析：（1）证明：当 1n时， 112()2Sa， 10a， 12.1 分当 2n时， ()nnnaS， ()()0nna， 10， 1n，3 分数列 n是以 2 为首项 1 为公差的等差数列， 1na.4 分 1 12()()()()nnaaa，5 分不论 取何值，数列 总是等差数列，且此数列的公差为 .6 分（2）解：1()2()nnna，7 分- 14 -2321121nnnT，9 分111(8)(8)2(7)nnnn ，当 17时，12(7)0n，1()nT；10 分当 时，1()n，12(8)2n；11 分当 7时，12(7)0n，1()nT.12 分考点：利用递推求通项
19、，数列求和，比较大小.22.（本小题满分 12 分）已知圆 C经过点 (0,2)(,)AB， ，圆 C的圆心在圆 2xy的内部，且直线 3450xy被圆 C所截得的弦长为 3.点 P为圆 上异于 AB、 的任意一点，直线 PA与轴交于点 M，直线 PB与 轴交于点 N.（1）求圆 的方程；（2）若直线 1yx与圆 C交于 12、 两点，求 12；（3）求证： |ABM为定值；【答案】 （1） 24xy；（2） ；（3）证明见解析.和 02(,)yNx代入求 |ANBM为定值.试题解析：（1）解：易知点 C在线段 的中垂线 yx上，故可设 (,)Ca，圆 的半径为.1 分直线 3450xy被圆
20、所截得的弦长为 23，且 22()r，- 15 - (,)Ca到直线 3450xy的距离， 22|75|341adra， 0，或 17.3 分又圆 的圆心在圆 2的内部， 0，圆 C的方程为 2xy.4 分（2）将 yx代入 24y得 23x，设 12(,)(,)A， ，则 x， 13x.5 分 12212()By 1224()()531xxxx.7 分（3）证明：当直线 PA的斜率不存在时， |8ANBM，8 分当直线 与直线 B的斜率都存在时，设 0(,)Pxy，111直线 的方程为 02yx，令 得 02,).9 分直线 PB的方程为 0()，令 得 0(,)yNx.10 分 000002|()()4 2(2)yxxyANMyy22000000044 8()()yxxxyy y ，故 |ANB为定值 8.12 分考点：圆的方程；向量的坐标运算.1111.Com
