1、1经济数学期末考试试卷（A 卷）一、填空题（ 满分 15 分，每小题 3 分）1. 设 的定义域为 .21()lnfxx2. 当 时，若 与 是等价无穷小量，则常数 0()asina3. 设 ，则 .()fxA 00()limhffh4. 设 在 上的一个原函数为 ，则 .,)si2x()f5. 设 为连续函数，且 ，则 ()fx10()()fxftd二、选择题：（ 满分 15 分，每小题 3 分）6设 ，则在 处， （ ）sin01xfx)(xf（A） 连续 （B） 左、右极限存在但不相等 （C） 极限存在但不连续 （D） 左、右极限不存在7. 设 ，则函数 （ ）2()sinxf()fx（
2、A）有无穷多个第一类间断点； （B）只有 1 个可去间断点；（C）有 2 个跳跃间断点； （D）有 3 个可去间断点8若点 是曲线 的拐点，则 ( )(1,4)23yaxb（A） ； （B） ； （C） ； （D） 6ab,61ab2ab9. 下列各式中正确的是（ ）（A） （B ） ()()bafxdf ()dfxd（C） （D） ()atft10某种产品的市场需求规律为 ，则价格 时的需求弹性 （ 805Qp120d）（A） 4 （B） 3 （C） 4 % （D） 3 %三、计算题（ 每小题 5 分，共 20 分）:11求极限： 1lim()lnxx212设 ，求常数 的值.lim()8x
3、xaa13设 ，求siny|xdy14设 ，求2co3sit2四、计算题（10 分）15设 sin,0()xfab（1）确定常数 的值，使 在 处可导；,()fx0（2）求 ；()fx（3）问 在 处是否连续0五、计算题（满分 10 分）16求不定积分： 1xde17求广义积分： 21ln六、应用题（ 满分 20 分）18过原点作曲线 的切线，求该切线与曲线 及 轴所围成的平面图形的面lyxlnyx积，并求该图形绕 轴旋转一周所成立体的体积。19设生产某产品的固定成本为 10 万元，产量为 吨时的边际收入函数为，边际成本为 。求()1032Rx2()403Cxx（1）总利润函数； （2）产量为
4、多少时，总利润最大？七、 （ 满分 10 分，每小题 5 分）证明题:20设 在 上连续且单调递增，证明 在区间()fx,ab1(),(),xaftdxbFx上也单调递增.,ab21设 在 上可导， ，证明存在 ，使得()fx0,2()02f(0,)2()tanf3答案及评分标准一、1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. 1(0,)(,)e12A4sin2x1x二、6 （B） ； 7.（D） ； 8 （A） ； 9. （B ） ； 10 （B） 4三、11 【解】 （2 分）11lnlim()il()xxx（5 分）112l 1ilimnxx12 【解】因为 （3 分） 2lim()li
5、(1)xaxxa2limxae故 ，因此 （5 分）28ae3ln213 【解】因 .（2 分）silsil()(iln)xxdyedx.（4 分）sil sico)edx所以 （5 分）sinl sin|(col)lxdyedx14 【解】 （2 分）)3ct(2sitt（5 分）2 23(ot)3cs) scin4dy ttxx【另解】函数的隐函数方程为 ，两边对 求导，得 （2 分）2149yx9dyx（5 分）2 2239()9814()4xdyxdy yx 四、15 【解】 （1）由 在 处可导，知 在 处连续且 存在，因此()fx0()fx0(0)f，lim()xf因 ， ，故00
6、0lim()li()xxffab()sinfb5又 ，00()()limlixxfaf00()sin()liml1xxff故 ， ，且1a()1ff（4 分）sin,0fxx（2）当 时， ；当 时，0x()icosf()1fx因此， 。.（7 分）cos,()10xf（3）因为， ，00lim()licos1xxf00lim()li1xxf()1f所以， ，即 在 处是否连续.（10 分）0li()xff五、16 【解】 .（511()ln(1)x xxx xeddeC分）17 （3 分）1211lnlnl()|()x xx（5 分）1l 1im|li()lim)xxx六、18 【解】设切点
7、为 ，则由 得切线的斜率为 ，切线方程为0(,ln)y 01kx（1）001l()yxx因切线过原点，将 ， 代入（1）式，解得 ，故切点为 ，切线方程为0x0e(,)e即 （4 分）ln()yex1yx该切线与曲线 及 轴所围成的平面图形的面积为lnyx（7 分）11l(ln)|222e eAxdx所求旋转体的体积为6（10 分）222111ln(lnl)|2()333e eeVxdxx 19 【解】由题设。有200()()1(43)xxCxtdtdt 23104x5RRtx（1）总利润函数为2 23()()53)(104)LxCxx237（2） 2()()102)()07xRxxx 63L
8、令 ，得 （ 不合题意，舍去） ， ，故()0x x(12)63420L当产量为 12 吨时，总利润最大。七、20 【证明】因为 在 上连续，所以 在 上连续，又()fx,ab()()xaftdF,blim()lilim()1axaxxatdfFf故 在 上连续。.（2 分）(),b当 时，由 在 上单调递增，知()f,b22)()()() 0x xxa aatdxfftdftdF因此 在区间 上也单调递增. .（5 分）x,b21 【证明】令 ， ，则 在 上连续，且()sin()xfx0,2()Fx0,2， .（2 分）cosinFf 7又 ，故由 Rolle 定理知，存在 ，使(0)sin()0Ff()sin()022Ff (0,)2得()cos()si()ff 两边同除以 ，得cos.（5 分）()tan()0ff
