1、主要内容,一、多元函数的概念,（1）邻域,回忆,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,内点.,内点：,开集：,开集.,边界点：,边界点.,连通：,连通的.,开区域：连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,闭区域：,对于点集 E，如果存在正数 K，使一切点 PE 与某一点 A 间的距离 |AP| 不超过 K，即,对于一切点 PE 成立，则称 E 为有界点集。否则称为无界点集.,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点,（1）内点一定是聚点；,说明：,（2）边界点可能是聚点；,例如，,(0, 0) 既是边界点也是聚点,补充,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于
2、E,例如,(0, 0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（4）n 维空间,实数 x,数轴点.,数组 (x, y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x, y) 全体表示平面(二维空间),数组 (x, y, z),空间点,(x, y, z) 全体表示空间(三维空间),推广：,n 维数组 (x1, x2, , xn),全体称为 n 维空间，记为,n 维空间中两点间距离公式,设两点为,特殊地，当 n =1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间两 点间的距离,n 维空间中邻域概念：,区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,（5）二元函数的定义,回忆,点集 D -定义
3、域，,- 值域.,x、y -自变量，z -因变量.,类似地可定义三元及三元以上函数,函数的两个要素:,定义域、对应法则.,与一元函数相类似，对于定义域约定：,定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,（6）二元函数 的图形,（如下页图）,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,右图球面.,单值分支:,二、多元函数的极限,利用点函数的形式有,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,说明：,（4）二重极限的几何意义：, 0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的
4、图形总在平面,及,之间。,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例2. 设,求证：,证：,故,总有,要证,注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .,一元中,多元中,确定极限不存在的方法：,例3 设,解,但取,其值随 k 的不同而变化。,不存在,故,例4 求,解,例5 求极限,解,其中,三、多元函数的连续性,定义3,定义3,注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能 在曲线上的所有点处均间断。,例如，,因此，,多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：,例6 求极限,解,是多元初等函数。,定义域：,于是，,（不连通）,例,解,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,四、小结,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,多元函数的定义,作业：P 89-90 6，7(1;3;5),
