1、专题 3 数列的概念与表示1数列与函数的关系数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数 anf(n) 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值2数列的表示(1)通项公式如果数列a n的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式数列的通项公式实际上就是相应的函数解析式，即 anf(n)(2)数列的图象表示数列的图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的(3)列表表示3递推公式如果一个数列a n的首项 a11，从第 2 项起每一项等于它的前一项的 2 倍再加上 1，即an2a n1 1(n1)
2、，那么a22a 113，a32a 217，像这样给出数列的方法叫做递推法，其中 an2a n1 1(n1)称为递推公式递推公式也是数列的一种表示方法4数列的前 n 项和(1)已知数列a n，记 Sna 1a 2a 3a n，那么 Sn叫做数列a n的前 n 项和S 1，S 2，S 3，S n，也是一个数列，记为S n(2)an与 Sn的关系是：a nError!例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3) ， ， ， ， ，；1214 581316 29326164(4) ，1， ， ，.32 710 917变式
3、 1 根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,33,333,3333，；(2)1,3,7,15,31，；(3)1， ， ， ，.13 93517633399例 2 已知数列a n的首项 a11，且 ana n1 (n1)，写出这个数列的前 4 项1an 1变式 2 已知数列a n的首项 a11，对所有 n2，都有 a1a2a3ann 2，求 a2，a 3.例 3 已知数列a n的前 n 项和为 Sn2n 2n1，求 an.变式 3 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn2(a n1) ，则 a2_.A 级1已知数列 ，那么 0.94,0.96,0.98,0.99
4、中属于该数列中某一项值的应当有( )12233445A1 个 B2 个C3 个 D4 个2数列a n的通项公式是 anError!，则 a2a3 等于( )A70 B28 C20 D83已知数列 1， ， ， ， ， ，则 3 是它的( )3 5 7 2n 1 5A第 22 项 B第 23 项C第 24 项 D第 28 项4数列a n中，a 11，对所有的 n2，都有 a1a2a3ann 2，则 a3a 5 等于( )A. B.259 2516C. D.6116 31155在数列 1,1,2,3,5,8，x,21,34,55 中，x_.6已知数列a n满足：a na n1 ，a nn 2n，n
5、N *，则实数 的最小值是_7数列a n满足 a12，a 23，a n2 3a n1 2a n(n1) ，则数列的前 6 项依次为_B 级8设数列 0.3,0.33,0.333,0.3333的通项公式是( )A. (10n1) B. (1 )19 13 110nC. (10n1) D. (10n1)29 3109由 1,3,5，2n1，构成数列a n，数列b n满足 b12，当 n2 时，b nab n1 ，则 b6 的值是( )A9 B17C33 D6510数列a n满足 an1 ，a 82，则 a1_.11 an11数列a n中，a n2n 229n3，此数列的最大项的值是 _12已知数列
6、a n满足：a 4n3 1，a 4n1 0，a 2na n，n N *，则 a2 013_，a 2 014_.13已知数列a n的通项公式为 ancndn 1 ，且 a2 ，a 4 ，求 an和 a10.32 32详解答案典型例题例 1 解 (1)符号问题可通过( 1) n或(1) n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1) n(6n5)(2)将数列变形为 (10.1)， (10.01) ， (10.001) ，a n .89 89 89 89(1 110n)(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项
7、的分子均比分母小 3.因此把第 1 项变为 ，至此原数列已化为 ， ， ， ，2 32 21 321 22 322 23 323 24 324a n(1) n .2n 32n(4)将数列统一为 ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通3255 710 917项公式为 bn2n1，对于分母 2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列n 2，可得分母的通项公式为 cnn 21，可得原数列的一个通项公式为 an .2n 1n2 1变式 1 解 (1)a n (10n1)13(2)an2 n1.(3)注意到 35361,63641,991001，把前两项调
8、整为 ， ，即 ，33 515 33， ， ， ，这样分母依次为：2 21,4 21,6 21,8 21,10 21，分子分别为515 93517633399211,2 21,2 31,2 41,2 51，所以 an .2n 12n2 1例 2 解 a 11；a 2a 1 112；1a1a3a 2 2 ；1a2 12 52a4a 3 .1a3 52 25 2910变式 2 解 令 n2，a 1a22 2，即 a2 4；令 n3，a 1a2a33 2，即 a3 .4a1 9a1a2 94例 3 解 a 1S 12112；n2 时，a nS nS n1 2n 2n1(2( n1) 2(n1) 1)
9、4n3，所以 anError!.变式 3 4解析 令 n1，得 S12(a 1 1)，即 a12(a 11)，解得 a12；令 n2，得 S22(a 21)，即 a1a 22(a 21)，解得 a24.强化提高1C 2.C 3.B 4.C 5.13 6.372,3,5,9,17,33 8.B 9.C10.12解析 a n1 ，11 ana n1 11 an 11 11 an 1 11 an 11 an 1 1 1 an 1 an 1 1an 11 1(1a n 2)a n2 ，111 an 2周期 T(n 1)(n2)3.a 8a 322 a 22.而 a2 ，a 1 .11 a1 1211108121 0解析 2 0132 016345043，故 a2 0131；由 a2na n，知 a2 014a 1 007，又 1 0071 008142521，故 a2 014a 1 0070.13解 a 2 ，a 4 ，代入通项公式 an中得Error!，解得 c ，d2.32 32 14a n .a 10 .n4 2n 104 210 2710
