1、第九章 多元函数微分法及其应用,第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集 n 维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性,1邻域,一、平面点集 n 维空间,注,20 若不需强调邻域的半径，则点 的某一邻域常记为,点 的某一去心邻域常记为,2区域,(1) 内点、边界点、聚点,设有点集 E 及一点 P，, 若存在点 P 的某邻域U(P)，使得U(P) E , 若点 P 的任一邻域 U(P)内既含有属于 E 的点，又含有不属于E 的点,则称 P 为 E 的边界点.,则称 P 为 E 的内点；, 若点 P 的任一去心邻域,内总有 E 中的点,则称 P 是 E 的聚点.,显然,
2、 E 的内点必属于 E , E 的边界点与聚点可能属于 E, 也可能不属于 E . E 的内点必是 E 的聚点，E 的边界点也可能是 E 的聚点,(2) 开集、闭集、边界, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；, 若E 的边界包含于 E, 则称 E 为闭集；, E 的边界点的全体称为 E 的边界;,(3) (开)区域、闭区域, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的;,注,以后在不需要区分开区域与闭区域时，将其通称为 区域,例如，,（开）区域,闭区域, 整个平面是最大的开区域 , 点集,是开集，,也是最大的闭区域
3、；,但非区域.,为有界闭区域；,为无界开区域,例如，,（4）有界点集、无界点集, 若平面点集 E 可包含于原点的某个邻域内，则称 E 为,有界点集；否则，称 E 为无界点集,3n 维空间,注,10 n 维空间中两点间距离公式:,设两点为,则,20 平面点集的有关概念均可推广到n 维空间中去，,如，,邻域：,二、多元函数的概念,1多元函数的定义,定义1,注,类似地可定义三元及三元以上函数,2. 二元函数 的图形,二元函数 的图形为空间点集,通常，它是空间曲面,注,二元函数 的定义域 D 在几何上表示,曲面 在 xOy 坐标面上的投影域,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如, 二元函数,定义域为,
4、圆域,图形为中心在原点的上半球面.,又如,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,三、多元函数的极限,定义2,或,或,或,或,注,10 n元函数的极限可以类似地定义,20 二元函数的极限又称为二重极限,30 二元函数的极限 当且仅当,点 以任何方式趋向于点 时，,都趋向于同一个数值 A,则 不存在.,50 多元函数的极限运算法则与一元函数类似,例3 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故 不存在,例4,求,解,四、多元函数的连续性,1多元函数连续的定义,定义3,定义,定义4,如果函数 在 D 上的每一点都连续，则称 函数 在 D上连续，或者称 是 D上的 连续函数.,定义5,定义6,注
5、,二元函数的间断点可以形成一条或几条曲线,例如：,例5 讨论函数,在点(0,0)处的连续性,解,其值随 k 的不同而变化，,因为,故极限 不存在,因此，函数 在点(0,0)处不连续,2多元连续函数的运算性质,性质1,多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零时） 仍为多元连续函数,性质2,多元连续函数的复合函数仍为多元连续函数,3多元初等函数的连续性,定理,一切多元初等函数都在其定义区域内连续,注,定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域,例6,解,4有界闭区域上连续函数的性质,有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得它的最大值和最小值,有界闭区域D上的多元连续函数必在D上取得介于其最小值与最大值之间的一切值,性质2（最值性）,性质3（介值性）,性质1（有界性）,有界闭区域D上的多元连续函数必在D上有界,思考题,思考题解答,不能！,例如：,取,但是， 不存在.,因为若取,
