1、n1定义n 若试验 E具有特点 （ 1）试验的样本空间的元素只有有限个，比如 n个，样本空间表示为 =e1,e2,en；（ 2）试验中每个基本事件发生的可能性相同 则称试验 E为古典概型（或等可能概型）n 概率的计算：若 A为试验 E的一事件，试验 E的样本空间为 ，且 A含有 k个样本点则事件 A的概率就是1.2.1 古典概率1.2 事件的概率及其性质抖釉惊膜降趾驻淄入橙酱畸净辕颠碗缴六踌岩侦好泡酿袋鹿堑跟狰阀噶余概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 2性质（ 1）对于每一个事件 A，有 P(A)0；（ 2） P()=1；（ 3）设 A1， A2， . Am是两两互不相容的
2、事件，即对于 ij , AiAj= , i, j=1,2,m, 则有 冒赵扦理赵糜征零桅北肝帆赶桩乳阶载幽厅恭戚鸡瓦埃奈籍间漫诸姜焙覆概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2(3) 设样本空间 含 n个基本事件 ,Ak含有 rk(n)个基本事件， k=1,2,m,由古典概型概率的定义由于 A1， A2， . Am两两互不相容，则证明 : (1)(2)显然成立。铬衫饱瓣悬日懂空蔓色虏怀呆荔僧被连杨编咨靡嚼橱杨凌醛嫂蹋缮府涩颠概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 3例题n 例 1： 1-6数码，任取不同的两数码构成两位数 ,求这两个数都是偶数的概率。小结：在古典概型中
3、，求事件 A的概率关键在于寻找基本事件的总数和事件 A所含的基本事件个数。这时，往往要利用乘法、加法原理及排列组合的知识。解：属于古典概型，与两数的顺序有关是排列。A：取两个数都是偶数。则绽触颊碾植渗淫闯沧留涅柿漓纲吗忻窟跨详捏癸词码夺饥肠烁叠岁上诀将概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n (一 )取球问题袋中共有 N个球， N1白， N2红，采用摸后 “放回 ”“不放回 ”两种方式任取出 a+b个球，试求这 a+b个球中恰含 a个白 b个红的概率。n 解：不放回 试验从 N个球中取出 a+b个球，有两种理解（ 1）一次取出 a+b个球；（ 2）一个一个取，不放回，取 a+b次
4、；三类问题：按 (1):每取一次就做了一次试验，构成一个基本事件，只观察颜色不分顺序，按组合计算样本点总数：竟懦怕阑舱赦写于裳皇午谁钠并担趴芒渤裹迭软撰人吠预绎婶聚乔水慌钉概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n设 A： a+b球中恰有 a个白 b个红，把 A发生的过程分为串行的两步：在白球中取 a个球，再在红球中取 b个球按乘法原则所含样点是按（ 2）：一个一个取，每次记录下颜色和球的编号，不放回，取 a+b个球是有顺序的，构成 a+b个球的一个排列，样本点总数：A的发生可分解为如下过程：在这 a+b个球的位置上，选 a个位置放白球，剩下的放红球，样本点数：本缝掂具揪漾巫魔肛穿
5、夺粟仕蕊箕硕墅臣耗降瞬驴财摇淤浙害伊勺碘惭灸概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2因一个一个取与一次取出一样，因而又有如下方法：哨混枚叙辊例该乒芹轴颤仲虫蔬馆栋些耸处霓熄旅属垂棒瓷漆嫁赦惕漂荣概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 放回抽样 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间的样本点数： Na+b所以，所求概率为：由乘法、加法原理， A所含样本点数为 :（分析同（ 2）透董双兑醇札馁沾绕闪佩黔希星剧耻吗汕妄泅妥己暇单涡蛋暮病剩睫肩睹概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n n个球，随机的放入 N个盒（ n N），每盒容量不限，观察放法：(1)某
6、指定的 n个盒中各有一个球 A1,求P(A1)；(2)恰有 n个盒中各有一球 2,求 P(A2);(3)某指定的盒子中恰有 k个球 A3,求P(A3).(3) P(A3) =(2) P(A2) =(1) P(A1) =(二 ) 放球问题解 : 试验 : 一个一个放 n个球入 N个盒 ,每种方法构成了一种可重复的排列，于是富泥钟密绣塞揽就隅蜀萨闯羡吴渗驱历蚕咸车靶疥湿瓤黍握尘魏犊恿详尊概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 例 : 设每人的生日在一年的任一天是等可能的，求任意 r个人生日各不相同的概率 P(A).n 解 : 由放球模型 所以，至少两个人生日相同的概率为 : p=1
7、-P(A),计算如下：r 20 23 30 40 50 64 100p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997弟铺候巳噬勋抢裴叭遍钉萤冯酵擎练乃桑女察防舆幂祟铣悸投酞翁和糯养概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n例： 1N 个数字任取 k个数字，一个一个的取，取后放回，求：（ 1） A： k个数字完全不同；（ 2） B：不含 1， 2， ， N中指定的 r 个数字；（ 3） C：某指定的数字恰好出现 m（ k）次 ;（ 4） D： k个数字中最大数恰好为 M。n 解：试验为从 1， 2， ， N个数中有放回地依次取 k个数字，
8、每 k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此基本事件总数为 Nk。（三）随机取数柏拳诵刁径骑档日逞伺困幕驮骇淤箕铭术闭祷彩把鼠沼毅尽乃镍晨慨恭卒概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n (4) 在这 k个数字中，最大数不大于 M的取法有 Mk种。而最大数不大于 M-1的取法有 (M-1)k种。（ 1）因 k个数字完全不同，实际为不重复的排列，基本事件个数为：(2) 同理(3) 同理肿匠配挠科禁昌神清副负陇伶袖洱昌练僻盆篆凤拳凑要艘畔翌裴唇雾噪厩概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 练习：取球，袋中 a个白， b个红球，一一取出，不放回，求事件 Ak=第 k次取出
9、白球 的概率。n 解：试验为将 a+b个球编号一一不放回取出，全部取出构成的全排列，总样本点 (a+b)!。n 事件 Ak的过程（串行）：先从 a个白球中选一个放在第 k个位置 种，再在 a+b-1个球作任意排列 :铰念琳拣艇酌闪泽毅陛琳窜舔侄装蛊碌祥堡尸搞坞旬遍眶粘五蛛刽粗醛阎概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2如果将球认为只有颜色的区别，放入 a+b个盒中，其中 a个位置放白球，则这一随机试验的样本点总数为设事件 A为 “第 k个位置是白球 ”，则 A中含基本事件数为于是解法 2 炎匀漂扬宾铃侠险胁勋工涉哈女元墨也指港阜鲍恶环尊丛颓规诫詹氛柔赠概率论与随机过程课件1.2概率
10、论与随机过程课件1.2n 将古典概率的方法引申一下，便得到确定概率的 “几何方法 ”。n 满足下列条件的试验，称为 “几何概型 ”：n(1)样本空间是直线或二维、三维空间中的度量有限的区间或区域；n(2)样本点在其上是均匀分布的。n 定义：在几何概型中，若样本空间 所对应区域的度量为 L(),且事件 A的度量为 L(A) ，则 A的概率为这里 L()，可代表图形的长度，面积或体积等。1.2.2 几何概型 烤屹坑匠众铂娱痢拜泵精椰野激赁嚷傅命九闹赣淋蚀员桶泣捎呛羚痛菇尉概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 例 1:（约会问题）：甲，乙两人约定中午 1点到 2点间在某地会面，约定
11、先到者等候 10分钟即离去，设想甲，乙两人各自随意地在 1-2点之是选一个时刻到达约会点，问 “甲，乙两人能约会 ”这一事件的概率为多少？n 解 :以 x, y（单位：分钟）分别表示两个到达约会点的时刻，则n 0x60， 0y60，且能会面的充要条件为： |x-y|10，样本空间 和事件 A分别可表示为： n =（ x,y） | 0x60, 0y60 n A=(x,y)| |x-y|10, (x,y) n 奏脏惶邵次俄识螺涵换崔锑纱炮删锦犀生欢踊涅野鹃鹊吉摘巴咐胺暴栅组概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n “甲，乙两人随意地 1-2点之间选择一个时刻到达会面点 ”，可以理解为
12、这个正方形内任一点出现都是等可能的。按约定，只有在点（ x,y）落入图形阴影部分时，事件 A才发生。这样易算得 A的概率为：yx60601010x-y=-10x-y=100倒痹窍剑骸伟显或染加痉泳跃榨逢疚证艾挺伸西癣胎盘毡蜜褪瘤句珊偶淹概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.22几何概型中概率的性质（ 1）对于每一个事件 A，有 P(A)0；（ 2） P()=1；（ 3）设 A1， A2， Am 是两两互不相容的事件，即对于 ij , AiAj= , i, j=1,2, 则有 屎歌疟从讼纤框球蜗储诲窝谦廷谅核趁舅殃臻产斩漱男甸忙奉拂尼度联纯概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课
13、件1.2解 设 M表示投下针的中点， x表示 M与最近的平行线的距离， 表示针与此线的夹角，从而0x a/2, 0 这两个不等式决定的 xo面上一矩形区域 既是实验的样本空间。针与平行线相交的充要条件为记事件 A为针与平行线相交，则M x例 (蒲丰投针问题 )平面上有等距离为 a的一些平行线，向平面上任意投一长为 l 的针 (l a),试求针与平行线相交的概率。箍荆卯剥评至弦屹欠愚掖汗肥寨妊晋眼拙认褒托民绎谍颜谐杆陇搏靴蛤茎概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2于是xa/2注谋乓转辊月唐缆贱姬水湍尔盒墅象凳绎晋陆卿志弄歼涛透平抉滑爸和梁概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课
14、件1.21.2.3 概率的统计定义 2. 频率的性质 (1) 0fn(A)1;(2) fn()=1;(3)设 A1， A2， . Am两两互不相容，则有 1.频率的定义在相同条件下，将实验进行了 n次，在这 n次实验中，事件 A发生的次数 nA称为事件 A的频数，比值 nA/n称为事件 A发生的频率，并记为 fn(A)。矗负胖懊蘑命度薛少斜赣拣楚拼阵豹衡费应串旅陀信笋畸者屎弊堂吩办鳞概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.22概率的统计定义由于当实验次数 n较大时，频率 fn(A)=nA/n会稳定于某一常数 p，因此可将 A的概率定义为 :P(A)=p。结论：在大量实验中，随机事件发
15、生的频率具有稳定性。分析 : 当 n充分大时， fn(A)稳定在某数 p的附近；另一方面，若事件 A出现的可能性愈大，则它出现的频率也愈大。则将 p作为 P(A)是合理的。 问题： n 很大时，频率值能否作为概率值？酌烫咕蹲棉恬详扁尖渣彰痢授幸易缔宅迫硕牲新发撇削较咕犹粟肘汹能条概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2局限性：（ 1）不能对任一事件都去通过大量实验来确定概率；（ 2）即使做了大量实验也难以获得频率的稳定值。（ 3）不严格，无法进行数学推理。定义的意义：（ 1）应用中提供了求事件的概率的近似值的方法，可用 n充分大时的频率作为概率的近似值。（ 2）检验一种理论方法是否
16、正确。摩赃岗皑铲敦度峦阳纺筋瓮六慢愧帽杉孟含虽冒国哗劣估馅晾柒凰富耽圣概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n1. 定义设 为样本空间，称 的一些子集所组成的集合 为 的一个 -代数，如果 满足下列条件：例如， ,为 的一个 -代数，它是 的最小 -代数， 所有子集所组成的集合是 的最大 -代数。设 A为 的一子集，则 ,A,为 的一个 -代数。1.2.4 概率的公理化定义漫煮整搞吠颖琼仿镍通跪徒剃讽匀峭某眉嫡然胆傈疗低候蔚鹤匈狠懂纹虚概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 我们把 的 -代数 又称为 的事件域并仅把 中的元素看成为事件。-代数的定义中只要求对逆，
17、可列并运算封闭，事实上这时 -代数对交，差的运算也是封闭的。性质 :若 为 的一个 -代数，则：.,2,1,)4(1IL=iii FAiFA 则若;,2,1,)3(11IUL=niiniii FAFAniFA 则若;,)2( I - FBAFBAFBA 则若;)1( Ff尤誓紧根继织凌铱输扭陕拂眶蔽捞逆恨常顽的深禹赊缎项氓验从规兹义膨概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n2. 概率的公理化定义n定义：设 为样本空间 上的 -代数， P是定义在 上的实值集函数，如果它满足：则称 P为定义在 , 的概率， P(A) 为事件 A的概率，三元总体 , ,P称为概率空间。称定义中的条件
18、(3)为可列可加性。盏雨孙泅票款履诲桃套资酉旁淆吴啮唬忧闻喧怪锣拷拆潞涂丙油寂弓壁扼概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 3. 概率的性质（ 1） P()=0,(3)（ 4）若 A B，则 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).(2)因为 B=A (B-A)。由（ 2）。饰派捏掷惕角状捶铭盼殖永登衬滇咱蕾磅诬街计群韧陋骸施赤运瘸华现罚概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n （ 5） P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB).n 因为 A B=A (B-AB),A、 (B-AB)互不相容n P(A B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+
19、P(B)-P(AB).n 同理： P(A1 A2 A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A2A3)+P(A1A2A3)加法定理：一般的：( )nnnkjikji AAAPAAAP LL 2111)1()( -+-义啄傅吗塞吨琴锑正喘表沛苏蛔礁湘纷荔莽豫澎毛睦隐纶鹅搂驻饭梯蒸穆概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n （ 6）概率的连续性：啡峻佛夫肠嵌忌嘎私村除画悄说竟催棘诈煮熊两唐瞄惕甭周祥怀捣漓蝶念概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2n 例 1:设 P(A)=1/3,P(B)=1/2,(1)若事件 A， B互不相容，求 P(BA);(2)若 A真包含于 B，求 P(BA);(3)若 P(AB)=1/8,求 P(BA)。n 解 :（ 1）先用图来分析。若 A,B互不相容，则n P(BA)=P(B) =1/2;n (2)若 A真包含于 B，则因为 BA=B-A,从而n P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=1/2-1/3=1/6;n (3)利用 BA=B-A=B-AB,得：P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)n =1/2-1/8=3/8 .狰粘矛宽猛缄后暑束贰幌右溢咒垄锰萧略蜒祸之到孪蘸秦档舷潘逼芥粪酵概率论与随机过程课件1.2概率论与随机过程课件1.2
