1、1 4 7 第八章 玻色统计和费米统计 8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即 l n . S k = 解: 对于理想费米系统，与分布 l a 相应的系统的微观状态数为（式 （ 6 . 5 . 4） ） ( ) ! , ! ! l l l l l a a = （1） 取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（ 6 . 7 . 7） ） ( ) ( ) l n l n l n l n . l l l l l l l l l a a a a = （2） 另一方面，根据式（ 8 . 1 . 1 0） ，理想费米系统的熵为 ( ) l n l n l n l n S k k N U =
2、= + + ( ) l n , l l l k a = + + （3） 其中费米巨配分函数的对数为（式（ 8 . 1 . 1 3） ( ) l n l n 1 . l l l e = + （4） 由费米分布 e 1 l l l a + = + 易得1 4 8 1 e l l l l a + = （5） 和 l n . l l l l a a + = （6） 将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为 l n l n . l l l l l a = （7） 将式（6）和式（7）代入式（3） ，有 l n l n l l l l l l l l l a S k a a a = + ( ) (
3、) l n l n l n . l l l l l l l l l k a a a a = （8） 比较式（8）和式（2） ，知 l n . S k = （9） 对于理想玻色系统，证明是类似的. 8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) B . E . F . D . l n 1 l n 1 , l n 1 l n 1 , s s s s s s s s s s S k f f f f S k f f f f = + + = + 其中 s f为量子态 s上的平均粒子数. s 表示对粒子的所有量子态求和.同时 证明，当 1 s f 时，有 ( ) B .
4、 E . F . D . M . B . l n . s s s s S S S k f f f = 解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据 8 .1题式（8），理想费米系统 的熵可以表示为 ( ) ( ) ( ) F . D . l n l n l n l n l n l l l l l l l l l l l l l l l l l l S k a a a a a a k a a = = + 1 4 9 1 l n 1 l n , l l l l l l l l l l a a a a k = + （1） 式中 l 表示对粒子各能级求和. 以 l s l a f = 表示在能量为 l
5、的量子态 s上的平 均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态 s求和，注意到 , l l s 上式可改写为 ( ) ( ) F . D . l n 1 l n 1 . s s s s s S k f f f f = + （2） 由于 1 s f ，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的. 对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明 ( ) ( ) F . D . l n 1 l n 1 . s s s s s S k f f f f = + + （3） 对于玻色系统 0 s f ，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第 二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值. 在
6、 1 s f 的情形下，式（2）和式（3）中的 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 l n 1 1 s s s s s f f f f f 所以，在 1 s f 的情形下，有 ( ) B . E . F . D . l n . s s s s S S k f f f （4） 注意到 s s f N = ，上式也可表示为 B . E . F . D . l n . s s s S S k f f Nk + （5） 上式与 7 . 4题式（8）一致，这是理所当然的. 8.3 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵. 解: 式（ 8 . 2 . 8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为 3 2 2
7、5 2 3 1 1 1 2 2 2 N h U NkT g V mkT = （1） （式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）. 利1 5 0 用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1） 2 , 3 U p V = （2） 可直接求得弱简并气体的压强为 3 2 2 5 2 1 1 1 , 2 2 h p nkT n g mkT = （3） 式中 N n V = 是粒子数密度. 由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为 3 2 2 7 2 3 1 1 , 2 2 2 V V U C T h Nk n mkT = = （4） 参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5） ，可将熵
8、表示为 ( ) 0 . V C S dT S V T = + （5） 将式（4）代入，得弱简并气体的熵为 ( ) 3 2 2 0 7 2 3 1 1 l n . 2 2 2 h S Nk T Nk n S V g mkT = + （6） 式中的函数 ( ) 0 S V 可通过下述条件确定：在 3 2 2 3 1 2 N h n V mkT = 的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体. 将上述极限下的式（6）与式 （ 7 . 6 . 2）比较（注意补上简并度 g），可确定 ( ) 0 S V ，从而得弱简并费米（玻色） 气体的熵为 3 3 2 2 2 7 2 2 2 5 1 1 l n . 2
9、 2 2 mkT h S Nk ng h g mkT = + （7） 弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得； 先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数 l n ，然后根据式（ 8 . 1 . 6） 、 （8 . 1 . 8）和（ 8 . 1 . 1 0）求内能、压强和熵. 在求巨配分函数的对数时可利用弱1 5 1 简并条件作相应的近似. 关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参 阅王竹溪统计物理学导论 6 5和 6 4 . 8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色- 受因斯坦凝聚. 解: 如 8 . 3所述，令玻色气体降温到某有限温度 c
10、 T，气体的化学势将趋于 - 0.在 c T T 时将有宏观量级的粒子凝聚在 0 = 的基态，称为玻色-爱因斯坦凝 聚.临界温度 c T由条件 ( ) 0 d e 1 c kT D n + = （1） 确定. 将二维自由粒子的状态密度（习题 6 . 3式（4） ） ( ) 2 2 2 d d L D m h = 代入式（1） ，得 2 2 0 2 d . e 1 c kT L m n h + = （2） 二维理想玻色气体的凝聚温度 c T由式（2）确定.令 c x kT = ，上式可改写为 2 2 0 2 d . e 1 c x L x mkT n h + = （3） 在计算式（3）的积分时可
11、将被积函数展开，有 ( ) ( ) 2 1 1 e 1 e e , e 1 e 1 e x x x x x x = = + + + 则 0 d 1 1 1 e 1 2 3 x x + = + + + 1 1 . n n = = （4） 式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势 不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱1 5 2 因斯坦凝聚. 8.5 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 x y x V m x y z = + + 中运动.如果原子是玻色子，试证明：在 c T T 时将有宏观量级的原
12、子凝聚在 能量为 ( ) 0 2 x y z = + + 的基态，在 3 , 0 , N N 保持有限的热力学极限下，临界温度 c T由下式确 定： 3 1.202 , c kT N = 其中 ( ) 1 3 . x y z = 温度为 T时凝聚在基态的原子数 0 N与总原子数 N之比为 3 0 1 . c N T N T = 解: 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达 为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , 2 2 2 2 2 2 y x z x y z p p p m x m y m z m m m = + + + + + （1） 这是三维谐振子的能量
13、（哈密顿量）. 根据式（6.2.4），三维谐振子能量的 可能值为 , , 1 1 1 , 2 2 2 x y z n n n x x y y z z n n n = + + + + + , , 0 , 1 , 2 , x y z n n n = （2） 如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为 T时处在量子态 , , x y z n n n上的粒子 数为 , , 1 1 1 1 2 2 2 1 . e 1 x y z x x y y z z n n n n n n kT a + + + + + = （3） 处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最 低能级的能量，即1 5
14、 3 ( ) 0 . 2 x y z + + （4） 化学势 由 ( ) 0 1 , , 1 e 1 x x y y z z x y z n n n n n n kT N + + + = （5） 确定. 化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值 c T时， 将趋于 0 . 临界 温度 c T由下式确定： ( ) 1 , , 1 , e 1 x x y y z z x y z n n n n n n kT N + + = （6） 或 , , 1 , e 1 x y z x y z n n n n n n N + + = （7） 其中 ( ) , , . i i i c n n i x y z
15、kT = = 在 1 i c kT 的情形下，可以将 i n看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替. 注 意到在 d d d x y z n n n范围内，粒子可能的量子态数为 3 d d d , c x y z kT n n n 即有 3 d d d , 1 x z y x y z c n n n kT n n n N e + + = （8） 式中 ( ) 1 3 . x y z = 为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 e 1 e 1 e e e . x y z x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n
16、 n n n n l n n n l + + + + + + + + + + = = = 积分等于1 5 4 0 0 0 0 3 0 d d d e d e d e d e 1 1 1.202. y x z x y z x y z l n l n l n x y z n n n l l n n n n n n l + + + + + = = = = = 所以式（8）给出 1 3 . 1.202 C N kT = （9） 式（9）意味着， 在 , 0 N 而 3 N 保持有限的极限情形下， C kT取有限 值.上述极限称为该系统的热力学极限. 在 c T T ，则在 z kT 的情形下，原子在
17、z方 向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明 C T T 时 原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为 ( ) 0 2 x y = + 的基态，在 2 , 0 , N N 保持有限的热力学极限下，临界温度 c T由下式确定： 2 1.645 , C kT N = 其中 ( ) 1 2 . x y = 温度为 T时凝聚在基态的原子数 0 N与总原子数 N之比为 2 0 1 . C N T N T = 1 5 5 解: 在 , z x y 的情形下，原子 z方向的运动将冻结在基态作零点振 动，于是形成二维原子气体.与 8 . 5题相似，在 c T T 时将有宏观量级的原
18、子 凝聚在能量为 ( ) 0 2 x y = + 的基态. 临界温度 c T由下式确定： 2 0 d d e 1 x y x y C n n kT n n N + + = 2 1.645 , C kT = （1） 其中 ( ) 1 2 , x y = 2 0 1 d d 1 1.645. e 1 x y x y n n l n n l + + = = = （2） 在 , 0 N 而 2 N 保持有限的热力学极限下 c kT为有限值，有 1 2 . 1.645 C N kT = （3） C T T 时凝聚在基态的原子数 0 N与总原子数 N之比由下式确定： 2 0 1.645 , kT N N
19、= 或 2 0 1 . C N T N T = （4） 低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看 8 . 5题所引 D a l f o v o e t a l 及其所引文献. 低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见 G o r l i r z e t a l . P h y s . R e v . L e t t . 2 0 0 1 , 8 7（ 1 3 0 4 0 2）. 8.7 计算温度为 T时，在体积 V内光子气体的平均总光子数，并据此估 算 （a）温度为 1 0 0 0 K的平衡辐射. （b）温度为 3 K的宇宙背景辐射中光子的数密度. 解: 式（ 8 . 4 . 5）和（ 8 . 4 .
20、 6）已给出在体积 V内，在 到 d + 的圆频率范 围内光子的量子态数为1 5 6 ( ) 2 2 3 d d . V D c = （1） 温度为 T时平均光子数为 ( ) ( ) d , d . e 1 kT D N T = （2） 因此温度为 T时，在体积 V内光子气体的平均光子数为 ( ) 2 2 3 0 d . e 1 kT V N T c + = （3） 引入变量 x kT = ，上式可表示为 ( ) 3 2 2 3 0 3 3 2 3 3 d e 1 2.404 . x V kT x x N T c k VT c + = = 或 ( ) 3 3 2 3 3 2.404 . k n
21、 T T c = （3） 在1 0 0 0 K下，有 16 3 2 10 . n m 在 3 K下，有 8 3 5 . 5 1 0 . n m 8.8 试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为 ( ) 5 8 d , d , e 1 hc kT hc u T = 并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长 m 满足方程 m hc x kT = 5 5. x e x + = 这个方程的数值解为 4 . 9 6 5 1 . x = 因此 , 4.9651 m hc T k = m 随温度增加向短波方向移动.1 5 7 解: 式（ 8 . 4 . 7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为 ( )
22、3 2 3 1 , d d . e 1 kT u T c = = （1） 根据圆频率与波长熟知的关系 2 c = ，有 2 2 d d . c = （2） 如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得 ( ) 5 8 d , d . e 1 hc kT hc u T = （3） 令 hc x kT = ，使 ( ) , u T 取极大的波长 m 由下式确定： 5 d 0. d e 1 x x x = （4） 由式（4）易得 5 5 e . x x = （5） 这方程可以用数值方法或图解方法求解.图解方法如下：以 x为横坐标， y为 纵坐标，画出两条曲线 1 e , , 5 x y x y = =
23、 如图所示.两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96.精确的数 值解给出 4 . 9 6 5 1 . x = 所以使 ( ) , u T 为极大的 m 满足 4.9651 m hc T k =1 5 8 3 2.898 10 m K . = （6） 右方是常量，说明 m 随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律. 值得注意，式（6）确定的使 ( ) , u T 为极大的 m 与式（ 8 . 4 . 1 1）给出的使 ( ) , u T 为极大的 m 并不相同. 原因是 ( ) , u T 是单位波长间隔的内能密度， ( ) , u T 是单位频率间隔的内能密度. m 与 m 分
24、别由 5 d 0 d e 1 x x x = （4） 和 3 d 0 d e 1 x x x = （7） 确定，其中 . hc x kT kT = = 由这两个方程解得 m x 显然不同. 8.9 按波长分布太阳辐射能的极大值在 4 8 0 n m 处，假设太阳是黑体， 求太阳表面的温度. 解: 由上题式（6）知 3 2.898 10 m K . m T = 假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为 3 9 2.898 10 K 6000 K . 480 10 T = = 8.10 试根据热力学公式 d V C S T T = 及光子气体的热容量求光子气体的 熵. 解: 式（ 8 . 4 . 1
25、 0）给出光子气体的内能为 2 4 4 3 3 . 15 k U VT c = （1） 由此易得其定容热容量为1 5 9 2 4 3 3 3 4 15 V V U k C VT T c = = （2） 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（ 2 . 4 . 5） ，有 0 d d , V V C p S T V S T T = + + （3） 积分沿任意一条积分路线进行.如果取积分路线为由（0，V）到（T，V）的 直线，即有 2 4 2 4 2 3 3 3 3 3 0 4 4 d , 15 45 T k k V S T T T c c = = （4） 其中已取积分常量 0 S为零. 如果取其他
26、积分路线，例如由（0，0）至（T，V）的直线，结果如何？ 8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的 能量，由此即得平衡辐射的通量密度 . u J 计算 6 0 0 0 K和 1 0 0 0 K时 u J的值. 解: 根据式（ 8 . 4 . 3）和（6 . 2 . 1 5），在单位体积内，动量大小在 p到 d p p + ， 动量方向在 到 d , + 到 d + 范围内，平衡辐射的光子数为 2 3 2 s i n d d d , e 1 cp p p h （1） 其中已利用式（ 8 . 4 . 2）将动量为 p的光子能量表示为 cp，因子2是计及光子 自旋在动量方向
27、的两个可能投影而引入的. 以 dA表示法线方向沿z轴的器壁的面积元.以 d d d A t表示在 dt时间内碰 到 dA面积上，动量大小在 p到 d p p + ，方向在 到 d , + 到 d + 范围的光 子数. 它等于以 dA为底，以 c os d c t 为高，动量在 d d d p 范围内的光子数.因 此单位时间（ d 1 t = ）内，碰到单位面积 ( ) d 1 A = 的器壁上（或穿过单位面积） ， 动量在 d d d p 范围内的光子所携带的能量为 2 3 2 s i n d d d c os . e 1 cp p p c cp h （2） 对式（2）积分， p从0到 , +
28、 从0到 , 2 从0到 2 ，即得到辐射动量密度 u J 为1 6 0 2 3 2 2 3 0 0 0 2 3 3 0 2 d s i n c os d d e 1 2 d . e 1 u cp cp c p p J h c p p h + + = = 令 x cp = ，上式可表示为 4 2 3 3 0 4 2 4 3 2 1 d e 1 2 6 , 90 u x c x x J h c c kT h c + = = 或 2 4 4 2 3 . 60 u k J T c = （3） 在 6 0 0 0 K，有 7 2 7.14 10 J m ; u J = 在 1 0 0 0 K，有 5
29、2 0.55 10 J m . u J = 8.12 室温下某金属中自由电子气体的数密度 28 3 6 10 m , n = 某半导体中 导电电子的数密度为 28 3 10 m n = ，试验证这两种电子气体是否为简并气体. 解:根据 8 . 5，在 e 1 ，即 3 1 n 的情形下，气体形成强简 并的费米气体. 3 2 2 3 , 2 h n n mkT = （1） 将 28 3 300 , 6 10 m T K n = = 代入，得 3 3 10 1 , n （2） 说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体. 将 20 3 300 K , 10 m T n = = 代 入，得 3 5
30、10 1 , n 所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论.1 6 1 金属中自由电子数密度的估计见 8 . 5，半导体中导电电子数密度的估计 请参阅补充题3. 8.13 银的导电电子数密度为 28 3. 5.9 10 m 试求 0 K时电子气体的费米能 量、费米速率和简并压. 解: 根据式（8 . 5 . 6）和（8 . 5 . 8） ，0 K下金属中自由电子气体的费米能量 （电子的最大能量） 、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于 电子气体的密度 n. 式（8 . 5 . 6）给出 ( ) ( ) 2 2 2 3 0 3 . 2 n m = （1） 将 31
31、 34 28 3 9.1 10 kg , 1.05 10 J s , 5.9 10 m m n = = = 代入，即得 ( ) 18 0 0.876 10 J 5.6e V . = = （2） 费米速率 F 等于 ( ) 6 1 F 2 0 1.4 10 m s . m = = （3） 式（8 . 5 . 8）给出 0 K下电子气体的压强为 ( ) ( ) 10 2 0 0 2.1 10 P a . 5 p n = （4） 8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率. 解: 根据式（ 8 . 5 . 4） ，绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分 布为 F 1 , , f p
32、p = F 0 , , f p p = （1） 其中 F p是费米动量，即 0 K时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为 F F 3 4 F 3 0 F 2 3 F 3 0 8 1 d 3 4 . 8 1 4 d 3 p p V p p p h p p V p p p h = = = （2） 因此电子的平均速率为1 6 2 F F 3 3 . 4 4 p p m m = = = （3） 8.15 试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为 1 , 4 n = 其中 N n V = 是电子的数密度，是平均速率. 解: 绝对零度下电子速率分布为 F F 1 , , 0 , , f f = =
33、 （1） 式中 F 是 0 K时电子的最大速率，即费米速率. 单位体积中速率在 dd d 间 隔的电子数为 ( ) 3 2 F 3 2 s i n d d d . m h （2） 单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿 z轴的单位面积器壁上的碰撞数 为 3 2 3 2 c os s i n d d d . m d h = （3） 将上式积分， 从0到 F , 从0到 , 2 从0到 2 ，得 0 K时电子气体的碰壁数 为 F 3 2 3 2 3 0 0 0 3 4 F 3 2 d s i n c os d d 2 1 1 2 4 2 m h m h = = 3 4 F 3 . 2 m h =
34、（4） 但由式（2）知单位体积内的电子数n为1 6 3 F 3 2 2 3 0 0 0 3 3 F 3 2 d s i n d d 2 1 2 2 3 m h m h = = 3 3 F 3 8 . 3 m h = （5） 所以 F 3 1 . 4 4 4 n n = = 最后一步用了 8 . 1 4题式（3）. 8.16 已知声速 S p a = （式（ 1 . 8 . 8） ），试证明在 0 K理想费米气体中 F . 3 a = 解: 式（ 1 . 8 . 8）已给出声速 a为 S p a = ， （1） 式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数.根据能氏定理， 0 K下物质系统 的熵是一个
35、绝对常数，因此 0 K下物理量的函数关系满足熵为不变的条件. 根据式（ 8 . 5 . 8）和（ 8 . 5 . 6） ， 0 K下理想费米气体的压强为 ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 3 2 2 0 5 2 3 5 2 p n n m = = ( ) ( ) 2 2 5 2 3 3 5 3 2 1 3 . 5 2m m = （2） 故 ( ) 2 2 2 2 F 3 2 2 1 3 , 3 2 3 S p p n m m m = = 即1 6 4 F F . 3 3 p a m = = （3） 8.17 等温压缩系数 T 和绝热压缩系数 S 的定义分别为 1 T T p V = 和
36、1 . S S p V = 试证明，对于 0 K的理想费米气体，有 ( ) ( ) ( ) 3 1 0 0 . 2 0 T S n = = 解: 根据式（ 8 . 5 . 6）和（ 8 . 5 . 4） ， 0 K下理想费米气体的压强为 ( ) ( ) 5 2 2 3 2 3 2 2 0 3 . 5 5 2 N p n m V = = （1） 在温度保持为 0 K的条件下， p对 V的偏导数等于 ( ) 2 2 2 3 2 2 3 . 3 2 T p N V m V = 由式（A.5）知 ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 3 1 3 . 2 3 2 T T V V p p N N V m
37、 V = = （2） 所以 0 K下 ( ) ( ) 5 2 2 3 2 3 1 3 3 1 . 2 2 0 3 2 T T V V V p n N m V = = = （3） 根据能氏定理，T = 0 的等温线与 S = 0的等熵线是重合的，因此 0 K下 . T S V V p p = 由此可知1 6 5 ( ) 1 3 1 . 2 0 S S V V p n = = （4） 式（4）也可以从另一角度理解.式（ 2 . 2 . 1 4）和（ 2 . 2 . 1 2）给出 s V T p C C = （5） 和 2 . p V T VT C C = （6） 由式（6）知， 0 K下 , p
38、V C C = 所以式（5）给出 0 K下 . S T 8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在 0 K时的费米能量、内能 和简并压. 解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为 . cp = 根据习题 6 . 4式（2），在体积 V内，在 到 d + 的能量范围内，极端相对论 粒子的量子态数为 ( ) ( ) 2 3 8 d d . V D ch = （1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题 6 . 4式（2）的结 果乘以因子2. 0 K下自由电子气体的分布为 ( ) ( ) ( ) 1 , 0 ; 0 , 0 . f = （2） 费米能量 ( ) 0 由下式确定
39、： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 3 3 3 0 8 8 1 d 0 , 3 V V N ch ch = = 故1 6 6 ( ) 1 3 3 0 . 8 n ch = （3） 0 K下电子气体的内能为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 3 3 0 4 3 d 8 d 8 1 0 4 U D V ch V ch = = = ( ) 3 0 . 4 N = （4） 根据习题 7 . 2式（4） ，电子气体的压强为 ( ) 1 1 0 . 3 4 U p n V = = （5） 8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为 . n 试求 0 K时二维电 子气
40、体的费米能量、内能和简并压. 解: 根据6.3题式（4），在面积 A内，在 到 d + 的能量范围内，二维 自由电子的量子态数为 ( ) 2 4 d d . A D m h = （1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将 6 . 3题式（4）的结果 乘以2. 0 K下自由电子的分布为 ( ) ( ) ( ) 1 , 0 ; 0 , 0 . f = （2） 费米能量 ( ) 0 由下式确定： ( ) ( ) 0 2 2 0 4 4 d 0 , A A N m m h h = = 即 ( ) 2 2 0 . 4 4 h N h m A m = = （3） 0 K下二维自由电子气体的内
41、能为 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 0 4 4 d 0 0 . 2 2 A A m N U m h h = = = （4）1 6 7 仿照习题 7 . 1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关 系为 . U p A = （5） 因此 0 K下二维自由电子气体的压强为 ( ) 1 0 . 2 p n = （6） 8.20 已知 0 K时铜中自由电子气体的化学势 ( ) 0 7.04e V , = 试求 3 0 0 K时的一级修正值. 解: 根据式（ 8 . 5 . 1 7） ，温度为 T时金属中自由电子气体的化学势为 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 , 12 0 kT T =
