1、ACM程序设计,第十二讲,若干数论问题,剩余类完全剩余系简化剩余系欧拉函数素数判定大整数分解,剩余类,按照某一模m的余数将全体整数进行分类例如 奇数和偶数就是模2的剩余类,完全剩余系,在每个对模m同余的剩余类中选出一个数构成具有m个元素的集合，称为完全剩余系有下面结论：任意m个连续整数构成对模m的剩余系0，1，2，m-1构成对模m的最小非负剩余系 m=2k+1时，-k,-k+1,k-1,k构成对模m的最小绝对值剩余系；m=2k时， -k,-k+1,k-1构成对模m的最小绝对值剩余系设gcd(b,m)=1，c为任意整数，a1am是对模m的一个剩余系，那么ba1+c,ba2+c,bam+c也是对模
2、m的一个剩余系,简化剩余系,在模m的每个剩余类中取出一个和m互质的数构成的集合，称为简化剩余系一个剩余系里的元素要么都和m互质，要么都不和m互质,欧拉函数,把对模m的简化剩余系的元素个数称为m的欧拉函数，记做(m)欧拉函数表示0,1,m-1中和m互质的数的个数(1)的取值是0还是1，根据具体题目要求决定求欧拉函数的方法：将m分解质因数，设其所有两两不同的质因数为p1p2pn,则(m)=m*(1-1/pi),求一个连续区间数的欧拉函数,方法1：一个一个按上面公式求太慢了！方法2：筛法设一个数组phi11,赋初值phi1=1,phi2=2,phi10=10对数组下标是2的倍数的每个元素，分别乘上（
3、1-1/2）对数组下标是3的倍数的每个元素，分别乘上（1-1/3）对5对7（所有素数）都类似操作，就得到了欧拉函数值注意：一般需要先求出此区间的所有的素数,非常精简的筛法求欧拉函数的模板,const int Max=10001; int euMax void eular() int i,j; for(i=2;iMax;i+)if(!eui) for(j=i;jMax;j+=i) if(!euj)euj=j; euj=euj/i*(i-1); ,例题 Relatives（POJ2407）,题意：给出n，求小于等于n且与n互质的元素个数 n1,000,000,000,思路：,显然，本题是求n的欧拉
4、函数,素数判定,试除法米勒罗宾测试,试除法,筛法求1，000，000以内的素数表,int prime200000; bool bol1000001; int prime_table() int I,j,flag=0; memset(bo,0,sizeof(bo); bo0=bo1=1; for(i=2;i=1000;i+) if(!boi) j=i*i; for(;j=1000000;j+=i)boj=1; for(i=0;i=1,k+; for(i=0;i=n)return true; a=multimod(prii,m,n); if(a=1)continue; for(j=0;jk;j+)
5、 if(a=n-1)break; a=multi(a,a,n); if(j=k)return false; return true;,Java语言中的Miller-Rabin函数,Java的BigInteger类提供了一个利用Miller-Rabin算法判断素数的函数boolean isProbablePrime(int certainty)如果此大整数可能为素数，返回true如果一定是合数，返回false传入参数越大，判断的准确度越高，花的时间也越多一般取50,大整数分解,对一个很大的整数（如1020数量级），试除法不适用这里简略介绍下面3种方法费马方法Pollard_Rho法p-1法,费马
6、方法,费马注意到：若n=a2-b2，则n=（a+b）（a-b）可分解，因此可以寻找b，使得n+b2是完全平方数寻找b的方法：可以从b=1开始依次试验。直接试验在数很大时仍然可能花费很多时间优化改进：若n+b2是完全平方数，则b的奇素数因子p一定满足其中（n/p）是勒让德符号。由此可以筛掉不满足条件的p。对费马数Fn，它的素因子形如2n+2*k+1,Pollard-Rho法,是一个概率算法输入n，在0，n)中随机选一个数x1，并让xi=（x2i-1-c） mod n，其中c也是0，n)中的随机数令y为距离xi最近的2的次幂项，每生成一项后检查d=gcd(y-xi,n)若d在2,n)之间，则d为因子此过程一直到找出d或者y=xi为止,p-1法,定理：假设素数p是n的一个因子，若p-1能整除q，则对任意的a，若p不能整除a，那么p能整除aq-1利用这个定理，只需求出gcd(aq-1,n),若结果不为1或者n，则能找到n的真因子,例题 Prime（POJ1811）,题意：给出一个数N，若它是素数，输出Prime，否则，输出它的最小质因数N254,思路：,利用Miller-Rabin测试+Pollard-Rho法可分解大数,练习和作业,http:/ 数学12 密码x3s12http:/ 密码xs12,
