1、本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1利用斜二测画法得到的三角形的直观图一定是三角形；正方形的直观图一定是菱形；等腰梯形的直观图可以是平行四边形；菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( )A B C D 【答案】B2如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB、AC，M、N 分别是对边 OA、BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 2G，现用基向量 ,OABC表示向量，设OxyzO，则 x
2、、y、z 的值分别是( )A x 31，y ，z 31B x 31，y ，z 61C x ，y 6，z D x 6，y ，z 3【答案】D3在半径为 R的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球半径 r的最大值为( )A 26B R12C DR31【答案】A4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中 E、F 分别为棱 DD1、BB 1上的动点，且 BF=D1E，设 EF 与AB 所成角为 ，EF 与 BC 所成的角为 ，则 的最小值为( )A 45B 60C 9D无法确定【答案】C5若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )A 27 3+12 B 9 3+12C
3、 27 3+3 D 54 3+3【答案】C6有下列命题：有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；有两个面平行, 其 余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。其中正确的命题的个数为( )A 0B 1C 2D 3【答案】B7下列说法正确的是( )A圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形B棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体C任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥D通过圆台侧面上一点，有无数条母线【答案】C8如图，在一根长 11c
4、m，外圆周长 6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成 10 个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为( )A 61cm B 157cm C 102cm D10 37cm【答案】A9如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，A 1B1=2，AA 1=4，则该几何体的表面积为( )A 6+ 3B 24+ 3C 24+2 3D 32【答案】C10过AB 所在平面 外一点 P，作 PO ，垂足为 O，连接 PA、PB、PC 且 PA、PB、PC 两两垂直，则点 O 是ABC 的( )A内心 B外心 C垂心 D 垂心【答案】C11已知某个几何体的三视图如图
5、，根据图中标出的尺寸（单位： cm）可得这个几何体的体积为( )A 31cmB 32cC 34cmD 38cm【答案】D12一个组合体的三视图如下，则其体积为( )A12 B16 C20 D28【答案】C第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13点 ,21)Px到 (,)2,1QR的距离相等，则 x的值为.【答案】114如图，ABC 是直角三角形， ACB= 90，PA 平面 ABC，此图形中有_个直角三角形【答案】415把一个长方体切割成 k个四面体，则 k的最小值是.【答案】516在正三棱锥 SABC中，
6、1,30SAB，过 A 作三棱锥的截面 AMN,则截面三角形AMN的 周长的最小值为.【答案】 2三、解答题 (本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17如图，已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，DCA，AB/DC，DC=DD 1=2AD=2AB=2(）求证： DB平面 B1BCC1；(）设 E 是 DC 上一点，试确定 E 的位置，使得 D1E/平面 A1BD，并说明理由【答案】 （I）设 是 C的中点，连结 ，则四边形 BE为正方形，B故 2， B， 2C， 90 ，即 BDC又 1D， .D平面 1，(II）证明：DC 的中点即为 E 点，
7、连 D1E,BE A/四边形 ABED 是平行四边形，AD /BE,又 AD A1D1 B/A1D1 四边形 A1D1EB 是平行四边形 D1E/A1B ,D 1E平面 A1BD D 1E/平面 A1BD.18如图，已知 AB平面 ACD，DE/AB，ACD 是正三角形，AD=DE=2AB，且 F 是 CD 的中点。(I）求证：AF/平面 BCE；(II）求证：平面 BCE平面 CDE；(III）求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。【答案】 （I）取 CE 中点 P，连结 FP、BP，F 为 CD 的中点，FP/DE，且 FP= .21DE 又 AB/DE，且 AB= .21D
8、EAB/FP，且 AB=FP， ABPF 为平行四边形，AF/BP。又AF 平面 BCE，BP 平面 BCE， AF/平面 BCE。(II）ACD 为正三角形，AFCD。AB平面 ACD，DE/AB，DE平面 ACD，又 AF 平面 ACD，DEAF。又 AFCD，CDDE=D，AF平面 CDE。又 BP/AF，BP平面 CDE。又BP 平面 BCE，平面 BCE平面 CDE。(III）由（II） ，以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线分别为 x，y，z 轴（如图） ，建立空间直角坐标系 Fxyz.设 AC=2，则 C（0，1，0） ， ).2,10(),3(EB).1,0(,1.
9、02,3,0, ,)( nzzyxCEnBzyx 则令即则 的 法 向 量为 平 面设显然，)1,0(m为平面 ACD 的法向量。设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 .21|cos, n则 45，即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45。19如图，四棱柱 1ABCD中， 1AD平面 BC，底面 AD是边长为 1的正方形，侧棱 12.(1）求证： 1/CD平面 1AB；(2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 (1）证明：四棱柱 1CD中， 1/BC，又 1C面 1AB，所以 /平面 A，D是正方形，所以 B，又 面 1，所以 /平面 1，所以平面 /平面 1，所以
10、 1/C平面 1AB. (2）解： D是正方形， CD，因为 1平面 ，所以 A， 1， 如图，以 D为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，在 1AD中，由已知可得 13AD，所以 1(0,)(,),(0),(,)C，113BB，(2,)D，因为 1A平面 C，所以 平面 1BD，1D，又 1AC，所以 B平面 1， 所以平面 1D的一个法向量为(,0)n，设 1B与 所成的角为 ，又 ),31,2(1B则13cos428BDn. 所以直线 1D与平面 1AC所成角的正弦值为 4. 20如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AA 1=AB，D 是 AC 的中点。(1）求证：B 1C/平面 A1
11、BD；(2）求证：平面 A1BD平面 ACC1A1；(3）求二面角 AA1BD 的余弦值。【答案】 (1)证明：连 1AB交 于点 E，连 D.则 E是 1AB的中点， D是 C的中点， CBDE1/ 平面 1， 平面 A， 1平面 BDA1.(2) (3)法一：设 12Aa, AB1, 1E,且 aA2，作 DF，连 E平面 B1平面 1C， F平面 D1， 1BF A就是二面角 BA的平面角，在 AD1中， 25Fa，在 E中， 22465EAaa5126cosaFA，即二面角 DBA1的余弦值是 51.解法二：如图，建立空间直角坐标系.则 )0,(D， (,30)Ba， (,)A， 1(
12、,02)a 12A， ， D， (0,3)DBa设平面 的法向量是 ),(zyxm，则由 031yDBmzx，取 1,02设平面 A1的法向量是 ),(zyxn，则由 021znx，取 0,13记二面角 DBA的大小是 ，则2315cos|mn，即二面角 1的余弦值是 51.21如图所示，已知 P、Q 是单位正方体 ABCDA 1B1C1D1 的面 A1B1BA 和面 ABCD 的中心求证：PQ平面 BCC1B1.【答案】证法一：如图取 B1B 中点 E，BC 中点 F，连接 PE、QF、EF ，A 1B1B 中，P、E 分别是 A1B、B 1B 的中点，PE 綊 A1B1.12同理 QF 綊
13、 AB.12又 A1B1 綊 AB，PE 綊 QF.四边形 PEFQ 是平行四边形PQ EF.又 PQ平面 BCC1B1，EF平面 BCC1B1，PQ平面 BCC1B1.证法二：如图，连接 AB1，B 1C，AB 1C 中， P、Q 分别是 A1B、AC 的中点，PQB 1C.又 PQ平面 BCC1B1，B1C平面 BCC1B1，PQ平面 BCC1B1.22如图：梯形 ABCD和正 P所在平面互相垂直，其中 /,ABDC12，且 O为 AB中点. ( I ) 求证： /BC平面 POD；( II ) 求证： A. 【答案】 (I) 因为 为 中点，所以1,2又 /,ABCDAB，所以有 /,O所以 为平行四边形,所以 /,COD又 D平面 ,PB平面 P所以 /C平面 . (II)连接 O.因为 ,/,CDBOA所以 ADCO为平行四边形， 又 ,所以 为菱形，所以 ACDO， 因为正三角形 PB, 为 A中点，所以 ， 又因为平面 CD平面 ,平面 BCD平面 PAB ， 所以 PO平面 AB， 而 平面 ，所以 POA，又 D，所以 C平面 D. 又 P平面 ，所以 .
