1、 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j数形结合思想高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 数形结合思想在高考中占
2、有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126
3、.hp:/wxjkygco 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 以数助形常用的有 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 借助于几何轨迹所遵循
4、的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 设 A=x2x a，B=yy =2x+3，且 xA ，C =zz=x 2，且 xA ，若 C B，求实数 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t12
5、6.hp:/wxjkygco 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 进而将 C B 用不等式这一数学语言加以转化 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 考生在确定 z=x2，x2,a的值域是易出错，不能分类而论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 巧妙观察图象将是上策 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不能漏掉 a2 这一种特殊情形 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法
6、头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco y=2 x+3 在2, a上是增函数1y2a+3，即 B=y1y 2a+3作出 z=x2 的图象，该函数定义域右端点 x=a 有三种不同的位置情况如下 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当2a0 时，a 2z
7、4 即 C=za 2z4要使 C B,必须且只须 2a+34 得 a 与2a0 a24a-2oy x第 2 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j矛盾 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 0a2 时，0z4 即 C=z0z4，要使 C B，由图可知 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 必须且只需 3解得 a2当 a2 时，0za 2，即 C=z0za 2，要使 C B 必须且只需解得 2a3当 a2 时，A= 此时 B=C= ，则 C B 成立 头htp:/w.x
8、jkygcom126t:/.j 综上所述，a 的取值范围是( ,2) ,3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 已知 acos +bsin =c, acos +bsin =c(ab0, k, kZ)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j s命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxj
9、kygco 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 进而由 A、 B 两点坐标特点知其在单位圆上 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质
10、分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明:在平面直角坐标系中，点 A（cos ,sin ）与点 B（cos ,sin ）是直线 l:ax+by=c 与单位圆 x2+y2=1 的两个交点如图 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 从而 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco AB 2=(cos cos )2+(sin sin )2=22cos( )又单位圆的圆心到直线 l 的距离 2|bad由平面几何知识知OA 2( AB) 2=d2 即124a-2oyx 24a-2oyxDAB
11、oy x第 3 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbacd24)cos(21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2s例 3 曲线 y=1+ (2x2)与直线 y=r(x2)+4 有两个交点时，4实数 r 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 方程 y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x2)+4 为过（2，4）的直线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygco
12、m126t126.hp:/wxjkygco （ 3,5例 4 设 f(x)=x22ax+2,当 x1,+) 时，f (x)a 恒成立，求 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 f(x)a，在 1,+)上恒成立x22ax+2a0 在1,+)上恒成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 考查函数 g(x)=x22ax+2a 的图象在1,+时位于 x 轴上方 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图两种情况 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp
13、:/wxjkygco 不等式的成立条件是 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)=4a 24(2a)0 a( 2,1)(2) a(3, 2 ，)1(g综上所述 a(3,1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 f(x)a x2+2 a(2x+1)令 y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图满足条件的直线 l 位于 l1 与 l2 之间，而直线 l1、l 2 对应的 a
14、值（即直线的斜率）分别为 1，3，故直线 l 对应的 a(3,1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 方程 sin(x )= x 的实数解的个数是 ( )4A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 以上均不对M12-2oyxa-1oyxa-1oyx -12
15、-1oyx第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 f(x)=(xa)(xb)2（其中 ab ，且 、 是方程 f(x)=0)的两根（ ，则实数 a、b、 、 的大小关系为( )A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ab B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a bC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a b D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a b3 头htp:/w.xjkygcom12
16、6t:/.j(4cos +32t)2+(3sin 1+2t)2，( 、t 为参数) 的最大值是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知集合 A=x5x ,B=xx 2axxa，当A B 时，则 a 的取值范围是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设关于 x 的方程 sinx+ cosx+a=0 在（0, ）内有相异解 、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3（1）求 a 的取值范围；（2）求 tan( + )的值 头htp:/w.xjkygc
17、om126t:/.j 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 A=(x,y)y = ,a0，B=( x,y)( x1)2+(y )232=a2,a0,且 AB ，求 a 的最大值与最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知 A（1，1）为椭圆 =1 内一点，F 1 为椭圆左焦点，P592x为椭圆上一动点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 求PF 1 +PA的最大值和最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 把一个长、宽
18、、高分别为 25 cm、20 cm、5 cm 的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在同一坐标系内作出 y1=sin(x )与 y2= x 的图象如图 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 414-1 41oy x答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco B2 头htp:/w.xjkygcom126t
19、:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco a,b 是方程 g(x)=(xa)(xb)=0 的两根，在同一坐标系中作出函数 f(x)、g(x )的图象如图所示 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第 5 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2个个y=f(x)y=g(x)b aoy x答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco A3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/
20、w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 联想到距离公式，两点坐标为 A(4cos ,3sin ),B(2t3,12t)点 A 的几何图形是椭圆，点 B 表示直线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 考虑用点到直线的距离公式求解 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 74 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解得 A=xx 9 或 x3 ，B=x(xa)(x1)0，画数轴可得
21、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco a35 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 作出 y=sin(x+ )(x(0, )及 y= 的图象，知32当 1 且 时，曲线与直线有两个交点，2故 a(2, )( ,2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3把 sin + cos =a,sin + cos =a3相减得 tan ，2故 tan( + )=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
22、 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 集合 A 中的元素构成的图形是以原点 O 为圆心， a 为2半径的半圆；集合 B 中的元素是以点 O(1, )为圆心，a 为半径的圆 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3如图所示 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1,3)oy xAB ，半圆 O 和圆 O有公共点 头htp:/w.xj
23、kygcom126t:/.j 显然当半圆 O 和圆 O外切时，a 最小a+a=OO=2,a min=2 22当半圆 O 与圆 O内切时，半圆 O 的半径最大，即 a 最大 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 此时 aa=OO=2, amax=2 +2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 可知 a=3,b= ,c=2，左焦点 F1(2,0),右焦点15925F2(2,0) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由椭圆定义，
24、PF 1=2aPF 2=6PF 2 ,PF 1+PA=6PF 2+PA=6+PA PF 2如图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco APP2P1 F2F1oyx由PAPF 2AF 2= 知2)10()(2 PAPF 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2当 P 在 AF2 延长线上的 P2 处时，取右“=”号；当 P 在 AF2 的反向延长线的 P1 处时，取左“=”号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 即PAPF 2的最大、最小值分别为 ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 于是PF 1+PA的最大值是
25、6+ ,最小值是 6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题实际上是求正方形窗口边长最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 第 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 205x yxy xy20 5yx HGFE DCBA设 AE=x,BE=y,则有 AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG= DH=y 251022yy 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 10xAB课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
