1、 - 1 -高考猜题专题 01 三角函数与平面向量甘肃天水市第一中学（741000）1、近几年高考对三角变换的考查要求减弱，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大
2、，从考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题2、平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表 示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力 在近几年的高考中，每年都有两道题目其中小题以填空
3、题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题一.选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知向量 26()3，a， (10)，i和 ()，j，若 3aj，则向量 a与 i 的夹角， i=（ ）A B C 65D 62已知函数 （ ） ，则下列叙述错误的是 （ ）cos2fxxRA 的最大值与最小值之和等于 B 是偶函数fx- 2 -C 在 上是增函数 D 的图像关于点 成中心对称fx4,7fx,23关于函数 的图象，有以下四个说法：sin26yx关于点 对称； 关于点 对称；0，
4、5012，关于直线 对称； 关于直线 对称6xx则正确的是 （ ）A B C D4已知函数 f(x)asin(x)bcos( x)，且 f(2 001) 3，则 f(2 012)的值是( )A1 B 2 C3 D15已知 sin(2 ) ， ，则 等于 ( )45 (32，2) sin cos sin cos A. B C7 D717 176已知 是夹角为 的单位向量，则向量 与 垂直的充要条件是实数 的,ab120 ab2值为 （ ）A B C D 5453437在 中， 分别为三个内角 A、B 、C 所对的边 ,设向量Ccba,m n ，若向量 mn，则角 A 的大小为 （ ）,aA B
5、C D632328已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数()sin)(,0)4fxxR的图象，只要将 的图象 （ ）cog(yfx- 3 -A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度88C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度449如右图所示的曲线是以锐角 的顶点 B、C 为焦点，A且经过点 A 的双曲线，若 的内角的对边分别为 ,abc且 ，则此双曲线的离心率为（ ）sin34,62cabaA B3727C D310. 设向量 a， b满足： |3a， |4b， 0a以 ， b， a的模为边长构成三角形，则它的边与半径为 1的圆的公共点个数最多为 ( ) A 3 B.4 C 5
6、D 611. 将函数 f(x)=2sin 的图象向左平移 个单位，得到函数 y=g(x)的图()03x3象若 y=g(x)在 上为增函数，则 的最大值 （ ）0,4A1 B2 C3 D412. 如图，在ABC 中，AD=2DB，AE=3EC，CD 与 BE 交于 F，设 为 （ ）,()abFxayb则A B ()32143C D,729(,)50二.填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知非零向量 与 满足（ + ） =0,且 =- ,则ABC|AB|C|AB|C21- 4 -ABC 为_ （ ）A等腰非等边三角形 B等边三角形C三边均不相等的三角形 D直角三角形14在
7、B中， O为边 BC中线 AM上的一点，若 4A，则 )(OCB的（ ）A最大值为 8 B最大值为 4 C最小值4 D最小值为815设 a=（a 1，a 2）,b=（b 1,b2） 定义一种向量积 已知 ，点 P（x,y ）在),(),(),( 21ba )0,3(),21(nmy=sinx 的图象上运动,点 Q 在 y=f（x）的图象上运动，且满足 （其中nOQO 为坐标原点） ，则 y=f（x）的最大值 A 及最小正周期 T 分别为（ ）A2, B2,4 C D4,21,2116设函数 f （x）的图象与直线 x =a，x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f（x）在a，b上的面积
8、，已知函数 ys1nnx 在0 ， 上的面积为 （n N*） ， （1 ）ys1n3x 在0,n上的面积为 ；（2）ys1n（3x）1 在 ， 上的面积为 3 34三.解答题(共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题 12 分，共 70 分)17已知向量 ，其中 ，函数(2cos,1)(3sincos,mxxa(,0)xR的最小正周期为 ，最大值为 3。)fxn（1）求 和常数 的值；a（2）求函数 的单调递增区间。()f18在ABC 中，已知 AB ，BC2。3（）若 cosB ，求 sinC 的值；36（）求角 C 的取值范围19在 A中，角 ,的对边分别为 向量 m= ,n=.,
9、cba )3si2(B，且 mn.)12cos,(B（1）求锐角 的大小；（2）如果 2，求 ABC的面积 的最大值。ABCS20设函数 f(x)= cos2xsinxcos xa(其中 0,a R),3 - 5 -且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 .12（1）求 的值；（2）如果 f(x)在区间 ， 上的最小值为 ，求 a 的值;6 512 3（3）证明：直线 5x2yc=0 与函数 y=f(x)的图象不相切.21设函数 。y=f（x）图像的一条对称轴是直线 )0( )2sin()xf 8x（1）求 ；（2）求函数 的单调增区间；)(fy（3）证明直线 于函数 的图像
10、不相切025cx)(xfy22. 已知函数 是 R 上的偶函数，其图像关于点()sin),0fx对称，且在区间 是单调函数，求 和 的值(,0)4,2答案1D 解析：由 3aj， (3)，a，由向量夹角的概念结合图形可得2解析：C，由题意得 ，因此结合各选项知 在coscs2fxxfx上是增函数是错误的，选 C。4,73B解：当 时， 1，当 x 时， 0 ，所以，6xsin26yx25sin26yx正确。4.【答案】C- 6 -【解析】f(2 001)asin(2 001)bcos(2 001 )asin() bcos( )asin bcos 3.asin bcos 3.f(2 012)as
11、in(2 012 )bcos(2 012 )asin bcos 3.5 【答案】A【解析】sin(2 )sin ，sin .45 45又 ，cos . .(32，2) 35 sin cos sin cos 176 【解析】A 根据已知 ，向量 与 垂直的充要条件是1,2abAab2，解得 。2()()(1)()0ab 547解析：B；mn m n0221()()0cos2bcacbcabA。3A8 【解析】C 由题知 ，所以2()sin)cos()cos(2)cos2()4444fxxxx，只要把这个的 变成 即可，即只要把函数x的图象向左平移 个单位长度。正确选项()yf4C。9解析：D，
12、,因为 C 为锐角，sin33sin2sini232cAacaC所以 C= ，3由余弦定理知 2221cos4628,7cab c4376eb- 7 -10 答案 B 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能实现11. B 解析：将函数 f(x)=2sin 的图象向左平移 个单位，得到函数()03x3y=g(x)=2 。 y=g(x)在 上为增函数xsin2sin0,4 。24。12. A解析： ，33()(144FBAEBACABC同理向量 还可以表示为 ，对应相2()F
13、D等可得 ，所以 ，故选 A。2313213 答案解析:A、 分别是 、 方向的单位向量,向量 + 在BAC 的平分|AB|CABC|AB|C线上,由（ + ） =0 知,AB=AC, 由 =- ,可得| |21CAB=120 0,ABC 为等腰非等边三角形,故选 A14 答案解析: A 8424|)|(|2|2)( OMOMOCB，当且仅当 2|，即点 为 A的中点时，等号成立故 )(CBA的最大值为 8选 A 项15 答案解析:C设 Q（x,y） ，P（x 0，y 0） ，则由 nPmQ- 8 -得 ,yxyxyxy 2,61),23()0,321,(), 0000 代入得 ，6sin则
14、y=f（x）的最大值 A 及最小正周期 T 分别为 ,4故选 C16 答案 提示：由题意得：y=s1n3x 在 上的面积为 ，32,4 320，342在 上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为 。1)sin(xy4，17 解析：（1） ，2(23sincosfmxxa，3sinco1xai()16由 ，得 。2T又当 时 ，得 .si()6xmax213y2a（2）由（1） 当 ， 2sin()f()6kxkZ即 ，故 的单调增区间为 ， 。3kxkfx,318解析：（）在ABC 中，由余弦定理知，AC2AB 2BC 22 ABBCcosB4 322 （ ）9 336所以 AC3 又因为 s
15、inB ， 1 cos2B 1 ( F(r(3),6)2336由正弦定理得 ABsinC ACsinB所以 sinC sinB 。 ABAC 116（）在ABC 中，由余弦定理得，AB 2AC 2BC 22 ACBCcosC，所以，3AC 244 ACcosC，即 AC24cos CAC1 0 由题，关于 AC 的一元二次方程应该有解，令（4cosC） 240, 得 cosC ，或 cosC （舍去，因为 ABAC）,12 12- 9 -所以，0C ，即角 C 的取值范围是（0， ） 。3 319解析：（1） mn BB2cos3)12cos(in2Bcos32si，即 ta又 B为锐角 ,0
16、 ， 3 。（2） 得， 由 余 弦 定 理 acbBb2cos2,3 ：04ac又 a 代 入 上 式 得 ： 4（当且仅当 2ca时等号成立） 34sin21cBcSABC（当且仅当 2ca时等号成立）的 最 大 值 为。20、解：（1） f(x)= sin2xa= sin2x cos2x a31+cos2x2 12 12=sin(2x ) a3由题意知，2 = ， =112 32（2）由（1）知，f(x)=sin(2x ) a x 02x 3 6 512 3 76 sin(2x )1 f(x)的最小值= a= a= 12 3 12 3（3） f (x)=2cos(2x ) |f (x)|
17、2 3 曲线 y=f(x)的切线斜率的取值范围是2,2,而直线的切线斜率= 2, 直线 5x2yc=0 与函数 y=f(x)的图象不相切. 5221 答案 （1） 是函数 y=f（x）的图象的对称轴，8x ， ，1)sin(Zk,24 ， 。03- 10 -（2）由（1）知 ，因此 。43)432sin(xy由题意得 ，Zkxk,2所以函数 的单调增区间为 。)sin(y Zk,85,（3）证明： =|（ |=| |2/ /43ix)432cos(x所以曲线 y=f（ x）的切线的斜率取值范围是 -2,2，而直线 5x-2y+c0 的斜率为 2 ，5所以直线 5x-2y+c0 与函数 的图象不
18、相切。)43sin(xy22.分析 运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解解法一 由偶函数关于 轴对称，知当 时函数 取最大值或最小值，所以x0()fx又 所以 ;另一方面函数 的图像关于点 对称，此点是sin1,02()f3,0)4函数图像与 轴的一个交点，所以当 ， ，即x34xsin2， ， 3cos,4k(1)k0,当 时， 在 上是减函数;0k22,()sin33fx,当 时， 在 上是减函数;1)当 时， 在 上不是减函数2k()sifx0,2综上所述 或 32,解法二 由 是偶函数，得()fx()fxf即 ，所以 对任意 都成立，只能是sinsincosincosinxx，又 ，所以 co02由 的图像关于点 对称，得 ，令 得 ，()fx3(,0)433()()44fxfx03()04f以下同解法一
