1、第 27 章完全平方数27.1 如果 为正整数，那么在下面的四组数值中， x 和 y 只能取（ ）2xyA. x25530， y 29464 B.x37615， y26855C.x15123， y32477 D.x28326， y2861127.2 去掉全体正整数中的完全平方数和完全立方数（按递增顺序），则去 掉的第 19个和第 92 个数分别是（ ）A. 216 和 6859 B.216 和 6241C 225 和 6241 D.225 和 608427. 3 在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有（ ）个.A.0 B.2C.超过 2，但有限 D.无限多27.4 p 是质数，且 p
2、4的全部正约数之和恰好是一个完全平方数，则满足上述条件的质数 p 的个数是 （ ）（ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 D.027. 5 小于 1000 的正整数中，是完全平方数且不是完全立方数的数有_个27.6 一个三位数与 1993 之和恰好是一个完全平方数，这样的三位数共有 _ 个.27. 7 连续的 1993 个正整数之和恰是一个完全平方数，则这 1993 个连续正整数中最大的那个数的最小值是_ 27.8 已知矩形四边的长都是小于 10 的整数，用这些长度数可以构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这个四位数是一个完全平方数，那么这个矩形的面积是_.27.9 使得
3、 n219 n91 为 完全 平方数的正整数 n 的个数为_.27.10 把正整数依次写在黑板上，规定遇到完全平方数时就要：“跳”过去接着写它后面的自然数.这样写成了 2， 3， 5，6， 7，8，10， 11，一列数，这样写的第 1 个数是 2，第 4 个数是 6，第 8 个数是 11，按照这个规律，在黑板上写出的第 1992 个数是_27.11 试求出所有具有如下性质的两位数：它与将它的两个数字颠倒后所得的两位数的和是完全平方数.27.12 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小正整数.27.13 求所有不超过 100 的恰好有三个正整数因子的正整数的乘
4、积，并证明 所有这样的数是完全平方数.27.14 求出满足下列条件的所有三位数：这些三位数的平方的末三位数就是原来的三位数.27.15 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非 0）.27.16 求最大正整数 n，使 n21990 n 是一个完全平方数.27.17 N 是一个四位完全平方数，各位数字均小于 7，且每一位数字增加 3 后仍是一个完全平方数，求 N.27.18 求所有这样的正整数 n，使得 28 2 112 n是一个正整数的平方.27.19 如果 a b c d e 是连续的正整数， b e d 是完全平方数， a b c
5、d e是完全立方数，那么 c 的最小值是多少?27.20 求出所有这样的正整数，它等于其所 有因数的个数的平方.27.21 试求两个不同的正整数，它们的算术平均数 A 和几何平均数 G 都是两位数.其中A、 G 中一个可由另一个交换个位和十位数字得到.27.22 试证：若 a 是完全平方数，则 a 的正约数的个数一定是奇数；反之，若正整数a 的正约数的个数是奇数，则 a 是完全平方数.27.23 在小于 50 的正整数中，含有奇数个正整数因子的数有多少个？27.24 用 d（ n）表示 n 的正因数的个数，试确定 d（1） d（2） d（1990）的奇偶性.27.25 自然数 a 和 b 恰好
6、有 99 个正整数因数（包括 1 和该数本身）试何:数 ab 能不能恰有 1000 个正整数因数（包括 1 和该数本身）？27.26 大楼装有编号为 1， 2，100 的单人牢房都关着门.有编号为1，2，100 的议员去视察牢房，每位议员只去自己编号倍数的牢房，如发现牢房关着，他就打开视察；如发现打幵的，认为已査，他就关上，100 位议员各自独立执行视察，互不干涉他人.最后决定，100 名议员视察完后牢房门仍幵着的，其中的犯人减刑，问：哪些犯人得以减刑？：.27.27 a、 b、 c 是大于 20 的正整数，它们中有一个含有奇数个正因数，另两个恰有王个正因数.又 a b c，求满足上述条件的
7、c 的最小值.27. 28 求证: n2 n1（ n0）不是完全平方数.27. 29 试证:若 n 是一个正整数，则 n3 n2 n 不是完全平方数.27. 30 假设 n 是正整数， d 是 2n2的正因数.证明： n2 d 不是完全平方数.27.31 若一个数能分解成 k 个大于 1 的连续正整数之积，则说这个数具有特征 P（ k）.（1）求数 k，对这个数 k，有某个数同时具有特征 P（ k）和 P（ k2）.（2）求证：同时具有特征 P（2）和 P（4）的数不存在.27. 32 求证：8 个连续正整数的积不能是某一个自然数的四次幂.27.33 能否有这样的正整数 x 和 y，使 x2
8、y 和 y2 x 都是整数的平方？27.34 若 x 与 y 都是正整数.试证： x2 y1 和 y24 x3 的值不能同时都是完全平方数.27. 35 找出使 4274 10004 x成为完全平方数的最大整数 x.27 36 在整数范围内解方程： .1964xy个27. 37 （1）求出两个正整数 x、 y，使得 xy x 和 xy y 分别是不同的正整 数的平方（2）能否在 998 至 1991 范围内求到这样的 x 和 y?27. 38 试证:任何正整数 m， m（ m1）不是整数幂.27. 39 证明:三个连续正整数之积不能是一个正整数的 k 次方幂（ k2）.27.40 求证：4 个
9、连续正整数之积不是完全平方数.27.41 求证：5 个连续正整数的积不是完全平方数.27. 42 求证：5 个连续正整数的平方和不是完全平方数.27.43 已知 A 是一个百位数，其史有 99 位数字是 5，问： A 能不能是完全平方数？27.44 求证：当 n 是非负整数时，3 n217 n不是完全平方数.27. 45 试证：一个两位或两位以上的各位数宇都相同的数一定不是完全平方数.27.46 试找出所有这样的质数 p，使得 2p4 p216 是完全平方数.27. 47 试 问:能否找到 4 个正整数，使得其中每两个数的乘积与 1990 的和都是完全平方数？27.48 设 d1， d2， d
10、k为正整数 n 的全部因数，1 d1 d2 d3 dk n，求出使 k4 并且 d12 d22 d32 d42 n 的所有 n.27.49 假设 a1、 a2、 a3、 a4、 a5和 b 是满足 a12 a22 a32 a42 a52 b2的整数.求证：这些数不可能都是奇数.27.50 设有一列数：801，811，821，831.，820001.试问:在这一列数中，有多少个完全平方数？27.51 求证：如果 p 是大 于 1 的整数，那么 3p1 不可能被 2p整除.27.52 设 x 是一个 n 位数，问：是否总存在非负整数 y9 和 z，使得 10n1 z10 x y是一个完全平方数？2
11、7.53 若 24a21 b2，求证： a 和 b 不能都被 5 整除，也不能都不被 5 整除.27.54 10 个连续的整数的平方和能否为完全平方数？27.55 按任意的次序把 1， 2，1976 这 1976 个自然数写成一排.求证:所得的数一定不是完全平方数.27.56 证明：不存在这样的三位数石，使成为完全平方数. 27.57 求证:若、 y 为正整数，使得 x2 y2 x 被 2xy 整除，则 x 为完全平方数.27.58 已知连续 2008 个正整数的和是一个完全平方数，问：其中最大的数的最小值是多少?27.59 已知 M 是一个四位的完全平方数.若将 M 的千位数减少 3 而个位
12、数增加 3 可以得到另一个四位的完全平方数.请问： M 的值是多少?27.60 在不超过 1000 的自然数中，平方后的末两位数字相同(但不为 0)，这样的数有多少个?27.61 (1)是否存在整数 a， b， c 满足方程 a2 b28 c9 的整数 a、 b、 c？(2)求证：不存在整数 a， b， c 满足方程 a2 b28 c6 的整数 a、 b、 c.27.62 在两个连续的平方数之间能不能有两个完全立方数?换言之，是否存在正整数a、 b、 n 使得 n2 a3 b3( n1) 2?27.63 设 m 是一个小于 2006 的四位数，已知存在正整数 n，使得 m n 为质数，且mn
13、是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数 m.27.64 设 m、 n 均为正整数.证明：当且仅当 n m 是偶数时，5 n5 m可以表示为两个完全平方数的和。27.65 一个正整数，若它的每一个质因数都至少是两重的(即每个质因数乘方次数都不小于 2)，则称该正整数为“漂亮数”，相邻两个正整数皆为“漂亮数”，就称它们是一对“孪生漂亮数”。例如 8 与 9 就是一对“孪生漂亮数”.请 你再找出两对“孪生漂亮数”来.27.66 一个 n(n2)位自然数 N 中的相邻的 1 个、2 个、( n1)个数码组成的正整数叫 N 的“片断数”(顺序不变)，如 186 的“片断数”有 1、8、6、18、86
14、共 5 个.分别求出满足下列条件的 n 位自然数.(1)它是一个完全平方数，且它的“片断数”都是完全平方数.(2)它是一个质数，且它的“片断数”都是质数。27.67 不等的两个正整数的和、差、积、商之和是一个整数的完全平方，我们称这样的两个数为“漂亮数组”。例如，(4，1)就是“漂亮数组”，因为(41)(41)4141164 2.如果这两个正整数都不超过 100，那么这样的“漂亮数组 ”共有多少组?27.68 设 n 为正整数，如果存在一个完全平方数，使得在十进制表示下此完全平方数的各数码之和为 n，那么称 n 为“好数”(例如 13 是一个“好数”，因为 72=49 的数码和等于 13).间
15、：在 1，2，2007 中有多少个“好数”？27.69 三个连续的非 0 自然数，中间一个是完全平方数，称这样的三个自然数的积为“美妙数”。问：所有的小于 2009 的“美妙数”的最大公约数是多少?27.70 (1)在黑板上任意写下 2007 个大于 1 的正整数.试证：必定可以擦掉黑板上的某一个数，使得剩下的 2006 个数的乘积可表示为 a2b 2，其中 a、b 为正整数。(2)在黑板 上有 2007 个大于 1 的正整数，其中一个数为 2006，且已知这 2007 个数中恰好只能找到一个数，使得擦去这个数后剩下的 2006 个数的乘积可以表示为 a2b 2，其中a、b 为正整数.试证：这个唯一的数是 2006.27.71 由 26=12+52=12+32+42，可以断定 26 最多能表示为 3 个互不相等的正整数的平方和.请你确定 359 最多能表示为多少个互不相等的正整数的平方之和？简述理由.
