1、高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:
2、/w.xjkygcom126t:/.j 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 运算法则中各个极限都应存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 头htp:/w.xjkygco
3、m126t:/.j 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco )|(0li,)(li ann 时当不 存 在 时当 时当 lklbxball kkn ,0,lim110典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 已知 ( ax b)=0,确定 a 与 b 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j lix命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在数列与函数极限
4、的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因而本题重点考查考生的这种能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 也就是本知识的系统掌握能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题难点是式子的整
5、理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 有理化处理 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco baxxba1)()(li)(li 22axx)()1()(li22要使上式极限存在，则 1 a2=0,当 1 a2=0 时， 01)2( 1)2(1)2(lim)()(lim22 ab abxbxaxx由 已 知 得上 式 解得)(221b例 2 设数列 a1,a2,an,的前 n 项的
6、和 Sn和 an的关系是Sn=1 ban ,其中 b 是与 n 无关的常数，且 b1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n)(1)求 an和 an1 的关系式；(2)写出用 n 和 b 表示 an的表达式；(3)当 0 b1 时，求极限 Sn 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j li命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前 n 项和Sn等有紧密的联系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前 n 项和 Sn再求极
7、限，本题考查学生的综合能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及 n=1 与n=2 时的式子不统一性 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 抓住第一步的递推关系式，去寻找规
8、律 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)an=Sn Sn1 = b(an an1 ) 1)()(nnb= b(an an1 )+ (n2)(解得 an= (n2)11)(n代 入 上 式 得把由 此 猜 想21 13213232 121 12222111)( )()(,)1( )()( )()()(,)2(babababbbaababaSnnn nnn nnn),1()(1()(1 )(1)3( )1(2)()1( 112 bbbaSbnbnnn nnnnn .lim,0li,0lim,0 nnn
9、 Sb时例 3 求 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j lina 112():, ;lilinnnaa解 当 或 时 1()2122, ;limli4nnnaa当 时 1123, ;lili26nna当 时 ,a当 时111112()2()2362nnnnnn为 奇 数为 偶 数学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j an是(1+ x)n展开式中含 x2的项的系数，则等于)11(lim2nnaaA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 B 头htp:/w.xjky
10、gcom126t:/.j 0 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若三数 a,1,c 成等差数列且 a2,1,c2又成等比数列，则的值是( )nna(liA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0 或 1 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不存在3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =_ 头htp:/
11、w.xjkygcom126t:/.j )(lin4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 若 =1,则 ab 的值是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2nba5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在数列 an中，已知 a1= ,a2= ,且数列 an+1 an是公比为5300的等比数列，数列lg( an+1 an是公差为1 的等差数列 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求数列 an的通项公式；(2)Sn=a1+a2+an(n1),求 Sn 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j li6 头htp:/w.xjkygc
12、om126t:/.j 设 f(x)是 x 的三次多项式，已知 =1,试求axfafnn4)(li)(li2的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (a 为非零常数) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j n3li7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知数列 an,bn都是由正数组成的等比数列，公式分别为 p、 q,其中 p q,且 p1, q1,设 cn=an+bn,Sn为数列 cn的前 n 项和，求的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j linS8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知数列 an是公差为 d 的等差
13、数列， d0 且 a1=0,bn=2 (nN *),aSn是 bn的前 n 项和， Tn= (nN *) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j bS(1)求 Tn的通项公式；(2)当 d0 时，求 Tn 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j li参考答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco ，)1(21,)(C2 nanann )(li)(li21nn答案 头htp:/w.xjkygcom126t12
14、6.hp:/wxjkygco A2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 62 2 , cacaa或得答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco C二、3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco xxxlim)(li.211li3xx答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp
15、:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 原式= 12)(lim1)(li 222 nbaanban402b ab=8答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 85 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)由 an+1 an是公比为 的等比数列，且 a1= ,a2=102153,03 an+1 an=(a2 a1)( )n-1=( )( )n-1=1003512,)2(4 an+1= an+ 1012又由数列lg( an+1 an)是公差为
16、1 的等差数列，且首项 lg(a2 a1)=lg( )=2,0325其通项 lg(an+1 an)=2+( n1)(1)=( n+1), an+1 an=10( n+1),即 an+1= an+10( n+1) 22联立解得 an= ( )n+1( )n+1510(2)Sn= 2111kkk 910)6(25limn6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由于 =1，可知， f(2a)=0 axf)(li同理 f(4a)=0 由可知 f(x)必含有( x2 a)与( x4 a)的因式，由于 f(x)是
17、x 的三次多项式，故可设 f(x)=A(x2 a)(x4 a)(x C),这里 A、 C 均为待定的常数， ,1)(4lim2)()(lim,12)(li 22 xaaxaxf axax即由,即 4a2A2 aCA=1 1)2(4(CaA得同理，由于 =1,得 A(4a2 a)(4a C)=1,即 8a2A2 aCA=1 xfalim4由得 C=3a,A= ,因而 f(x)= (x2 a)(x4 a)(x3 a),2 21)1)41li3)(li axfaxa 11111 11111 )()()()( )()():.7 nnnnn nnn qpbqapbqaqbpS解由数列 an、 bn都是由
18、正数组成的等比数列，知 p0, q0.01)(0 1)(1)()()(1lim )1()1()()(lili11 111pqa pqbpqabqapqpbqabqaSp nnn nnnnn 时当当 p1 时, q1, 0limlililim11nnnn q1linS8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)an=(n1) d,bn=2 =2(n1) daSn=b1+b2+b3+bn=20+2d+22d+2(n1) d由 d0,2 d1, Sn= d1)( Tn= nddnb22)()1(1(2)当 d0 时，2 d1 12012)(lim)2()(1limlili)1(dddnn ndndndnT
