1、高中数学竞赛专题讲座（解析几何）一、基础知识1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0b0)，12byax参数方程为 （ 为参数） 。sincoyax若焦点在 y 轴上，列标准方程为(ab0)。12ba3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆，2yxa 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦
2、点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 ，cax2与右焦点对应的准线为 ；定义中的比 e 称为离心率，且 ，由 c2+b2=a2 知cax2ae0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若2byaxP(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5几个常用结论：1）过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为；20byax2）斜率为 k 的切线方程为 ；2bkaxy3）过焦点 F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为。2cosabl6双曲线的定义，第一定义：满足|PF 1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P 的轨迹；第二定义：到定点的距离
3、与到定直线距离之比为常数 e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线方程为，2byax参数方程为 （ 为参数） 。tansecyx焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为。12bxa8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(a, b0),2yxa 称半实轴长，b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为 离心率 ，由.,22caxacea2+b2=c2 知 e1。两条渐近线方程为 ，双曲线 与 有相xaky12by12by同的渐近线，它们
4、的四个焦点在同一个圆上。若 a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 ，F 1（-c,0）, F2(c, 0)是它2y的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P 在右支上，则|PF 1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF 1|=-ex-a，|PF 2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是 。cosab10抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线
5、段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点 F 坐标为 ，准线方程为 ，标准方程为 y2=2px(p0)，离心率 e=1.)0,2(p2px11抛物线常用结论：若 P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|= ；2）过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为 的弦长为 。2cos1p12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为 O，从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点 P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点 P 的位置， （，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离
6、与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P，若01，则点 P 的轨迹为双曲线的一支；若 e=1，则点 P 的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 。cos1p二、方法与例题1与定义有关的问题。例 1 已知定点 A（2，1） ，F 是椭圆 的左焦点，点 P 为椭圆上的动点，当1625yx3|PA|+5|PF|取最小值时，求点 P 的坐标。解 见图 11-1，由题设 a=5, b=4, c= =3, .椭圆左准线的方程为2453ace，又因为 ，所以点 A 在椭圆内部，又点 F 坐标为（-3，0） ，过 P 作325x164PQ 垂直于左准线，垂足为 Q。由定义知 ，则 |PF|=|PQ|
7、。53|ePF所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ |PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM 左准线于 M)。35所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把 y=1 代入椭圆方程得，又 xb 时，轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线；当 a0, b0)的右焦点 F 作 B1B2 轴，交双曲线于 B1，B 2 两点，12byax xB2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点，连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证：H 的横坐标为定值。证明 设点 B，H，F 的坐标分别为(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，则 F1
8、，B 1，B 2 的坐标分别为(-c, 0), (c, ), (c, )，因为 F1，H 分别是直线 B2F，BB1 与 x 轴的交点，所以a22.cossini,cossin0baxbc所以 220ii)(ax222 sincosinsi )(cbb。)i)(i()i(i2 ba由得 ,sincossin0xcba代入上式得 ,)sin(i2020bcxac即 （定值） 。cx2注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例 7 设抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在准线上，且 BC/x 轴。证明：直线 AC 经过定点。证明 设
9、 ，则 ，焦点为 ，所以21,ypBA2,ypC0,2pF， ， ， 。由于),2(1ypOA2,C),(11FA2,yB，所以 y2- y1=0，即 =0。因为FB/12pyp2)(11py，所以 。所以 ，即 。21y0210121 0121y所以 ，即直线 AC 经过原点。OCA/例 8 椭圆 上有两点 A，B，满足 OA OB，O 为原点，求证：12byax为定值。22|1|BA证明 设|OA|=r 1,|OB|=r2,且xOA=,xOB= ，则点 A，B 的坐标分别为2A(r1cos, r 1sin),B(-r 2sin,r 2cos)。由 A，B 在椭圆上有.1cossin,sin
10、co222 brarba 即 221ir.cossin222ba+得 （定值） 。2221|1aOBA4最值问题。例 9 设 A，B 是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点，且 OA OB（O 为原点） ，求|AB|的最大值与最小值。解 由题设 a=1，b= ,记|OA|=r 1,|OB|=r2, ，参考例 8 可得 =4。设3tr1 21rm=|AB|2= ,)(4)(41221221 trrr 因为 ，且 a2b2，所以 ，所以22221 sinsincobabar 212brbr 1a，同理 br 2a.所以 。又函数 f(x)=x+ 在 上单调递减，在tx1,2上单调递增，所以当 t=
11、1 即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值 1；当 或 时，2,ba abt|AB|取最大值 。3例 10 设一椭圆中心为原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，若圆 C： 12322)3(yx上点与这椭圆上点的最大距离为 ，试求这个椭圆的方程。71解 设 A，B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为 ，半径|CA|=1，因23,0为|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当 A，B，C 共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值 ，所以|BC|最大值为71.7因为 ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t, ,t，椭圆方程为23e t3，并设点 B 坐标为
12、B(2tcos,tsin)，则|BC| 2=(2tcos)142tyx2+ =3t2sin2-3tsin+ +4t2=-3(tsin+ )2+3+4t2.3sint 491若 ，则当 sin=-1 时，|BC| 2取最大值 t2+3t+ ，与题设不符。1t 749若 t ,则当 sin= 时，|BC| 2取最大值 3+4t2，由 3+4t2=7 得 t=1.21t1所以椭圆方程为 。42yx例 11 在平面直角坐标系 上，给定抛物线 ： ，实数 、 满足 ，OL241xypq042， 是方程 的两根，记 。1x202qpx|,|ma,21qp 过点 作 的切线交 轴于点 。证明：对线段 上的任
13、一点41,020AyBAB，有 ；qpQ, |,p 设 是定点，其中 、 满足 ， ，过 作 的两条切线baMab042abaM,L， ，切点分别为 ， ， 、 与 轴分别交于 、 ，线1l2 214,pE2,p1l2yF段 上异于两端点的点集记为 。证明：EFX；2|,|, 121baXba 设 ，当点 取遍 时，求 的最45,|,xyyxDqp,Dqp,小值（记为 ）和最大值（记为 ） 。minmax解： 证明：由已知知点 在 上，过点 的 的切线的斜率为ALL20y直线 的方程为：AB2002041412pxpxpy设点 1,0y 24p 为线段 上的任一点qQ,AB 2001方程 ，即
14、方程 的两根2qpx 0412202ppx224102002,1 pppx |,|max, 0q 为线段 上的任一点pQ,AB当 时，100p 当 时2 2,max|2|,|max, 000pqp此时 20p |,0qp当 时00 2,max|2|,|max, 00ppqp此时 200 |,pqp当 时，00 当 时2 2,max|,|max, 000ppqp此时 200 |,0pqp当 时20 2,max|2|,|max, 00ppqp此时 200 |,0pqp综上所述，对线段 上的任一点 ，有 。ABqpQ,2|,0p 证明：由已知有直线 的方程为：1l 2114xy由已知有直线 的方程为
15、：2 22p 114pab2解得 1当 时，01p |20, 212111 ppppaXbaM 由“”有： |,1ba当 时，201p |020, 212111 pppaXba 由“”有： |,1baM综上所述， | 12p 当 时，设过点 的 的切线的斜率为 ，其中 为切点处的横坐Dqp,q,L23py3标该切线方程为： 23341pxy 为该切线上的点qp, qpqppq 4042412 233233 51,|, 2xyyxD pqppq4045122q02当 时，1p43252223 p即 53p当 时，2q423p又 2522p 23p综上所述， 53又由“”有： 2|,3pq 0mi
16、n45ax5直线与二次曲线。例 12 若抛物线 y=ax2-1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点，试求 a 的取值范围。解 抛物线 y=ax2-1 的顶点为(0,-1)，对称轴为 y 轴，存在关于直线 x+y=0 对称两点的条件是存在一对点 P(x1,y1)， (-y1,-x1)，满足 y1=a 且-x 1=a(-y1)2-1，相减得P2xx1+y1=a( ),因为 P 不在直线 x+y=0 上，所以 x1+y10,所以 1=a(x1-y1)，即 x1=y1+2y.1a所以 此方程有不等实根，所以 ，求得 ，.0121ay 0)1(4a43a即为所求。例 13，已知抛物线 的准线与
17、轴交于 点，过 点作直线与抛物线交于24xM两点，若 的垂直平分线与 轴交于 ，问 能否是直角三角形？,AB0(,)ExABE若能，求 的值，若不能，请说明理由0x解：1）由题知，M（-1 ，0） ，因为直线 AB 的斜率存在，故可设 AB 方程为：，AB 的中点 ，由(),ykx12(,)(,)AxyB),(yxN2(1)4kx所以 ，222(4)0,k24()01k2124k，所以 AB 的垂直平分线方程为： 令yx,2 2()yxkk得0y如果三角形 ABE 为直角三角形，因 EA=EB，所以角 AEB 为直角，且 |ENAB，2 422 21 42()1|()kkABkx2 20 02
18、2| 1| , ,53| |EMkxk所以当 时，三角形 ABE 为直角三角形.05x例 14.设直线 过点 P（0，3） ，和椭圆 顺次交于 A、B 两点，试求 的l xy2941APB取值范围.解 1：当直线 垂直于 x 轴时，可求得 ;l 5PBA当 与 x 轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭l )(,21yx， l3kxy圆方程，消去 得y 045492kk解之得 .4956272,1kx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 的情形.0k当 时， ， ，0k21kx 4956272x所以 = = = .21xPBA5925218k25918k由 , 解
19、得 ，048)54(2k9所以 ，51912综上 .51PBA解 2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得l3kxyy（*）045492则 .495,21kx令 ，则，21 .20341k在（*）中，由判别式 可得 ，,95从而有 ，362045k所以 ，1解得 .5结合 得 . 10综上， .PBA例 15 已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当12:xyCl0,2Ak时，双曲线的上支上有且仅有一点 B 到直线 的距离为 ，试求 的值及此时10k l点 B 的坐标。解：设点 为双曲线 C 上支上任一点，则点 M 到直线 的距离为：)2,(xM l212k10k于是，问题即可转化为如
20、上关于 的方程.x由于 ，所以 ，从而有10kk2 .2kxx 于是关于 的方程x)1(22kxk0)1( ,(2 2kxkx .2)( ,02)1(2)1(2kxk kkxx由 可知：10方程 的二根同正， 02)1(2)1(22 kkxx故 恒成立，于是 等价于0)(2kk.)()(21 222kkxx由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .05点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例 16 已知椭圆 C: 和点 P（4，1） ，过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点，xy28在线段 AB 上取点 Q，使 ，求动点 Q 的轨迹所在曲
21、线的方程.APB解：设 ，则由 可得： ，),(,21yxyx， BAPxx21214解之得： （1）)(8421设直线 AB 的方程为： ，代入椭圆 C 的方程，消去 得出关于 x 的一4xky y元二次方程：（2）08)1(2)(1222 kk .128)4(,122kx代入（1） ，化简得： (3).3与 联立，消去 得：)4(xkyk.0)4(2xy在（2）中，由 ，解得 ，结合0462 410212k（3）可求得 .919106x故知点 Q 的轨迹方程为： （ ）.042y9102691026x例 17.（1991 年高考）双曲线的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，过双曲线右焦点
22、且斜率为 的直线交双曲线于 P、Q 两点若 OPOQ， |PQ|=4，求双曲线的方程53本小题考查双曲线性质，两点距离公式，两直线垂直条件，代数二次方程等基本知识，以及综合分析能力满分12分解法一：设双曲线的方程为 =12byax依题意知，点P ，Q 的坐标满足方程组22531bacxyba其 中将式代入式，整理得(5b23a 2)x2+6a2cx(3a 2c2+5a2b2)=0 3分设方程的两个根为x 1，x 2，若5b 23a 2=0，则 = ，即直线 与双曲线的两ab53条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b23a 20根据根与系数的关系，有221356a
23、bcx 6分221由于P、Q在直线y= (xc)上，可记为53P (x1， (x1c)，Q (x2， (x2c)由OPOQ 得 =1，1)(53xc2)(xc整理得3c(x 1+x2)8x 1x23c 2=0 将，式及c 2=a2+b2代入 式，并整理得3a4+8a2b23b 4=0，(a2+3b2)(3a2b 2)=0因为 a2+3b20，解得b 2=3a2，所以 c= =2a 8分由|PQ|=4，得(x 2x 1)2= (x2c) (x1c) 2=4253整理得(x 1+x2)24x 1x210=0 将，式及b 2=3a2，c=2a代入式，解得a 2=1 10分将a 2 =1代入b 2=3
24、a2 得 b2=3故所求双曲线方程为x 2 =1 123y分解法二：式以上同解法一 4分解方程得x 1= ，x 2= 6分23540abc23540abc由于P、Q在直线y= (xc)上，可记为P (x1， (x1c) ，Q (x2， (x2c)53由OPOQ ，得 x1 x2 (x1c) (x2c)=0 53将式及c 2=a2b2代入式并整理得 3a4+8a2b23b 4=0，即 (a2+3b2)(3a2b 2)=0因a 2+3b20，解得b 2=3a2 8分由|PQ|=4，得(x 2x 1)2+ (x2c) (x1c) 2=4253即 (x2x 1)2=10 将式代入式并整理得(5b23a
25、 2)216a 2b4=0 10分将b 2=3a2代入上式，得a 2=1，将a 2=1代入 b2=3a2得b 2=3故所求双曲线方程为x2 =1 12 分3y例 18.已知双曲线 ： （ ， ）的离心率为 2，过点C21xyab0ab（ ）斜率为 1 的直线 交双曲线 于 、 两点，且 ，(0)Pm， lCAB3APB3OAB（1）求双曲线方程；（2）设 为双曲线 右支上动点， 为双曲线 的右焦点，在 轴负半轴QCFCx上是否存在定点 使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存M2QMM在，请说明理由（1）由双曲线离心率为 2 知， ， ，双曲线方程化为ca3b23xya又直线 方程为 由 ，得l
26、yxm213xya 220设 ， ，则 ， 1()Axy， 2()Bxy， 12x213max因为 ，所以 ， 3P112()3()my， ， 12x结合 ，解得 ， 代入 ，得12x12x2123a，化简得 又2334ma6a121222()()3OABxyxmxa ，且 3AB所以 此时， ，代入，整理得 ，显然该方21a6m2690x程有两个不同的实根 符合要求21a故双曲线 的方程为 C23yx（2）假设点 存在，设 由（1 ）知，双曲线右焦点M(0)t，为 设 （ ）为双曲线 右支上一点(20)F， 0()Qxy， 01C当 时， ， ，因00tan2QFyMkx0tanQMyFkx
27、t为 ，所以 2QF00201()ytyxx将 代入，并整理得， 203yx2 220043txt于是 ，解得 24t1t当 时， ，而 时， ，符合0x09QFMt 045QMF2F所以 符合要求满足条件的点 存在，其坐标为 1t (10)，例 19. 如图，直角梯形 ABCD 中DAB90，ADBC，AB 2，AD ，BC 椭圆 C32 12以 A、B 为焦点且经过点 D 建立适当坐标系，求椭圆 C 的方程； 若点 E 满足 ，问是否存在不平行 AB 的直线 l EC 12 AB与椭圆 C 交于 M、N 两点且 ，若存在，|NE求出直线 l 与 AB 夹角的范围，若不存在，说明理由解：（1
28、）如图，以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中垂线为 y 轴建立直角坐标系， A（1，0） ，B（1，0 ）设椭圆方程为： 1x2a2 y2b2令 cbyCx2332baa 椭圆 C 的方程是： 14yx（2 ） E(0, )，l AB 时不符，设 l：ykxm（k 0） EC 12 AB 12由 , M、N 存在01248)3(42xkyxmk2064() 23k设 M( ， )，N( ， )，MN 的中点 F( ， )1x2y0y ，221043kmx2043kmxy24311| 20 kkEFMNE 22)43(4kk432k0 且 ， l 与 AB 的夹角的范围是 ， 10(4三、基础
29、训练题1A 为半径是 R 的定圆O 上一定点，B 为O 上任一点，点 P 是 A 关于 B 的对称点，则点P 的轨迹是_.2一动点到两相交直线的距离的平方和为定值 m2(0)，则动点的轨迹是_.3椭圆 上有一点 P，它到左准线的距离是 10，它到右焦点的距离是13602yx_.4双曲线方程 ，则 k 的取值范围是_.52|ykx5椭圆 ，焦点为 F1，F 2，椭圆上的点 P 满足F 1PF2=600，则 F 1PF2的面积64102是_.6直线 l 被双曲线 所截的线段 MN 恰被点 A（3，-1）平分，则 l 的方程为2yx_.7ABC 的三个顶点都在抛物线 y2=32x 上，点 A（2，8
30、） ，且 ABC 的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线 BC 的斜率为_.8已知双曲线的两条渐近线方程为 3x-4y-2=0 和 3x+4y-10=0，一条准线方程为 5y+4=0，则双曲线方程为_.9已知曲线 y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为 450，那么 a=_.10.P 为等轴双曲线 x2-y2=a2上一点， 的取值范围是_.|21POF11已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点 F1，F 2，设 P 是它们的一个121byax12byax焦点，求F 1PF2和 PF 1F2的面积。12已知（i）半圆的直径 AB 长为 2r；（ii）
31、半圆外的直线 l 与 BA 的延长线垂直，垂足为 T，设|AT|=2a(2a1)的一个顶点 C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形 ABC，这样的三角形最多可作_个.11求椭圆 上任一点的两条焦半径夹角 的正弦的最大值。12ba12设 F，O 分别为椭圆 的左焦点和中心，对于过点 F 的椭圆的任意弦 AB，12byax点 O 都在以 AB 为直径的圆内，求椭圆离心率 e 的取值范围。13已知双曲线 C1： (a0)，抛物线 C2的顶点在原点 O，C 2的焦点是 C1的左2yx焦点 F1。（1）求证：C 1，C 2总有两个不同的交点。（2）问：是否存在过 C2的焦点 F1的弦 AB，
32、使 AOB 的面积有最大值或最小值？若存在，求直线 AB 的方程与 SAOB 的最值，若不存在，说明理由。五、联赛一试水平训练题1在平面直角坐标系中，若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则 m 的取值范围是_.2设 O 为抛物线的顶点，F 为焦点，且 PQ 为过 F 的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，OPQ 面积为_.3给定椭圆 ，如果存在过左焦点 F 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 OP OQ，12byax 则离心率 e 的取值范围是_.4设 F1，F 2分别是双曲线 (ab0)的左、右焦点，P 为双曲线上的动点，过2yxF1作F 1PF2平分线的垂
33、线，垂足为 M，则 M 的轨迹为_.5ABC 一边的两顶点坐标为 B（0， ）和 C（0， ） ，另两边斜率的乘积为 ，221若点 T 坐标为(t,0)(tR +),则|AT|的最小值为_.6长为 l(l0),P(x,y)为轨迹上任一点，则。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2).2221| mkyxkyx当 k1 时，表示椭圆；当 k=1 时，表示圆。312由题设 a=10,b=6,c=8，从而 P 到左焦点距离为 10e=10 =8,所以 P 到右焦点的108距离为 20-8=12。4-25 或-2m,所以11m0)，CA 的直线方程为 y=kx+1，代入椭圆方程为(a 2k2+1)
34、x2+2a2kx=0，得 x=0 或，于是 ，|CA|=12kax)0,12(kaA.12a由题设，同理可得|CB|= ,利用|CA|=|CB|可得2(k-1)k2-(a2-1)k+1=0,解得 k=1 或 k2-(a2-1)k+1=0。对于，当 1 时，有两个不等实根，33a3故最多有 3 个。11解 设焦点为 F1，F 2，椭圆上任一点为 P(x0,y0),F 1PF2=,根据余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos,又|PF 1|+|PF2|=2a，则 4c2=(2a)2-2|PF1|PF2|(1+cos),再将|PF 1|=a+ex0，|PF 2
35、|=a-ex0及 a2=b2+c2代入得 4b2=2(a2-e2 )(1+cos).0x于是有 .cos20eb由 0 ，得 ，所以 。因 0，2ax202ax1cos2ab所以 cos 为减函数，故 0 .rcos2当 2b2a2即 时， ，arccos ，sin 为增ba2a 2,0,2ab函数，sin 取最大值 ；当 2b2a 2时，arccos22rcosincb,0,，则 sin 最大值为 1。22ab12解 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，若 AB 斜率不为 0，设为 k，直线 AB 方程为 y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简得(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2
36、 (k2c2-b2)=0. 则 x1,x2为方程的两根，由韦达定理得,2ab.)(221kcx因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由，得 .221bkay所以 =x1x2+y1y2= ,O 点在以 AB 为直径的圆内，等价OBA 24)(bkac0，所以方程必有两个不同实根，设为 x1,x2,由韦达定理得 x1x2=-a20，设 y1,y2分别为 A，B 的纵坐标，则 y1+y2= ,y1y2=-ma312a2.所以(y 1-y2)2=48a2(m2+1).所以 SAOB = |y1-y2|OF1|= a a34，当且仅当 m=0 时，S AOB 的面积取最小值；当 m+时，226
37、6amaSAOB +，无最大值。所以存在过 F 的直线 x= 使 AOB 面积有最小值 6a2.a3联赛一试水平训练题1m5.由已知得 ，说明(x,y)到定点（0,-1）与到定直线 x-2y+3=0myx5)2(1322的距离比为常数 ，由椭圆定义 5.552. 因为 b=|PQ|=|PF|+|QF|= ,所以 。.ab 2sin4)cos(12s2aaba2si所以 SOPQ = absin= .21ba3. 。设点 P 坐标为(r 1cos,r 1sin),点 Q 坐标为(-r 2sin,r 2cos)，因为1,25P，Q 在椭圆上，可得 ，RtOPQ 斜边上的高为221bar|OF|=c
38、. 所以 a2b2c 2(a2+b2)，解得 e1 时|AT| min=|t-2|.由题设 kABkAC=- ,设 A(x,y)，则t1(x0)，整理得 =1(x0)，所以|AT| 2=(x-t)2+y2=(x-t)2+2xy24yx(x-2t)2+2-t2.因为|x|2,所以当 t(0,1时取 x=2t,|AT|取最小值12。当 t1 时，取 x=2，|AT|取最小值|t-2|.t6. 设点 M(x0,y0) ，直线 AB 倾斜角为 ，并设 A(x0- ), .42l sin21,cos0yxB(x0+ ),因为 A，B 在抛物线上，所以sin21,cos0y,)co(i2xyss00由，得
39、 2x 0cos=sin. 所以 .41)coss1(4sin21)co( 220 lxy因为 l21，所以函数 f(x)= .在（0，1在递减，xl所以 。当 cos=1 即 l 平行于 x 轴时，距离取最小值41)(4220ly .42l7 设 ，由 A，M，M 1共线得 y1=.,bpa 221210 , ypypMy，同理 B，M，M 2共线得 ，设(x,y)是直线 M1M2上的点，则bypa02bypa02y1y2=y(y1+y2)-2px，将以上三式中消去 y1,y2得y02(2px-by)+y02pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0.当 x=a,y= 时上式恒成立，即定点为
40、bpa.,bpa8 。由题设 且 a2+2b215，解得 5b 26.63142b所以 a+b (t=b2-41,2)，而2ttb 4tt，又 t2 可)(326436436 tttt得上式成立。9 解 设 A(2cos, ), B(2cos, sin),C(2cos, sin) ，这里 ，则sin过 A，B 的直线为 lAB： ，由于直线 AB 过点yxsin3)co2()cs(o2i3F1(-1,0)， 代入有 (sin-sin)(1+2cos)=2 sin(cos -cos)，即 2sin(-)=sin-sin=2 ,故 2sincs 2cos32coscs2，即 。又 lBD: 0i2snta3ttan)(1(inxy(x+2)= ，同理得 。l CE: (x-2)=)2(ta3x32tan)1(cos2i3y(x-2).2tan32tan)(x两直线方程联立，得 P 点坐标为 ，消去 得点 P(x,y)在12tan36,12tan22tan椭圆 上（除去点(-2,0),(2,0)）.1274yx
