1、此题用到一个公式：xn-1=(x-1)x(n-1)+x(n-2)+x+1x6-1=x-1x5+x4+x3+x2+x+1所以:x5+x4+x3+x2+x+1=x6-1/x-1即：原式x6-12/x-12-x5x-12/x-12（分子分母同乘（x-1)2 )=x12-2x6+1-x7+2x6-x5/x-12(分子把括号展开）=x12-x7-x5+1/x-12（分子合并）=x7-1x5-1/x-12(分子因式分解）=x-1x6+x5+x4+x3+x2+x+1x-1x4+x3+x2+x+1/x-12(分子分母同约去x-12)=x6+x5+x4+x3+x2+x+1x4+x3+x2+x+1六、單十字交乘通
2、常用於某個特定文字的2次三項式、4次三項式。原理：在展開(x+a)(x+b)時，我們得到 x2+ax+bx+ab，經合併得x2+(a+b)x+ab。我們可說：展開後的 x 項係數為原先常數項的和，展開後的常數項為原先常數項的積。可寫成直式：需注意以下幾件事：1.嘗試錯誤（Try And Error）：此方法就是用湊的，故若遇到很大的數字，可要有耐心。2.一次動一邊：若 x2項之係數並非1，把握一個原則：先動常數部分，若不行，在動 x 部分。3.小心正、負號別抄錯Ex1.（基礎版）10x2-16x-26解：先提出2，就變成了2(5x2-8x-13)，再利用十字交乘可得(5x2-8x-13)=(x
3、+1)(5x-13)A：10x2-16x-26=2(x+1)(5x-13)Ex2.（複雜版）(xy+1)(x+1)(y+1)+xy解：千萬不要全部乘開！這題只需要半拆括號，把(x+1)(y+1) 變成(xy+x+y+1)，則題目就會變成(xy+1)(xy+x+y+1)+xy ，接著再把相同的東西(xy+1)提出，用十字，搞定。(xy+1)(x+1)(y+1)+xy=(xy+1)(xy+x+y+1)+xy=(xy+1)(xy+1)+( x+y)+xy （用分配律展開）=(xy+1)2+(x+y)(xy+1)+xy （詳見直式算法）=(xy+x+1)(xy+y+1)A：(xy+1)(x+1)(y+
4、1)+xy=(xy+x+1)(xy+y+1)七、雙十字交乘應用於三項乘以三項，可說是單十字交乘的進階版。Ex. 分解 2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2解：如果你要用拆（補）項來對付這一題，那可真是辛苦你了，這題事實上有更快的方法。如下圖，可將 2x2-7xy+3y2（藍色線）看成一個小十字，3y2-5yz+2z2（紅色線）看成另一個小十字，而最大的十字 2x2+5xz+2z2（綠色虛線）是用來檢查的。 （說穿了，十字交乘就是要用湊的！）A：2x2-7xy+3y2+5xz-5yz+2z2=(x-3y+2z)(2x-y+z)（終極武器）如果你懶的動腦，或是在時間緊迫之下，無法找到有效
5、的方法。那麼，最後2招終極武器，你可得牢記了。八、勘根(試除法、一次因式檢驗法)適用於單一文字的高次多項式，若在考試沒有時間、無法拆（補）項、無法分組時就相當實用（需配合因式定理與綜合除法） 。陽春型原理：將 x3+ax2+bx+c 分解，可假設它有一次因式乘上二次因式(x+p)(x2+rx+q)，則經由比較係數可發現：c=pq，也就是說：c 可被p 整除。Ex. 分解 x3-5x+4解：令 x3-5x+4=(x+p)(Q)，我們知道4的因數有1、2、4，可配合因式定理將6個因數分別帶入，會發現+1即是我們要的答案：(x+p)= (x-1)。 （因配合綜合除法，故如果帶入1則因式為 x-1）
6、，接著再利用綜合除法 （或長除法）求出二次因式，但要注意：若二次因式仍能用十字交乘分解，就一定要分完，否則可就是全錯了！A：x3-5x+4=(x-1)(x2+x-4)複雜型原理：欲將 ax3+bx2+cx+d 分解，假設它有因式(px+q) 乘上(rx2+sx+t)， 【假如你的眼睛不夠 奸詐狡猾（眼睛不夠尖）或許會覺得：陽春型和複雜型有啥差別阿？讓俺告訴你：這裡的 x3的係數已經不是1了！】 經由比較係數可發現：a=pr（a 可被 p 整除） ，d=qt （d 可被 q整除） 。Ex. 分解 4x3-13x-6解：令4x3-13x-6 為(px+q)(Q) ，已知 p 為4的因數， q 為6
7、的因數，則(px+q)可能為： (x1)、(x2)、(x3)、(x6) 、 (2x1)、(2x3)、(4x1)、(4x3)【由於(2x2) 和(x1) 相同，故不需再做多餘的嘗試，其他省略部分原因皆同】 ，接著用因式定理將以上16組答案套進去找出正確的（沒錯！就是要一個一個找，通常考試不會讓你試到第16個才找到，如果真的很不幸要到最後一個才正確，只能祝你眼睛不要落鏈） ，經過多次嘗試錯誤（事實上才3次）發現(x-2)即是我們要的答案。 （要小心！此題的二次因式還可再用十字交乘分解！）A：4x3-13x-6=(x-2)(2x+1)(2x+3)九、待定係數法通常適用於4次多項式（若你發現第8招的勘
8、根無法對付，那可能是因為你所要分解的題目無含有一次因式） 。原理：若要分解一4次多項式，又找不到它的一次因式，則他應為兩個2次因式相乘。 （注意！題目通常只會有陽春型，因複雜型真的超複雜！）Ex. 分解 x4+x3+3x2+x+6解：經過一番辛苦的嘗試，發現此題無法用勘根來解，所以我令x4+x3+3x2+x+6有2 次因式(x2+ax+b) 和(x2+cx+d)，經由比較係數可發現：接著，就是要解聯立方程式了！我建議先湊出 b 和 d（第1式） ，再帶入第3式求出 a 和 c（可用第 2式來做檢驗） ，最後的1式用來做總檢查，看你有沒有完全湊對。A：x4+x3+3x2+x+6=(x2-x+2) (x2+2x+3)
