1、12.4 二次函数典例精析题型一 求二次函数的解析式【例 1】已知二次函数 yf(x)的图象的对称轴方程为 x2，在 y 轴上的截距为 1，在 x轴上截得的线段长为 2 ，求 f(x)的解析式.2【解析】设 f(x)ax2bxc (a0)，由已知有解得 a ，b2，c1，所以 f(x) x22x1.12 12【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与 x 轴相交，则两点间的距离为|x1x2| .b2 4ac|a|【变式训练 1】已知二次函数 yx2bxc 的图象过点 A(c,0)，且关于直线 x2 对称，则这个二次函数的解析式是 .【解析】
2、由已知 xc 为它的一个根，故另一根为 1.所以 1bc0，又 2b 4，所以 c3.b2所以 f(x)x24x3.题型二 二次函数的最值【例 2】已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)2x 的解集为(1,3).(1)若方程 f(x)6a0 有两个相等实根，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围.【解析】(1)因为 f(x)2x0 的解集为(1,3).所以 f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由 f(x)6a0ax2(24a )x9a0，由知，(24a)24a9a05a24a10，所以 a1 或 a .15因为 a0，
3、所以 a ，代入得 f(x) x2 x .15 15 65 35(2)由于 f(x)ax22(12a)x3aa(x )2 ，1 2aa a2 4a 1a又 a0，可得f(x)max .a2 4a 1a由 ,0142a2 或2 a0.3 3【点拨】(1)利用 0；(2)利用配 方法.【变式训练 2】已知二次函数 yx22x3 在区间0，m上有最大值 3 和最小值 2，则 m2的取值范围是 .【解析】1,2.题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用【例 3】设函数 f(x)ax2bx c (a0)，x1x2，f(x1)f(x2)，对于方程 f(x) 12f(x1)f(x2)，求证：(1)方程在区
4、间(x1，x2)内必有一解；(2)设方程在区间(x1，x2)内的根为 m，若 x1，m ，x2 成等差数列，则 m2.12 b2a【证明】(1)令 g(x)f(x) f(x1)f(x2)，12则 g(x1)g(x2) f(x1)f(x2) f(x2)f(x1) f(x1)f(x2)20，12 12 14所以方程 g(x)0 在区间(x1 ，x2)内必有一解.(2)依题意 2m1x1x2，即 2mx1x21，又 f(m) f(x1)f(x2)，即 2(am2bmc) ax bx1cax bx2c.12 21 2整理得 a(2m2x x )b(2mx1x2)0，21 2a(2m2x x )b0，2
5、1 2所以 m2 m2.b2a x21 x22【点拨】二次方程 ax2bxc0 的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：判别式；区间端点对应二次函数的函数值的正负；相应二次函数的对称轴 x与区间的位置关系.b2a【变式训练 3】已知 f(x)(xa)(xb)2(ab)， 是 f(x)0 的两根()，则实数 ，a，b 大小关系为( )A.ab B.abC.a bD.ab【解析】A.总结提高1.二次函数的表达式有多种形式，形式的选择要依据题目的 已知条件和所求结论的特征而定.2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素： 开口方向； 对称轴；与坐标轴的交点.3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和 不等式问题.
