1、 雅可比迭代法和赛德尔迭代法解线性方程组1、题目：分别用雅可比迭代法和赛德尔迭代法求解线性方程组 =Axb，其中8115,b=6,47取初始向量 (0),Tx，精确到 -30。2、基本原理:1、雅可比迭代法基本原理将矩阵分解为，其中 12311 21 22 -1,212100, ,00nnn aaaaDLUa 则式 =Axb可记为 =DUxb，变形可得 =+DxLb， D可逆120na时，有11+xLx于是得到迭代的过程为=xBf式中， 11D,BLUfb，即=1+,2niiijxbaxn2、赛德尔迭代法基本原理赛德尔迭代法是对雅可比迭代法的一种改进，雅可比迭代法是在每一步计算 +1kx的各个
2、分量时均只用到 kx中的分量。实际上，在计算 +1ki时，分量 +1-,kiix 都已经计算出来而没有被直接利用，因此可以考虑以 +1-kii 来代替 1-1,kkix 计算。即-1+=+1/,=2,inkkkijijiijxaxxban矩阵形式为 +1LUkkkD，可得1+1kkxLUxb，于是赛德尔迭代法的矩阵形式为+1=kGxf式中， 1,DL。3、程序1、雅可比迭代Fjacobi.mfunction x,k=Fjacobi(A,b,x0,eps)D=diag(diag(A);%提取对角矩阵L=-tril(A,-1);%提取下三角矩 阵U=-triu(A,1);%提取上三角矩阵B=D(L
3、+U);f=Db;x=B*x0+f;%雅可比迭代格式k=1;while norm(x-x0)=epsx0=x;x=B*x0+f;k=k+1;Endjacobi.mA=-8,1,1;1,-5,1;1,1,-4;b=1,16,7;x0=0,0,0;x,k=Fjacobi(A,b,x0,0.001)2、赛德尔迭代Fgseid.mfunctionx,k=Fgseid(A,b,x0,eps)D=diag(diag(A);%提取对角矩阵L=-tril(A,-1);%提取下三角矩 阵U=-triu(A,1);%提取上三角矩阵G=(D-L)U;f=(D-L)b;x=G*x0+f;%赛德尔迭代格式k=1;whi
4、le norm(x-x0)=epsx0=x;x=G*x0+f;k=k+1;Endgseid.ma=-8,1,1;1,-5,1;1,1,-4;b=1,16,7;x0=0,0,0;x,k=Fgseid(a,b,x0,0.001)4、结果分析1、雅可比迭代x =-0.9999-3.9999-2.9998k =102、赛德尔迭代x =-0.9999-3.9999-3.0000k =63、精确解经过计算得到本题的精确解为： =-1,43Tx.4、结果分析1 -,43-0.9,-3.,2.98-1,43-0.9,-3.,.0T TT T，即赛德尔解出来的值更接近精确解；2 赛德尔的迭代次数 6 小于雅可比的迭代次数 10。综上可得，赛德尔迭代法优于雅可比迭代法。班级：应用数学 1001学号：101030101姓名：陈梦静
