1、 第八章拉格朗日动力学8.1 基本方程及其简单应用 基本方程理想约束的完整有势系统ddtL qLq=0 , =1, 2,sddtL qLq= Q , =1,2,s存在非有势力的理想约束的完整系统注:通常约束力不出现在动力学方程中;方程组的数目等于自由度数;每一个方程都是二阶常微分方程L=T-V 简单应用处理问题的基本步骤(套路固定):(1) 判断是否为理想约束的完整有势系统(2) 判断系统自由度并选择合适的广义坐标(3) 将L=T-V表示成只含广义坐标、广义速度和时间的函数*(4) 对于有势系统,将L代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程(5) 对于非有势系统,还通过定义要求出非有势力对应的广
2、义力,连同L一起代入拉格朗日方程得到系统的运动微分方程注:从处理问题角度来看,拉格朗日方法比较规范,不需要太多的技巧。不像牛顿方法对同一个问题的处理可以采用多种方案.题1 为m的 , 约束在 角为的 固定 运动, 通过拉格朗日方程, 出 的运动微分方程.: 为理想约束完整有势系. 运动自由度为2,可选,为广义坐标.v=eezez=z tan T=m2 2csc22 2V=mgz=mg cotL=TV=m2 2csc22 2mg cot示本 系Oxyz以 坐标,z代入拉格朗日方程得到 csc22g cot=0d2 dt =02 =const.题2 求 的 动方程. 为m的 在 , 一固定于O并在
3、xy 自由. 的自度为l ,currency1度系数为k.:理想约束完整有势系.自由度为2,选坐标,为广义坐标.T=m2 22 2,mgV=mg cosk2l2将L=T-V代“拉格朗日方程可得. 2 gsin=02g coskml=0角度 对于在角度fifl 的微 动, 方程可为.gl0=0, km =0, 中l0=lmgk , =l08.2 守恒定律 对称性与守恒量的关系定义对:力学系统在坐标”时间的的不。 为在 系统的拉格朗日函数不.: ,Lx, y , z , x , y ,z ,t=Lx , y , z , x , y , z ,t系统在x方的()不, 有对 ,等于 L/ x=0.定义
4、连:过程中系统的坐标”时间可以表示成 个 数连的 .: , qQ , Q0=q, t, 0=tlim0Q=Qlim0= 定理对于系统 应于连的对, 有一个系统的 对应.: 间对分 . 不对时间 ,时间 数 : QdQd t , Qlim0QQ0 , Qlim0Q Q0非是选 一套广义坐标 L=L(Q , Q ,t),L0=L(q , q ,t)对 系统的拉格朗日函数不,L()=L(0)0=lim0(LL0)qQ , Q0=q=LqQ L qQ拉格朗日方程 Lq= ddt L q ddt LqQ =0 L qQ =const. 对时间的,为 用 有的 ,可以时间看成 个想的 的函数: t=t()
5、S=t1t 2 Lq , q ,tdt=12 Lq, q,tt d t =dt/d, q=qt, d qd =d qdt t=qt q=1t d qd12 Lq,d qd ,t ,t ,d于是得到 一个的力学系统, 以 和t为广义坐标,的拉格朗日函数为 . qLt, 0=t 对时间的 , 的 路仍有效,可得Lt =const. lim00 中L=Lq, q,ttq= 1t d qd qt = 1t 2 d qd =qt Lt = Lqqt tLL Lqq=const.毕.定义广义动 p= L q定义广义坐标:qQ=q, qq推论力学系统 有 广义坐标的不,广义坐标 应的广义动 .:系统在 广义
6、坐标q的 保持不根据 定理有qQ=q LqQ =const.Qlim0QQ0 =1, Q=0因为 p= Lq=const. 毕.注:也可直接用拉格朗日方程 (可遗坐标、循环坐标)广义动 积分 广义动量和广义动量积分注:可 p=n mnvnrnq题3 自由 在重力场中运动, 分析 广义动 积分: Oxyz本 系,z轴竖直 。广义坐标可 x,y,z,L=m2 x2y2z2mgz由于L不含x和y,所以沿x和y 有不,故px= L x =m x=const. py=L y=m y=const. 选 球坐标(r, , ),L=m2 r2r2 2r2sin2 2mgrcos由于L不含,所以沿 有不,故两
7、分别表示 在x和y方的动 .p=L =mr2sin2 =const.表示对z轴角动 可以看到:(1) 广义动 积分存在 否和数 多少, 广义坐标的选 有,故选 适当的广义坐标可以找到较多的广义动 积分.(2) 广义坐标不同,对应的广义动 的物理 义也不同。x对应的广义动 x方的动 , 对应的广义动 为对 z轴的角动 .也可选择 种广义坐标, 对应的广义动 简单的物理 义.推论力学系统 有沿 间固定方不,系统沿 固定方的动 .:定 固定方单fl 为l,系统沿l穷 qQ系统 fl矢 rnq,t系统 fl矢rnQ ,t=rnq ,tl rnqQq=l rnqQ =l注 到 是 的函数rn= rnqq
8、rnt q, q,t只是 的函数q,t rn q=rnq, L qQ =const. 定理 n Lrnrn qQ =const.n LrnrnqQ =const. rnqQ =ln L rnl=const.L=n mn2 rn2V rn ,t Lrn=mn rn pl=n mn rnl=n mn rnl=const.沿l方的动 . ( 毕)推论力学系统 有绕 间固定轴的动不,系统对 固定轴的角动 .:设 固定轴对应单fl矢 l. 在轴 O为原 , 动 第n fl矢为rn定动限角度,广义坐标rnq,t用广义坐标表示为qQrnq,trnQ ,tfl矢lr(q,t)rnQ ,t=rnq ,tlrnq
9、,t rnqQq=lrnq ,t rnqQ =lrnq ,t L qQ =const. 定理 n Lrnrn qQ =const.n Lrnlrnq ,t=const. Ll=ln rnmn rn=const. 广义能量和广义能量积分定义广义 H= L qqL定义时间:t=t推论力学系统 有时间不,系统广义 .L Lq q=const.lim00 =1 :在时间定理H = LqqL=const. ( 毕)广义 积分注:也可直接用拉格朗日方程 dH/dt=-L/t, 得到论.问:广义 是否是牛顿力学中 系的机械呢?rnq,tvn=d rndt = rnqqrntT=12n mnvnvn=12n
10、mn rnqqrnt rnqqrnt =12n mn rnqq rnqq2rnt rnqqrnt 2=12n mn rnqrnqq qn mnrnt rnqq12n mnrnt 2广义速度二次齐次 T2广义速度一次齐次 T1广义速度零次齐次 T0引理齐次函数欧拉定理:f(x,y,z)=nf(x,y,z),:令=x, =y, =z. 定义 两边同时对求偏导可得 f x f y f z=nn1 f 令=1可得 . f x x f y y fz z=n f定理系统广义 满足:H=T2-T0+V:L=T-V=T2+T1+T0-V T2qq=2T2一引理= T1 qq=T1 T0qq=0H = LqqL
11、=T2T0V( 毕)也是, 出T ,要看T是不是广义速度的二次齐次 。 T=T2,(T1=0,T0=0), 时H=T2+V=T+V,广义 等于系统的机械. 一般情况,广义 不是系统的机械.题4 2a 为m的匀 直杆AB,A 水 接触,在重力作用从竖直fl 自由释放倒.求杆落地瞬间的角速度.:由于重力和水 支持力在竖直 ,由对可 杆一直在竖直 运动.ABNmgC自由度为2,受理想约束的完整系.示本 系Oxyz.选A在x轴 的坐标x以 杆 x轴夹角为广义坐标.O xyx 键计算杆的拉格朗日函数,主动力是有势的,以O为势零 ,势可 为 V=mg asin根据柯尼希定理,杆的动可以 为T=m2 vC2
12、IC2 2vC=vAAC心速度可以用刚体速度公 求得 ABCO xyxvA=x x= zAC=acosxsinyvC=xa sinxa cos yvC2=x22a x sina2 2T=m2 x22 a x sina2 2ma26 2=m2 x22a x sin2ma23 2L=TV=m2 x22a x sin2ma23 2mg asin看看有没有 . px= L x =mxa sin=c1 (水方动 )利用初始条件t=0时: x=0, =0c1=0 x=a sinL不含x,故有 L不显含t, T=T2,故机械 TV=m2 x22a x sin2ma23 2mgasin=E利用初始条件t=0时
13、: =/2, x=0, =0E=mgax=a sin 2= 6 g1sina43sin2ABCO xyx = 6 g1sina43sin21/2(想想为什么不 + ?)杆落地瞬间,=0 =3g/2a.注:利用分析力学 题也会优 定律. ,本题用分析力学并不比牛顿力学有优势,实际 牛顿力学可直接 出 定律题5 为m的环P 限制在一 径为R的 环 , 环绕过环心的铅垂轴以角速度匀速动.初始时环在环的最高 , 对环静止, 初速地 . 通过存在的第一积分 环 对环的运动微分方程.:以环为研究对象, 是受理想约束的完整系统. 球坐标,有2个约束方程r=R, =t0因 自由度为1.可以 示角度T=m2 r
14、2r2 2r2sin2 2=m2 R2 2R22sin2=T 2T0由于L=T-V不显含时间,所以广义 :以O为势零 ,势可表示为 V=mg RcosH=T2T 0V=m2 R2 2m2 R22 sin2mgRcos=const.利用初始条件t=0时:=0, =0H=mgRH=T 2T 0V=m2 R2 2m2 R22sin2mgRcos=mgR 22sin22 g/Rcos1=0 环的运动微分方程.注:(1)本题中环受到的约束 是非定常约束=t0(2)本题中广义 不是 对地 惯系的机械(TT2),是 对于固连于环的非惯系中环的 .H=T 2T 0V=m2 R2 2m2 R22 sin2mgR
15、cos对动惯离心(想想为什么?)重力势思考题 质量为m1三角形楔置于光滑水平面上,质量为m2半径为r匀质圆柱可沿斜面无滑滚动。(1)试用牛顿力学的质点系动力学方法寻找系统的守恒量(2)试用分析力学的拉格朗日方法寻找系统的守恒量特别注意:柱体质心相对于楔的速度沿斜面方向!无滑条件(接触点相对速度为零)8.3 多自由度系统的微振动 问题的背景H H在真实世界中原子总是在平衡位置附近作小幅振动V(r)rr0微振动?微振动弹簧质点系统(多自由度)世界是由原子和分子组成的 简化模型(透视多自由度振动特征)两 为m的 , 限制在 水线 运动, 3个 沿 水线连接两 ,中间 的currency1度系数为k1
16、,两侧 的currency1度系数为k2, 的 固定,两 静止时各 伸. 回顾:k xm 运动微分方程 m xk x=0固有频率方程 2m1 k=0自然的问题:在多自由度振动中,上述方程是否有对应的形式? 简正频率(固有频率)和简正模式 所示,选 x1和x2作为广义坐标,分别表示两 对自身fifl 的fl. (推导运动微分方程.)定理系统的运动微分方程为M K=0M=m 00 m, K=k1k2 k1k1 k1k2,=x1x2系统 矩阵(对正定)系统刚度矩阵(对正定)引入记号m xk x=0与单自由度比较: 路:系统拉格朗日函数为L=TV=m2 x12m2 x22k22 x12k22 x22k
17、12 x2x12代入拉格朗日方程可得m x1k1k2x1k1 x2=0m x2k1 x1k1k2x2=0:里动是广义速度的二次型,势是广义坐标的二次型.成矩阵 可.( 毕)推论系统的运动微分方程有=Acos(t+) 的 ,中满足 方程detK2M=0 路: M K=0 M 1K=0个方程类似于谐 子方程,故可猜 有=Acos(t+) 的 .(推导频率满 的方程)det2 IM1K=0 M 1K=0将=Acos(t+)代入 可得M 1KA=2 A可 A是矩阵 对应于 的 .M 1K 2故有 detM 1K2 I=0 detK2M =0( 毕)(单自由度对应)2m1 k=0定义简正 :从 方程 出
18、来的 注: 只 于系统的 矩阵和刚度矩阵,是系统固有的.定义简正 :简正 对应的 动 ,矩阵对应于简正 方的 定的 动 .M 1KM=m 00 m, K=k1k2 k1k1 k1k2注:将矩阵 代入 方程k1k2m22k12=0 ”detK2M=0 detk1k22 m k1k1 k1k22m=0=k2/m 2k1k2/m题6 分析系统的简正 .M 1K A=12 A :将 代入1=k2/m ”2=2k1k2/mK12M A=0可以得到 A11将 代入 可得K22M A=0时二 的步 完 一 ,为对 .A 11时二 的步 完 ,为 对 .1=x1x2=Acos1t111cos1t12=x1x2=Acos2t2 11cos2t2注:系统微分方程的通 是 两种 的线 ,可 为=c11c22=c111cos1t1c2 11cos2t2里4个 定实常数c1,c2,1,2由初始条件来 定. 简正坐标定义简正坐标:一组 的广义坐标, 得系统的运动微分方程表现为一系 简单的 动( ).2=0 系统的拉格朗日函数可表示为 L= m2 222.题7 找 示系统简正坐标.: 得到 对应 和 的 分别为 和 .M 1K 121122 11 过 一 得到 和1211 12 11.根据线代数 ,存在矩阵 得U= 121 11 1why?