1、初一数学竞赛系列讲座(15)容斥原理一、知识要点1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：记 A、B 是两个集合，属于集合 A 的东西有 个，属于集合 B 的东西有 个，既属于集合 A 又属于集合 B 的东西记为 ，有 个；属于集合 A 或属于集B合 B 的东西记为 ，有 个，则有： = + -容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆表示集合 A，右圆表示集合 B，两圆的公共部分表示 ，两圆合起来的部分表示 ，A由图可知： = + -B容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原
2、则。二、例题精讲例 1 在 1 到 200 的整数中，既不能被 2 整除，又不能被 3 整除的整数有多少个？分析：根据容斥原理，应是 200 减去能被 2 整除的整数个数，减去能被 3 整除的整数个数，还要加上既能被 2 整除又能被 3 整除，即能被 6 整除的整数个数。解：在 1 到 200 的整数中，能被 2 整除的整数个数为：21，22，2100，共 100个；在 1 到 200 的整数中，能被 3 整除的整数个数为：31，32，366，共 66 个；在 1 到 200 的整数中，既能被 2 整除又能被 3 整除，即能被 6 整除的整数个数为： 61，62，633，共 33 个；所以，在
3、 1 到 200 的整数中，既不能被 2 整除，又不能被 3 整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)例 2 求 1 到 100 的自然数中，所有既不是 2 的倍数又不是 3 的倍数的整数之和 S。解：1 到 100 的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+100=50501 到 100 的自然数中，所有 2 的倍数的自然数和是：21+22+250=2(1+2+3+50)= 21275=25501 到 100 的自然数中，所有 3 的倍数的自然数和是：31+32+333=3(1+2+3+33)= 3561=16831 到 100 的自然数中，所有既是 2 的倍数又是 3 的倍
4、数，即是 6 的倍数的自然数和是：61+6 2+616=6(1+2+3+16)= 6136=816ABA B所以，1 到 100 的自然数中，所有既不是 2 的倍数又不是 3 的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633例 3 求不大于 500 而至少能被 2、3、5 中一个整除的自然数的个数。分析：如图，用 3 个圆 A、B、C 分别表示不大于 500 而能被 2、3、5 整除的自然数，表示既能被 2 整除又能被 3 整除的自然数表示既能被 2 整除又能被 5 整除的自然数表示既能被 3 整除又能被 5 整除的自然数B表示既能被 2 整除又能被 3 整除，还能被 5 整
5、除的自然数由图可看出：属于 A、B、C 之一的数的个数为：+ + -( + + )+CBA解：不大于 500 且能被 2 整除的自然数的个数是：250不大于 500 且能被 3 整除的自然数的个数是：166不大于 500 且能被 5 整除的自然数的个数是：100不大于 500 既能被 2 整除又能被 3 整除，即能被 6 整除的自然数的个数是：83不大于 500 既能被 2 整除又能被 5 整除，即能被 10 整除的自然数的个数是：50不大于 500 既能被 3 整除又能被 5 整除，即能被 15 整除的自然数的个数是：33不大于 500 既能被 2 整除又能被 3 整除，还能被 5 整除，即
6、能被 30 整除的自然数的个数是：16由容斥原理得：不大于 500 而至少能被 2、3、5 中一个整除的自然数的个数是：250+166+100-(83+50+33)+16=366例 4 求前 200 个正整数中，所有非 2、非 3、非 5 的倍数的数之和。解：前 200 个正整数的和是：1+2+3+200=20100前 200 个正整数中，所有 2 的倍数的正整数和是：21+22+2100=2(1+2+3+100)= 25050=10100前 200 个正整数中，所有 3 的倍数的正整数和是：31+32+366=3(1+2+3+66)= 6633前 200 个正整数中，所有 5 的倍数的正整数
7、和是：51+52+540=5(1+2+3+40)= 4100前 200 个正整数中，所有既是 2 的倍数又是 3 的倍数，即是 6 的倍数的正整数和是：61+62+633=6 (1+2+3+33)= 3366前 200 个正整数中，所有既是 2 的倍数又是 5 的倍数，即是 10 的倍数的正整数和是：101+102+ +1033=10(1+2+3+20)= 2100前 200 个正整数中，所有既是 3 的倍数又是 5 的倍数，即是 15 的倍数的正整数和是：151+152+ +1513=15(1+2+3+13)= 1365前 200 个正整数中，所有既是 2 的倍数又是 3 的倍数还是 5 的
8、倍数，即是 30 的倍数的正整数和是：301+302+30 6=30(1+2+3+4+5+6)= 630所以，前 200 个正整数中，所有非 2、非 3、非 5 的倍数的数之和是S=20100-(10100+6633+4100)+(3366+2100+1365)-630=630AB C例 5 某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有 4 名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：短跑 游泳 篮球 短跑、 游泳 游泳、 篮球 篮球、 短跑短跑、游泳、篮球17 18 15 6 6 5 2求这个班的学生数。(第三届华杯赛复赛
9、试题 )解：有 4 名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17、18、15，因而，总人数是 17+18+15+4=54。但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54-6-6-5=37又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去。即这个班学生数为：37+2=39。例 6 从 1 到 1000000 这一百万个自然数中，能被 11 整除而不能被 13 整除的数多还是能被 13 整除而不能被 11 整除的数多？(第 20 届全俄九年级试题)解：设 1 到 1000000
10、 这一百万个自然数中，能被 11 整除而不能被 13 整除的数有 m 个，能被 13 整除而不能被 11 整除的数有 n 个，既能被 11 又能被 13 整除的数有 p 个。而在 1 到 1000000 这一百万个自然数中，能被 11 整除数有 90909 个，m+p=90909在 1 到 1000000 这一百万个自然数中，能被 13 整除数有 76923 个，n+p=76923m+p n+p mn，即能被 11 整除而不能被 13 整除的数比能被 13 整除而不能被 11 整除的数多。例 7 50 名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按 1，2，3，依次报数，再让报数是 4 的倍数
11、的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？(1995 年华杯赛试题 )分析：首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是 4 的倍数，也不是 6 的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是 4 的倍数，也是 6 的倍数，即是 12 的倍数同学连续转了两次，仍面向老师。解：报数是 4 的倍数的同学有 12 个，报数是 6 的倍数的同学有 8 个，报数是 12 的倍数的同学有 4 个， 所以根据容斥原理得：报数既不是 4 的倍数，也不是 6 的倍数的同学有50-12-8+4=34 个。报数既是 4 的倍数，也是 6 的倍数，即是 12 的倍数同学有 4 个。所以此时还
12、应有 34+4=38 个同学面向老师。评注：若将同学数 50 改成 n，问此时还有多少同学面向老师？可以得出一个一般的结论： 1264n例 8 已知某校共有学生 900 名，其中男生 528 人，高中学生 312 人，团员 670 人，高中男生 192 人，男团员 336 人，高中团员 247 人，高中男团员 175 人，试问这些数据统计有无错误？解：用 I 表示全校学生，A 表示该校男生，B 表示该校高中学生，C 表示团员，则有：=900， =528， =312， =670，且 =192， =336， =247， =175BA这样，初中女生的非团员数是：- - - + + + -IABCAC
13、=900-528-312-670+192+336+247-175= -100因人数做到负数，所以数据统计有错误。例 9 从自然数序列：1，2，3，4，中依次划去 3 的倍数和 4 的倍数，但其中 5 的倍数均保留。划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，求该序列中第 2002 个数。分析：因为 3，4，5 的最小公倍数是 60，所以可将自然数序列：1，2，3，4，以 60的倍数来分段，先考虑 1 到 60 的整数，其中 3 的倍数有 20 个，4 的倍数有 15 个，既是 3的倍数又是 4 的倍数的数有 5 个，则划去 3 的倍数和 4 的倍数还剩 60-20-15+5=30 个，
14、又还要保留其中的 5 的倍数 6 个，这样还剩 36 个，即 1 到 60 的整数中，划完后剩下 36 个，由此推得，每 60 个一段中，划完后剩下 36 个。因 2002=3655+22，说明 2002 是 56 段中的第 22 个数。解：先考虑 1 到 60 的整数在 1 到 60 的整数中，3 的倍数有 20 个，4 的倍数有 15 个，既是 3 的倍数又是 4的倍数的数有 5 个，所以划去 3 的倍数和 4 的倍数还剩 60-20-15+5=30 个。又因为其中 5 的倍数有 6 个，需要保留，所以划完后剩下 30+6=36 个因为 3，4，5 的最小公倍数是 60，所以每 60 个整
15、数一段中，划完后均剩下 36 个。因为 2002=3655+22，所以第 2002 个数是 56 段中的第 22 个数。因为第一段中的第 22 个数是 37，所以该序列中第 2002 个数是 5560+37=3337。三、巩固练习选择题1、在 1 到 40 这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的 2 倍，则这个数集最多有( )个数。A、20 B、26 C、 30 D、402、甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有( )种不同的排法。A、14 B、13 C、 12 D、113、从 1 到 1000 中，能被 2，3，5 之一整除的整数有( )个A
16、、767 B、734 C、701 D、6984、从 1 到 200 中，能被 7 整除但不能被 14 整除的整数有( )个A、12 B、13 C、 14 D、155、A、B、C 是面积分别为 150、170、230 的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是 350，且 A 与 B、B 与 C、A 与 C 的公共部分面积分别是 100、70、90。则 A、B、C 的公共部分面积是( )A、12 B、13 C、 60 D、156、50 束鲜花中，有 16 束插放着月季花，有 15 束插放着马蹄莲，有 21 束插放着白兰花，有 7 束中既有月季花又有马蹄莲，有 8 束中既有马蹄莲又有白兰花
17、，有 10 束中既有月季花又有白兰花，还有 5 束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有。则 50 束鲜花中，这三种花都没有的花束有( )A、17 B、18 C、 19 D、20填空题7、一张正方形的纸片面积是 50 平方厘米，一张圆形的纸片面积是 40 平方厘米。两张纸片覆盖在桌面上的面积是 60 平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是 。8、某班有学生 45 人，已知其次考试数学 30 人优秀，物理 28 人优秀，数理两科都优秀的有 20 人。则数理两科至少有一科优秀的有 人，一科都未达到优秀的有 人。9、某班有学生 50 人，参加数学兴趣小组的有 35 人，参加语文兴趣小组的有 30 人，每
18、人至少参加一个组，则两个组都参加的有 人。10、一个数除以 3 余 2，除以 4 余 1，则这个数除以 12 的余数是 。11、每边长是 10 厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，成为一个边宽是 1 厘米的方框。把 5 个这样的方框放在桌上，成为如图这样的图形。则桌面上被这些方框盖住的部分面积是 平方厘米。12、200 以内的正偶数中与 5 互质的数有 个。解答题13、在线段 AB 上取两个点以C、D， 已知AB=25，AD=19，CB=17，求 CD 长。14、求 1 到 200 的自然数中，所有既不是 2 的倍数又不是 3 的倍数的整数之和 S。15、100 名学生面向老师站成一行，
19、老师先让大家从左到右按 1，2，3，依次报数，再让报数是 3 的倍数的学生向后转，接着又让报数是 7 的倍数学生向后转，问此时还有多少学生面向老师？这些面向老师的学生的报数号的总和是多少？16、求前 500 个正整数中非 5、非 7、非 11 的倍数的数的个数。17、某校初一年级有 120 名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有 15 人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有 10 人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有 8 人，三个兴趣小组都参加的有 4 人，求三个兴趣小组都没有参加的人数。18、某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：问：语文、数学、外语三门考试都得满分的人数是多少？19、求出分母是 111 的最简真分数的和。20、有 1997 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着。现将其顺序编号为1，2，3，1997。将编号为 2 的倍数的灯线拉一下，再将编号为 3 的倍数的灯线拉一下，最后将编号为 5 的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？课程 语文 数学 外语 语、数 数、外 语、外 至少一门得满分人数 9 11 8 5 3 4 18A BC D
