1、学校：临清二中 学科：数学 编写人： 王梦炬 审稿人:马英济1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简 单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程 ；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b） n的展开式。如（a+b） 2=a2+2ab+b2, （a+b） 3=？， （a+b） 4=？，那么（a+b） n的展开式是什么呢？二、引导探究，发
2、现规律1、多项式乘法的再认识问题 1：（a 1+ b1）(a 2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、 （a+b ） 3展开式的再认识问题 2：将上式中，若令 a1=a2 =a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究 1：合并同类项后，为什么 a2b 的系数是 3？教师引导：可以发现 a2b 是从（a+b） （a+b） （a+b）这三个括号中的任意两个中选 a，剩下的一个括号中选 b；利用组合知识可以得到 a2b 应该出现了 C C =3次，所以 a2b 的系231数是 3。问题 3：（a+b） 4的展开式又是什么呢？可以对（a+b） 4按
3、 a 或按 b 进行分类：（1）四个括号中全都取 a，得：C a4（2）四个括号中有 3 个取 a，剩下的 1 个取 b，得：C a3 C b41（3）四个括号中有 2 个取 a，剩下的 2 个取 b，得：C a2 C b2（4）四个括号中有 1 个取 a，剩下的 3 个取 b，得：C a C b314（5）四个括号中全都取 b，得：C b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按 a 分类，也可以按 b 分类，再如：（1）不取 b：C a4；（ 2）取 1 个 b：C a3b；（3 ）取 2 个 b：C a2b2；（4）取 30 14个 b：C ab3；（5）取 4 个 b：C
4、b4，然后将上面各式相加得到展开式。4结论：（a+b） 4= C a4+ C a3b+ C a2b2+ C ab3+ C b40144三、形成定理，说理证明问题 4：（a+b） n的展开式又是什么呢 ？合作探究 2:(1) 将（a+b） n展开有多少项？（2）每一项中，字母 a，b 的指数有什么特点？（3）字母“a”、 “b”指数的含义是什么？是怎么得到的？（4）如何确定“a”、 “b”的系数？猜想： )()( *10 NnbCCabknnn 证明：对（a+b） n分类，按 b 可以分 n+1 类，（1）不取 b：C an；0（2）取 1个 b：C an-1b；1n（3）取 2个 b：C an
5、-2b2；（k+1）取 k 个 b：C an-kbk；n(n+1)取 n 个 b：C bn；然后将这 n+1个式子加起来，就得到二项展开式，(a+b)n= an+ an-1b+ an-kbk+ bn(n N+)0 C这就是二项式定理。四、熟悉定理，简单应用二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）（1）项数：共有 n+1 项；（2）次数：字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到n；（3）二项式系数：下标为 n，上标由 0 递增至 n；（4）通项:T k+1= C an-kbk；指的是第 k+1项，该项的二项式系数为 C ；n kn（5）公式
6、所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（ a b） n的二项展开式。例 1 求 的展开式6)12(x分析：为了方便，可以先化简后展开。例 2 的展开式的第 4 项的系数及第 4 项的二项式系数。7)1(x求 的展开式中含 的系数。9)(x3x五、当堂检测1.写出（p+q） 7的展开式；2.求（2a+3b） 6的展开式的第 3 项；3.写出 的展开式的第 r+1 项；nx314.（x-1） 10的展开式的第 6 项的系数是（ ）（A） (B) (C) (D) 610C10C510510C答案：1.（p+q） 7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.六、课堂小结1. 公式： )()( *10 NnbCabaCbaknnn 2. 思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式. （2）用计数原理分析二项式的展开过程.七、布置作业课本 43页习题 1.3 A组 2、3
