1、先看下面的问题,若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？,在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3(a+b)2(a+b)a3+3a2b+3ab2+b3,观察,对于(a+b)4，(a+b)5 如何展开?,(a+b)100又怎么办？ (a+b)n (nN+)呢？,我们知道，事物之间或多或少存在着规律. 这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性.,知识目标,1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算；求余数或证明某些整除或余数的问题等；2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题.,能力目标,1.培养学生发现和
2、揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力；2.培养学生运算能力，分析能力和综合能力.,通过学生的主体活动，营造一种愉悦的情境，使学生自始至终处于积极思考的氛围中，不断获得成功的体验，从而对自己的数学学习充满信心.,情感目标,二项式定理的推导及证明.,二项式定理的证明.,规律： (a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4a
3、b3+b4,如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数?,(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4； (2)若只有一个括号取b，共有种取法得到a3b； (3)若只有两个括号取b，共有种取法得到a2b2； (4)若只有三个括号取b，共有种取法得到ab3； (5)若每个括号都取b，共有种取法得b4.,1 二项式定理,知识要点,如何证明上述猜想呢？,证明：由于(a+b)n是（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个（a+b）中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项
4、之前， (a+b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是an-kbk（k=0，1，n）的形式.,对于某个k（ ），对应的项an-kbk是由n-k个（a+b）中选a，k个（a+b）中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定. 因此， an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数 . 这样，(a+b)n的展开式中， an-kbk共有 个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：,对二项式定理的理解（1）它有n+1项;（2）各项的次数都等于二项式的次数n;（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0;字母b按升幂排列，次数由0递增到n.,知识要点,2 二项式系数我们看到的二项展开式
5、共有n+1项，其中各项的系数 ( )叫做二项式系数（binomial coefficient）.,3 通项式中的 叫做二项展开式的通项，用 Tk+1 表示，即通项为展开式的第k+1项：,对通项的理解（1）它是(a+b)n的展开式的第k+1项，这里k=0，1，2，n;（2）字母a，b是一种“符号”，实际上它们可以是数、式及其它什么的，只要具备二项式的形式就可以用定理写出展开式;（3）展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的，还可以对等式进行变形.,例题1,用二项式定理展开下列各式：,思考（1）如何求展开式中的第三项？（2）如何求展开式中第三项的系数？,方法（1）用定理展开，再找指定项；（2）用通
6、项公式.,解:,（2）先将原式化简，再展开，得,例题2,1. 的展开式中，第五项是（ ）A. B. C. D.2. 的展开式中，不含a的项是第（ ）A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项,要解答上题必须熟记二项式定理,上题答案：(1) B(2) A,例题3,求近似值（精确到0.001）,（1）(0.997)3 （2）(1.002)6,分析： （1）(0.997)3=(1-0.003)3 （2）(1.002)6=(1+0.002)6,类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项.,例题4,4.求二项式 的展开式中的有理项.,分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂）方法二
7、用定理展开（次数较小时使用）,答案：,1.二项式定理二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ Cnran-rbr+Cnnbn是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明.,2.二项式定理的特点(1)项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式(2)系数 (3)指数 ：a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列；b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列.,1. （2004年安徽、河北卷）在 的展开式中，常数项是_.A.14 B.14 C.42 D. 42,解析：,则k=6，故展开式中的常数项是,选答案A.,令,2.（2005年全国高考上海卷）在(x-a)1
8、0的展开式中，x7的系数是15，则实数a的值为_.,-1/2,解析：,3. （2002年北京春季高考题）一种A型进口汽车关税税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年的价格是57.6万元（含28.8万元关税税款）.某人在2001年将33万元存入银行，若该银行扣利息税后的年利率是1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息能否购买一辆A型进口汽车？,解：33万元存入银行，到2006年得到的本息和为，,=36.07692(万元).到2006年A型进口汽车的价格为，28.8+28.8,=36（万元）.因36.0769236，
9、故五年到期后这笔钱连本带息能够买一辆A型进口汽车.,1.填空（1）(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_.（2）在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为_ .,1.179,-210,2.选择（1）( i)12展开式中所有奇数项的和是( )A.-1 B.1 C.0 D.i（2） 数11100-1的末尾连续的零的个数是( )A.0 B.3 C.5 D.7,)rC12r,3.解答题,（1）求( + )12展开式中所有的有理数项.,解：通项为Tr+1C12r(,)12-r(,(r0,1,2，12)，为得有理数项，只需r是6的倍数，即r0,6,12，即有理数项为T1C12
10、02416，T7C126223399792，T13C121236729.,（2）二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.,分析：由第三项系数比第二项系数大44先求n， 再由通项求第四项系数.,答案：165,(3) 某班有男、女学生各n人，现在按照男生至少一人，女生至多n人选法，将选出的学生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的选法共有2n(2n-1)种.,证：依题意，这些小组中女生人数分别是Cn0，Cn1,Cn2,Cnn个.对于上述女生人数的每种情况，男生人数可以有Cn0，Cn1,Cn2,Cnn个。,根据乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+Cn0Cnn+Cn1Cn1+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+Cn2Cnn+CnnCn1+ Cnn Cn2+ Cnn Cnn Cn0(Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+Cnn)+Cnn(Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn1+Cn2+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+ Cnn) (2n-1)2n 依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个.,1P7+7p6q+21p5q2+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.22. T3=C62(2a)4*(3b)2=2160a4b2. 3.4. D.,
