1、简单的线性(整数) 规划问题一. 知识要点：1. 线性规划的基础概念(1) 线性约束条件约束条件都是关于 x, y 的一次整式不等式.(2) 目标函数待求最值(最大值或最小值)的函数.(3) 线性目标函数目标函数是关于变量 x, y 的一次解析式(整式).(4) 线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题, 其中在限定变量为整数的时候, 对应的线性规划问题, 也称为整数规划问题.(5) 可行解满足全部约束条件的解(x, y ).(6) 可行域全部可行解构成的集合称为线性规划问题的可行域.(7) 最优解使目标函数取到最大值或最小值的可行解.注意: 线性约束条件即可用二元一次不等
2、式表示, 也可以用二元一次方程表示. 最优解如果存在 (当然, 最优解有不存在的情况), 其个数并不一定是唯一的, 可能有多个最优解, 也可能存在无数个最优解. 目标函数 取到最优解( 最大或最小值) 的点, 往往出现在zaxby可行域的顶点或边界上. 对于整数规划问题 ( ), 最优解未必在边界或顶点处取,xyA得, 往往要在可行域的顶点或边界附近寻找. 寻找最优解的前提是尽量准确画出可行域的草图, 从而有助于我们发现最优解.二. 解题思路:解决线性规划问题, 先要准确作出可行域, 且明白目标函数表示的几何意义, 通过数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点). 而对于整数规
3、划问题, 则应该进一步验证解决 , 边界点或顶点可能不在是最优点, 而是在它们的临近区域的整点.三求解步骤 在平面直角坐标系中画出可行域(对于应用问题 , 则要先正确写出规划模型及满足的约束条件, 再画出可行域). 结合目标函数的几何意义, 将目标函数变形写成直线的方程形式或写成一次函数的形式. 确定最优点: 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线 , 从而找到最优点. 将最优点的坐标代入目标函数即可求出最大值或最小值.四. 高考题演练1. (新课标全国高考) 设 x, y 满足约束条件则 的10,3xy23zxy最小值是( ) 提示 1A. B. C. D. 76532. (福建高考) 若变
4、量 x, y 满足约束条件 , 则 的最210xy2zxy大值和最小值分别为( ). 提示2A. B. C. D. 43元4元23元22元03. (湖北高考) 某旅行社租用 A、B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人, 租金分别为1600 元/辆和 2400 元/辆, 旅行社要求租车的总数不超过 21 辆, 且 B 型车不多于 A 型车 7 辆. 则租金最小为 ( ). 提示 3A. B. C. D. 120元360元3680元3840元4. (湖南高考) 若变量 x, y 满足约束条件 , 则 的最大值21yx2y为( ). 提示
5、4A. B. C. D. 52053525. (天津高考) 设变量 满足约束条件 则目标函数,xy360,2xy的最小值为( ) 提示 52zyxA. B. C. D. 74126. (陕西高考) 若点(x, y)位于曲线 与 所围成的封闭区域, 则yx2的最小值是( ). 提示 62xyA. B. C. D. 62027. (四川高考) 若变量 满足约束条件 且目标函数,xy8,240xy的最大值为 a, 最小值为 b, 则 的值是( ) 提示 75zyxaA. B. C. D. 48302416参考答案:提示 1：不等式组表示的平面区域如图 1 中阴 影部分所示, 其顶点 A, B, C
6、的面积可直接算出, 待求面积为图 114()1.23ABCSh提示 2：不等式组 所围成的平面区域如图 2 中阴影部分0,1xya所示, 面积为 2, 则 其中-5211435ACaor舍去.图 2 图 3提示 3: 已知可求出 可设 则,.3OAB(2,0)(1,)(,)OABOPxy, 由1()2233yxxy1323.xy可行域参考图 3, 所求面积 24.S可行域由如下四个子区域拼接而成: 330022xyxy 330022xyxy 330022xyxy 330022xyxy提示 4：已知 且当 时, 恒有 0,ab01xy1axby当 同理,01.xyb当 0axa不等式组 所围成的
7、平面区域参考图 4, 其面积为 1.01ab图 4 图 5提示 5: 由不等式组直接作出平面区域见图 5, 注意直线过20kxy定点(0, 2). 由平面区域面积为 4, 可知 12413.kkor其中-3 舍去.提示 6：换元法平面区域 , 可令 再根据(,)(,BxyxyA2,mnxyn条件, 由此不等式组确定的平12(,)00,2mnmxyAnn面区域即为 确定的平面区域, 见图 6, 其面积(,)(,BxyxyA为 12.图 6 图 7提示 7: 平面区域 D 见上图 7 阴影部分所示 , 直线 过定点(0, 1ykx1)根据平面几何知识可知, 若直线 将区域 D 分成面积相等的两1ykx部分, 则直线 只需过 AB 的中点即可. 易求中点坐标 . 1ykx 3(,)2再代入到直线 , 可求 1ykx1.3k
