1、第 1 页，共 22 页数列的极限年级_ 班级_ 学号_ 姓名_ 分数_总分 一 二 三一、选择题(共 40 题，题分合计 200 分)1.无穷数列 各项的和等于142nA.1 B. C. D.4232.无穷等比数列a n中，a 1= ，q= 设T n=a22+a24+a26+a22n，则 Tn等于limA. B. C.2 D.1289763.已知等比数列a n中，a 1+a2+a3=9，a 4+a5+a6=-3，S n=a1+a2+a3+an，则 Sn等于liA. B. C.6 D.124277548得分 阅卷人第 2 页，共 22 页4.在等比数列a n中,a 11,且前n项和S n满足
2、,那么a 1的取值范围是limSnA.(1,+) B.(1,4) C.(1,2) D.(1, )25. 等于12nlimCA.0 B.2 C. D. 416.设a n是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是A.4 B.2 C.1 D.67. 的含义是AnlimA.n越大， 越小anB.对任给 存在N ，当nN时，,0ZAanC.对任给 和任给的自然数 N，当nN时，有 N时，有 或a C.a 或a225.等差数列a n和b n的前n项和分别为S n和T n，对一切自然数n，都有 = ，则 等于nTS1325baA. B. C. D.321493201726.已知a n是
3、等比数列,如果a 1+a2+a3=18,a2+a3+a4=-9,Sn=a1+a2+an,那么 Sn的值等于limA.8 B.16 C.32 D.4827. 的值等于)()5(41)3(limnnA.0 B.1 C.2 D.3第 5 页，共 22 页28.等差数列a n,bn的前n项和分别为 Sn,Tn,若 等于nbalim,132、A.1 B. C. D.3629429.等比数列a n的首项a 1=-1,前n项和为S n,已知 ,则 等于32150SnSlimA. B. C.2 D.-23230.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n(万件) 近似地满足S n
4、= (21n-n2-5)90(n=1,2,12),按此预测,在本年度内 ,需求量超过1.5万件的月份是A.5月6月 B.6月7月 C.7月8月 D.8月9月31.等差数列a n 、b n的前n项和分别为S n和T n，若 ，则 等于12nSnbalimA.1 B. C. D. -12332.已知 ，那么 的值等于|a1lim()()()n naa11242A.1 B. C. D.33.设无穷等比数列a n的前n项和为S n，而 ，且S=a n +Sn，则数列a n的公比q是nlimA. B. C. D.21321334.下面各无穷数列中，极限存在的是A. B.、01、168412C. D.、4
5、32 、4335. 的值为1lim2n第 6 页，共 22 页A.- B.- C. D.21321336. 的值为2274limnnA. B. C. D.65431337.一个等比数列的前n项和S =a ,则该数列各项和为nn)21(A. B.1 C.- D.任意实数212138.设(1+2x) n的展开式中,奇数项的二项式系数之和为a n,数列a n的前n项和记为S n,则 等于nSalimA.0 B. C.1 D.22139.已知a n= (nN)，S n是数列 an的前n项和，则 等于7 nSlimA.1 B. C. D.617136740.等比数列a n满足 的取值范围是121,2)(
6、limaan则A.(-1,1) B.(0,1) C.(0, ) D.(0, )( ,1)二、填空题(共 24 题，题分合计 104 分)1.在无穷等比数列a n中，a 13 ，a 32，则 (a1a 3a 5a 2n1 )_.nlim得分 阅卷人第 7 页，共 22 页2. _.nlim1324n3.若数列a n的前n项和S n=2 n-1，则数列 的所有项和是_.na14.对于无穷数列 ，（1） _；（2）从第_项起，这一项后面的所有项与-2的差2|2|n的绝对值都小于 ；（3）对任意给定的正数 ，要使 时， 恒成立，则N的最小值为20 Nn|2|na_.5.已知一无穷数列的通项公式 421
7、na（1）化简 得_；|21|na（2）对于下表中的 ，分别找出一个最小的自然数N，使得当 时， 恒成立 Nn|21|na0.03 0.01 0.001 任意给定的正数 （3）这个数列的极限是_.6.已知 ,则在区间 外（ 为任意小的正常数）这数列 的项数为 AanlimA, na.（填“有限项“或“无穷项“）7. 的值为 .nn319124li8.一个无穷递减等比数列的首项为1，且每一项都等于它以后所有项的和的k倍，则k的取值范围是_.9. _.11)2(3limnn10. =_.)12li22nn11. =_.nli )3(2741 n第 8 页，共 22 页12.已知等比数列a n(an
8、R)，a 1a 29，a 1a2a327。且Sa 1a 2a n(n1，2，)，则Sn_.lim13.已知log 3x ，则xx 2x 3x n _.log214.设0ab，则 _.nnba4li15.计算： _.n)2(lim16.若数列a n中，a 13,且a n1 a n2(n是正整数)，则数列的通项a n_.17. _.)(43lin18.已知等差数列a n的公差d0，首项a n0，如果 ，那么Saan n1123_ .nSlim19._21413li nn20.已知数列a n的通项公式为 则 .,),(121nnn aaSaNnSlim21.若 . ban、,)35(lim222.设
9、 存在，则 = nnli1li且 nna)1(lim23.已知等比数列a n的公比q1，a 1b(b0)，则 =_.nna7621li24.已知a n是公差不为0的等差数列，如果S n是a n的前n项和，那么 等于_.nSlim三、解答题(共 40 题，题分合计 440 分)得分 阅卷人第 9 页，共 22 页1.已知 为 的一次函数， 为不等于1的常数，且1)(bxf b)1.()0.(1)ngfn(1)若 求证 为等比数列;),.(Nngnana(2)设 求 （用 表示）;,21assb,(3)若.,limbn、2.设T 1,T2,T3为一组多边形 ,其作法如下:T1是边长为1的三角形以T
10、 n的每一边中间 的线段为一边向外作正三角形,然后将该1/3线段抹去所得的多边形为31Tn+1,如图所示 .令a n表示T n的周长,A(T n)表示T n的面积.(1)计算T 1,T2,T3的面积A(T 1),A(T2),A(T3);(2)求 ( + + )的值.nlim1a2n3.已知数列a n、b n都是正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中pq且p1,q1设c n=an+bn,Sn为数列cn的前n项和.求 .nlim1-S4.设数列a 1,a2,an,的前项和S n与a n的关系是S n=-ban+1- ,其中b是与n无关的常数,且b-1.)1(1)求a n和a n+1的关系式;(
11、2)写出用n和b表示a n的表达式;(3)当00),求使得P 1,P2,P3都落在圆外时r的取值范围.28.已知等差数列前三项为a,4,3a,前n项和为S n.Sk=2550(1)求a及k的值.(2)求 .)11(lim2nnSS9.已知 ，求 的值.7)23(lim6li nnbaba、 )2(limnnba10.若 是锐角，求 .nnsicoli11.数列a n与b n的前n项和分别记作S n与S n ，如果S n= n2+ 2n -1，S n = 2n2+ n -3，设C n= anbn，数列C n的前n项和记作T n，数列S n 的前n项和记作M n，求 .nMTlim12.已知等差数
12、列a n的公差不为0，其前n项和为S n，等比数列b n的前n项和为B n，公比为q，且| q|1，求的值.nnbBSlim13.两个等差数列a n 、b n的前n项和分别是S n= n(n +6)，S n = n(4n -3)，求这两个等差数列公有的项，由小到大构成的新数列的通项公式和前n项和公式第 11 页，共 22 页14.设数列a n的前n项和 求能使 成立的r的取值范围.,)16(nrnas1limns15.已知数列 ,.n)(4132、(1)写出这个数列的各项与0的差的绝对值.(2)第几项后面的所有项与0的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001? 都小于0.0003?(3)第几项
13、后面的所有项与0的差的绝对值都小于任何预先指定的正数 ?(4)0是不是这个数列的极限?16.已知无穷数列 .、538241(1)把这个数列的前5项在数轴上表示出来.(2)计算 ;|21|na(3)分别求出 与 ( )时最小的自然数n.0.|n |21|na0(4)确定这个数列的极限.17.已知无穷数列 .、2241313(1)把这个数列的前四项在数轴上表示出来.(2)计算 ;|an(3)对于预先给定的正数0.01,0.0004,0.000081, ,找出相应的自然数 N,使得 时, 分别小于这些指定的nN|an3正数18.数列a n是首项为1，公比为 的等比数列，又 ，S n =b1+ b2+
14、 b3+ bn ,20sinnab121求 .nSlim19.已知数列a n是公比为正数的等比数列，且 ， .171432a )(lim,32162 nnaaa求20.如图所示，在RtABC内有一系列正方形，其面积分别为S 1，S 2，S n，.已知AB=a，且所有正方形面积之和等于ABC面积的一半，求BC 的长和A.第 12 页，共 22 页A B C S1 S2 S3 21.用极限定义证明： =3.nlim222.如下图所示，在RtABC中，B=90，tanC= ，AB=a，在ABC内作一系列的正方形求所有这些正方形21面积的和S.23.已知数列a n中，a 1= ，S n=n2an(nN
15、 )(1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)推测数列a n的通项公式，并用数学归纳法加以证明 (3)求 Sn.lim24.设a n= (n=1,2,3)11(1)证明不等式 对所有的正整数n 都成立;2(2)(an(2)设b n= (n=1,2,3),用极限定义证明. .)1a 21limn25.设数列a n的前n项和为S n=n2+2n+4(nN)(1)写出这个数列的前三项;(2)证明:数列除去首项后所成的数列a 2,a3,an,是等差数列.26.已知数列a n,an0,前n项和为S n(1)如果a n是一个首项为a,公比为q(0 .33211)(Cf )2(nbf)2(40.数列a n各
16、项均为正数, S n为其前n项的和,对于(nN),总有 成等差数列.nnaS、(1)求数列a n的通项公式a n;(2)设数列 的前n项和为T n,数列T n的前n项和为R n,1求证:当n2 (nN)时, ;)1(1(3)若函数 的定义域为R,并且 (nN),3)(qxpxf 0)(limnaf求证: 1第 15 页，共 22 页数列的极限答案一、选择题(共 40 题，合计 200 分)1.989答案：B 2.990答案：A3.991答案：A 4.1020答案：D5.1022答案：D6.1025答案：B7.1134答案：B8.1135答案：A9.1136答案：A10.1137答案：A 11.
17、1138答案：D12.1139答案：B13.1150答案：C14.1151答案：A15.1152答案：C16.1156答案：A17.1170答案：D18.1171答案：B19.1173答案：C20.1174答案：A21.1175答案：D22.1213答案：C23.8060答案：B24.8061答案：B25.984答案：B26.1004答案：B第 16 页，共 22 页27.1008答案：C28.1016答案：C29.1017答案：B30.1023答案：C31.1153答案：C32.1154答案：C33.1155答案：A 34.1172答案：C35.1214答案：D36.1217答案：D37.4
18、755答案：B38.5193答案：B39.7410答案：D40.8062答案：D二、填空题(共 24 题，合计 104 分)1.1030答案：3292.1031答案：03.1159答案：34.1176答案：（1） （2）10（3） 的整数部分n15.1177答案：（1） （2）48 1498 14998 的整数部分 （3）42216.1212答案：有限项7.1218答案： 38.434答案： )0()2(， 9.1026答案： 3110.1027答案：2第 17 页，共 22 页11.1033答案： 3112.1035答案：1213.1036答案：114.1037答案：415.1040答案：e
19、 216.1045答案：3 2n117.1157答案： 18.1158答案： 1ad19.1219答案：220.4724答案：121.8063答案： 1022.8064答案： 223.1028答案：124.1029答案：2三、解答题(共 40 题，合计 440 分)1.1180答案：（1）见注释（2）.1)(bsbnn（3）.32,2limn2.959答案：解:(1)A (T1)= A(T2)= A(T3)=42710(2) ( + + )= =nlim1a2na433.976答案：当p1时，有0qp1 = =1nli1Snli )1()(1pbqa第 18 页，共 22 页当p1时，有0 1
20、,0 1pq = pnlim1S4.1049答案：(1)a n= +b(n2)1(2)an= (b1)或 an= (b=1)1)(12(3) Sn=1lim5.1053答案：(1)a 1=S1= 4当n2时,a n=Sn-Sn-1= 2n2+n-2(n-1)2-(n-1)= 123于是a n-an-1= (n2)3a n是以 为首项, 为公差的等差数列4(2)bn=sinansinan+1sinan+2= 82)1(43si(1n6.1054答案： 故a n的通项公式为a n1 (n1) ，b n的通项公式为b n6( )n137.1059答案：(1)见注释 (2)x-2y+a-2=0 (3)
21、解得r(0,1)(1, ,+)64()258.1144答案：a=2,k=50=1)11(lim2nnSS9.1146答案：li()()nnab15873第 19 页，共 22 页10.1161答案：当 时， 原式=140当 时，原式4n当 时，原式=-1211.1162答案： 461323958lim23nnMTn12.1163答案：， 故原式1liqbBn 12q13.1164答案： .54,8nTnc14.1166答案：r15.1167答案：解:(1)这个数列的各项与0的差的绝对值依次是 . 、n132(2)要使 ,只要 就行了,1.n0要使 ,只要 就行了0.要使 ,只要 就行了3.1n
22、31n(3)要使 ,只要 就行了(4)01)(limn16.1178答案：（1）略第 20 页，共 22 页（2） nan21|（3）最小的n为 的整数部分。（4）数列的极限为1217.1179答案：解:(1)略(2)|()|()|annn313122(3)见注释(4)由数列 的极限是3n18.1216答案：求一个数列前n项和的极限主要是确定和的表达式.本题解题关键是先确定 为等比数列，然后nb求和S n的表达式，再求极限19.8065答案：213)(lim21nna20.8066答案：aBCA,rct21.974答案：见注释22.975答案：S= a25423.999答案：见注释24.104
23、6答案：见注释25.1047答案：(1)7,5,7(2)数列a n除去首项后所成的数列是等差数列.26.1056答案：(1)综上所述: )10(1limqaGSn(2)当n=1或n4(nN) 时,S n3nan,当n=2,3 时,S n3nan第 21 页，共 22 页27.1145答案：50limna28.1147答案： 21liT29.1148答案：当 时|tlimlinnntt21120当 时，t2lilimnnnt11当 时|limlinnntt212130.1149答案：当 时，10p1limnS当 时，1pSn1li31.1160答案： 20)1(201lim31qaSn32.11
24、68答案：见注释33.1169答案：解:(1)10(310)(3nnnS(2)数列 的前5项依次为0.30.330.3330.33330.33333.nS(3) nnn 103|)10(3| 第 22 页，共 22 页(4)自然数N的最小值为 的整数部分.31lg34.1185答案： nan35.1215答案：这是一个求待定常数的极限逆向问题，一般都是从求极限入手建立关于a, b的方程组求解36.4738答案：(1)综上所述 对一切 都成立)()(ngfN(2)1)2(limlinnnT37.8069答案：随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右38.1052答案： =)|(li2CDABn 2)1(4)1(82n39.4744答案： 1,)1(nnba3)(Cn40.4746答案：(1) a n= n (2) (3)见注释
