1、第二章 Langevin 方程与数值模拟问题：系统的作用量或 Hamiltonian量为 S平衡态分布为 ，Se（这里温度已吸收到 S） 。假设系统 时处于一初始状态0t系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。第一节 单自由度的 Langevin方程和 Fokker-Planck方程实 数:xxSLangevin方程 txdtx: 02ttt 高 斯 随 机 数对固定 t P2e2201edZt这里的 t 通常也是介观时间。如果没有随机力，平衡态为 ，即能量取极小值。0dxtSx如果存在随机力，体系会被推离能量极
2、小，处于某种能量较高的平衡态。例如：布朗运动 花粉在液体中的运动0ttvdtm一维解 01t ttmmetdve 2222 20ttt tvtv dt 2220t ttmmee如 22210t tv如 ，这便是随机行走。2tm在布朗运动的方程中加入自身的相互作用 dvSvt ttx可以理解为广义的 Langevin 方程。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。由于随机力的存在，Langevin 方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时间分立化 在数值模拟中应用 较直观，tt2 tt01Z =212lnZ 4t
3、Langevin方程()Sxtxttxt t令 2t ()()ttttxStx2方程的解 是随机变量，在数值模拟中给定初始值 还t tx,0不确定，与随机力有关。也就是说，在 t时刻，x 遵从一个分布。;Pxt物理量 的平均值x;tdxPtx时 刻 遵 从 的 分 布在是 xtxP;问题： 的含义？t答：必须对 t之前的所有随机力做平均。 221txttxttt 221 ttxStxttt 以 及 更 早 的 随 机 力 有 关只 与无 关 ，与 tttx txStxtxt 0t又 22 ttx 2xSt txPxtxSxdP;22还 作 用 于分 步 积 分 这里做分步积分时，假设 0);(
4、tP另一方面 txPdxtx,Fokker-Planck方程0;,;txPtSHtxtxPFPFP当 ;FP显然 ;xPxSe思考题：试讨论 为平衡态的条件Se第二节 多自由度的 Langevin方程和自由场这里 是空间指标xSxtxtxt ttdtx 2,0,时空分立化 20jii i iii ijijtStttt tt ;i iidP221i j ijj ijjjjjStt 2;iiiiiSdPtt 2 ;iiiiiPt ; ;iFPiPtHtiiiiFP SH不 仅 仅 作 用 于注 意 ， ;PSe关于 Kernel 02tjiji ijjii KtttSKt 练习：推导 F-P方程，
5、证明平衡态为 。Se自由场 txtxtmdtxS 2,0,2120动量变换 xpixpiedp4421 2, ,tmtpt 2 22 2020, ,0,0,tpmt mttpmt pmtpededteptdeptpt 关于 Kernel的作用tpKtpmpKtp ,2 20 0tt Kpmtede Kernel不改变平衡态，但可以改变动力学演化过程。e.g.如 ，演化极慢，我们可取 ，则2mp 21/()p0, ,0tt teptde 这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题，称为Fourier加速法。但在有相互作用时，如何选取 可以达到“加速”K的目的，是重合悬而未决的问题。第三节 L
6、angevin 方程的路径积分表述txStx,生成泛函 14,JJJxtZedeABtAxtBtd对 的微商，可以得到任何物理量的平均值。JZ求恒等式,1det,xtSAt0de为 积 分 变 换 ，对单自由度如果 只有唯一解0,xyfxyfd,1这恒等式对任意 成立。作积分变换 )(yxfyd,1在积分号内， 是 的任意函数。 但积分后，由于 函数的作x 用， 取 的解。y0,yf关键：令 ，则积分后 为 Langevin方程的解。i.e. tx,detJJ Se 由于 函数的存在，这里的 可以看成和 无关。214142dettJJSJ SZdeA 引入辅助场玻色场 ，费米场tx,txct,
7、22HJJ tZdeSSHcc第四节 复 Langevin方程xSixSxS Ir，为 复 数自然延拓 yiZ到 tZdt注意: 保持为实数。t问题：这样的 Langevin方程是否给出平衡态分布 ?Se引入复分布 ，令txPC;xdtZ注意：这里 为实数形式上不难推导xSHtPtxPxFCFCt ;假设当 0;ttCt练 习似乎也有平衡态 ;xPCxSe作相似变换txPetxCxSC;2xSxSeeexSHxxSxxS xxxSxFPFPt 212122 222则注意：在类似于量子力学的框架下，定义内积(),*()fxgdxfg则 xiitxtx 对 比假设 为实函数，则SxSxSHxtxF
8、P2121 为正定算符设 nnFPE200 xSe假设 的基态没简并FPH0, 0nE2/)(01;xSt ntEneaexPn 则 tx;但是，如果 为复函数， 失去正定性， 可以小于零，SFPHnE情形变得不确定。第五节 动力学临界现象和临界慢化设 描述的平衡态处于二级相变点（临界点）附近SLangevin方程 Sdt描写的动力学行为是一种动力学临界现象。当然，也存在没有平衡态的动力学临界系统，即动力学二级相变系统。更广义的动力学临界现象包括自组织临界现象等。动力学临界现象的特征行为是发散的关联时间和动力学标度形式。例如，定义 kxdkktLtM,1)(假设 足够大，二、三十年前人们便发现
9、t 1, btbt Zkkk ， 为相变温度Tc/)(:称之为动力学临界指数，z：任意标度因子b动力学标度形式代表一种自相似性，这一自相似性具有普遍意义。例： /1/, btMbtzv 把 的单位“恰当”地改一下，后果只是把 M 的单位改一下（相似性）令 ztb/1zztt/1/, 除了一个相似因子 只与 有关，平衡,/ zt/1态的空间关联长度 ，所以 所以，/1/1zztt应当代表一空间标度。事实上，它是 t 时刻的空间关联长度。zt/11/1/ , btMbt z 空间单位的改变，仅导致 M 的单位的改变！动力学标度形式可用重整化群方法导出,而且可以推广重有限尺度体系。 11, ,k k
10、kzMtLbMbtbL足够大， 足够小。t、 但是，重整化群方法的结果只能与实验或准确结果定性比较。当然，我们可以数值求解 Langevin方程，但运算量太大，特别是当时，由 引起的误差难以控制。一般相信，Monte Carlo动0tt力学和 Langevin动力学处于同一普适类。 MC模拟可以给出较好的定量结果。但是，MC 模拟仍受临界慢化的困扰。时间关联函数 ， 足够大txtLtCxd,1/tet包括随机力平均和对 平均， 称之为关联时间. tt* ， tz当 ， 标度形式的物理基础0t* ， tzL当 ， 临界慢化tz 无法获得独立的自旋构形，这不仅仅困扰动力学 MC模型，而且困扰平衡态
11、 MC模型， 这称之为临界慢化。设 L/1/2, btCbtCz假设 /te当然 tt1/1/,ZtbbZCbte显然，指数上的 b 的因子必须自身抵消掉/1tz)(tzzzb/1为什么 思 考 题 t0ZL传统的测量 的方法Z2121212 lnlLLl tZt 两难境地：要测准 ，需要大ZL但当 大，临界慢化。L第六节 Ising 模型的 Monte Carlo 模拟Ising model 1,1 iji iji ShSKHTk称之为哈密顿量，代表能量置于格点上，例如正方格点iS为外磁场 h iS对 0随机状态 0H有序状态 极小Si1当体系和大热源接触达到“平衡”时，遵从正则分布 He物
12、理量的平均值 iSHeZ1 归一化常数 配分函数iS对 MC 模拟， 可以给予概率分布的意义。引入恰当随HeZ1机过程，产生一系列自旋构形NiNiii qeqeSSSS 10,当 足够大时，qeNNiNi qeqe SS1遵从 分布HZ1NnnNii qeSS1例 格点尺度LLii2关键：构造算法 各态历经 细致平衡单自旋翻转法每次只试图改变一个自旋的值，称迭代顺序扫描法按规则依次迭代点阵上所有自旋Heat-bath algorithm选定 ，取iS 1iEiEii SeW注意：这一算法的跃迁概率与 的值无关！i这与 Metropolis 的方法不同。的能量1iSE是的能量i是由于每次只迭代一
13、个自旋，与 无关的自旋的能量不必计算。iS设 0h ijjSSKEi iSijjijjS各态历经是显然的。细致平衡 111 iiSHEii ii eSSW练习： 构造 Metropolis 算法 构造二自旋迭代的 Heat-bath 和 Metropolis 算法在计算机上实现 Heat-bath 的算法选定 计算iSEeE,产生随机数 ，均匀分布1,0r如果 iESer则否则 1iS Ee0 1概率1iS磁化强度及其 次矩k1 当kikSLM21 LCT01K CT是二级相变点，亦称临界点，临界点附近的现象称临界现象，CT特征 标度行为/1/Mb为任意标度因子验证： /1/b对有限尺度体系/
14、1/1, ,kkkMLML 普适性只与对称性和空间维数有关。k,我们的任务：测量 LMKTkC,或在有限体系测量 的方法CTBinder cumulant2431MU1/1/,ULbL当 constUTC 1,0,0,测 得1L2301/ 0,1UL CTT测 得Uln1斜 率Lln 22/1/1/, ,MLbMbLbL 22/0,0,1MM/测 得 2ln斜 率 -2/LlnMC 方法* 计算机上的实验* 可以逼进准确解普适标度行为 关联系统的普遍规律过去几十年留下的重要概念之一 以标度行为基础，可测量 、CT 广泛应用于自然和社会第七节 短时临界动力学问题 1. 如何解决临界慢化困难？杰出
15、的工作：Cluster 方法非局域的迭代方法局限性 不能研究定域的动力学 不能任意推广例如：无序系统格点规范理论问题 2. 当 不太大，甚至相当小时，是否存在普适的标t度行为？传统答案 不存在近十年的答案 存在并且，可以给出问题 1的一种答案，原则可以应用于任何体系。关键：* 区分微观和宏观时间标度* 认真对待宏观初始条件初始条件 很小0,mT对 Ising model或 理论，磁化的 次矩4KJanssen等人，1989 年 展开 0110, ,k kxkzMtmLbMbtbmL 足 够 小，足 够 小，足 够 大 0 微观足够大tmic特征行为1、 不 太 大tL,0,0 00001, ,
16、1,xzz zxzz mMtbtbt btMtMt 足够小0m tZx0Mttmic有趣，几乎总有 磁化的初始增加。02、 不 太 大tLm,0,01011/0, , xzzMtbMtbmtFbtm很 小回到 1、的结果 0 0 Mln幂次行为被修正 =0 寻找幂次行为最好的温度， 0即得到 ，曲线的斜率即 。 CTC tln1/011zMtz 定 出3、 不 太 大，足 够 大 tLm,0 22211/, ,zzztLbbttMt4、 Lm,0,0时刻 的空间关联函数ti xiidStLxC1 te足够大 x在指数上，空间标度维数为零。设ztbt应有 1zxxttbt1/zt22idtSLM当 不太大时， 之间的空间关联长度不太大。tti的 邻 域是 ijLtSdijjd1,2 tM,2 ZdyLtd2定出 5、 不 太 大足 够 大 ， tm,0,02431,MLtU11/,z zLtUbtUt dztL足够大 可能会涨落大L取 2b2,1L:12,zUtLtL2,LtU, 1,2,LtU取正确的 z， tLtUt完 全 重 合 。和 21,优点：涨落小缺点：会有有限尺度效应小结： 201,CUzMxT初始条件 0 111, ,00, ,k kkzzzzmTtLbbtbLMttMLtbtb 1,zzCttT 0M1zt， 2ULtU,/dzt
