1、 海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义：形如 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才有意义【典型例题】 【例 1】下列各式 1） 2221,2)5,3,4)5(),6,7)13xa，其中是二次根式的是_（填序号） 举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、a101a212、在 、 2b、 x、 x、 3中是二次根式的个数有_个【例 2】若式子 13x有意义，则 x 的取值范围是 来源:学*科*网 Z*X*X*K举一反三：1、使代数式 4x有意义的 x 的取值范围是（ ）A
2、、x3 B、x3 C、 x4 D 、x3 且 x42、使代数式 有意义的 x 的取值范围是 213、如果代数式 有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（ ）mnA、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限【例 3】若 y= 5x+ x+2009，则 x+y= 解题思路：式 子 a（a0） ， 50, x，y=2009 ，则 x+y=2014海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）举一反三：1、若 1x2()xy，则 x y 的值为（ ）A1 B1 C2 D32、若 x、y 都是实数，且 y= ，求 xy 的值42323、当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出
3、这个最小值。a1a已知 a 是 整数部分，b 是 的小数部分，求 的值。5512ab若 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 。3 3若 的整数部分为 x，小数部分为 y，求 的值.17x2海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）知识点二：二次根式的性质【知识要点】 1. 非负性： 是一个非负数a()0注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到2. ()()2注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a()203. a2|()注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替（3
4、）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外4. 公式 与 的区别与联系aa20|()()()a20（1） 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数（2） 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数()2（3） 和 的运算结果都是非负的【典型例题】 【例 4】若 22340abc，则 cba 举一反三：1、若 ，则 的值为 。)1(2nmmn2、已知 为实数，且 ，则 的值为（ ）yx, 023yxyxA3 B 3 C1 D 13、已知直角三角形两边 x、y 的长满足x 24 0，则第三边长为.6524、若 与 互为相反数，则 。1ab24b0_a
5、b海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）（公式 的运用）)0()(2a【例 5】 化简： 21(3)a的结果为（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式: = ； = 23x42m429_,_x2、 化简： 313、 已知直角三角形的两直角边分别为 和 ，则斜边长为 25（公式 的应用）)0a(a2【例 6】已知 ,则化简 的结果是2x24xA、 B、 C、 D、 2x2x举一反三：1、根式 的值是( )23A-3 B3 或-3 C3 D92、已知 a0，b0 时，则： ； 11【典型例题】 【例 22】 比较 与 的大小。 （用两种方法解答
6、）35【例 23】比较 与 的大小。21【例 24】比较 与 的大小。5413【例 25】比较 与 的大小。765【例 26】比较 与 的大小38海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）二次根式典型习题集一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x0） 、 、 、-231x042、 、 （x 0，y 0） 21xy（二）最简二次根式1把二次根式 （y0 ）化为最简二次根式结果是（ ） yA （y0） B （y0） C （y0） D以上都不对xxyxy2化简 =_ （x0） 42y3a 化简二次根式号后的结果是_214. 已知 0，化简二次根式
7、 的正确结果为_xy2yx（三）同类二次根式1以下二次根式： ； ； ； 中，与 是同类二次根式的是（ ） 123273A和 B和 C和 D和2在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有_8753a95a0.18a3若最简根式 与根式 是同类二次根式，求 a、b 的值4b226b4.若最简二次根式 与 是同类二次根式，求 m、n 的值2m214n（四） “分母有理化 ”与“有理化因式”1. + 的有理化因式是_； x- 的有理化因式是 _23y- - 的有理化因式是_1x2.把下列各式的分母有理化（1） ； （2） ； （3） ； （4） 512632二、二次根式有意义的条件
8、： 海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）1 （1）当 x 是多少时， 在实数范围内有意义？31x（2）当 x 是多少时， + 在实数范围内有意义？2（3）当 x 是多少时， +x2 在实数范围内有意义？x（4）当 时， 有意义。_1x2. 使式子 有意义的未知数 x 有（ ）个2(5)A0 B1 C2 D无数3已知 y= + +5，求 的值xy4若 + 有意义，则 =_32x5. 若 有意义，则 的取值范围是 。1mm6要是下列式子有意义求字母的取值范围（1） (2) (3) (4)(5) (6)三、二次根式的非负数性1若 + =0，求 a2004+b2004 的值a1b2已知
9、 + =0，求 xy 的xy3x3.若 ，求 的值。240四、 的应用aa21 a0 时， 、 、- ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） 22()2A = - B -2a2()aC =22()a22先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 的值，甲乙两人的解答如下：21甲的解答为：原式=a+ =a+（1-a）=1；2()乙的解答为：原式=a+ =a+（a-1）=2a-1=17a两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_3若1995-a+ =a，求 a-19952 的值20a0a0 3x125x1x38x2海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）（提示：先由 a-2000
10、0，判断 1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）4. 若-3x2 时，试化简 x-2+ + 。2(3)x1025x5化简 a 的结果是（ ） 1A B C- D-aaa6把（a-1 ） 中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） 1A B C- D-11a五、求值问题:1.当 x= + ,y= - ,求 x2-xy+y2 的值572已知 a=3+2 ，b=3-2 ，则 a2b-ab2=_23.已知 a= -1,求 a3+2a2-a 的值4已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ +y2 ）-（ x2 -5x ）的值93x3y1y5已知 2.236，求（ - ）-（ + ）的值 （结果精
11、确到 0.01）80415456先化简，再求值（6x + ）- （4x + ） ，其中 x= ，y=27yx3xy36327当 x= 时，求 + 的值 （结果用最简二次根式表示）1221xx21x8. 已知 ，求 的值。2310x21x六、其他1等式 成立的条件是（ ）21xxA海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）Ax1 Bx-1 C-1x1 Dx1 或 x-12.已知 ，且 x 为偶数，求（1+x ） 的值962543计算（ + ） （ - ）的值是（ ） x11A2 B3 C4 D14.如果 , 则 x 的取值范围是 。5.如果 , 则 x 的取值范围是 。6.若 ,则 a
12、 的取值范围是 。7.设 a= ，b= ，c= ，则 a、b、c 的大小关系是 。233258.若 是一个整数，则整数 n 的最小值是 。n49.已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，试求 的值11b七、计算1. （- ） （m0，n0） 2.-3 （ ）32nm3n32m23mna23na（a0 ）a3. 4. 2211aa 2abab5. xyxy2()71x()a海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）6. 2ababab8、应用1铁路基的横截面是梯形 ABCD，如图，已知 AD=BC，CD=8cm ，路基的高度 DE=6cm，斜坡 BC 的坡比为 1： ，求路基下底宽 A
13、B 的长3度2如图，扶梯 AB 的坡比为 4；3，滑梯 CD 坡比为1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩从扶梯 A 走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下到 D，共经过多少路程？3如图，方格纸中小正方形的边长为 1， 是格点三角形，求：（1） 的面积（2） 的周长；ABCABCABC（3）点 C 到 AB 的距离。海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）二次根式提高测试题一、选择题1使 有意义的 的取值范围是（ ）13xx2一个自然数的算术平方根为 ，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（ 0a）（A） （B ） （C） （D ）1,a1,221,a21,a3若 ，则 等于（
14、 ）0x2x（A）0 （B） （C） （D）0 或xx4若 ，则 化简得（ ）,ab3ab（A） （B） （C） （D）abab5若 ，则 的结果为（ ）1ym2y（A） （B） （C） （D）222m2m6已知 是实数，且 ，则 与 的大小关系是（ ）,ab2abab（A） （B） （C） （D ）a7已知下列命题： ； ；25236 ； 233aaab其中正确的有（ ）（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D ）3 个8若 与 化成最简二次根式后的被开方数相同，则 的值为（ ）246m4 m（A） （B ） （C） （D）35138158海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得
15、外泄）9当 时，化简 等于（ ）12a2141a（A）2 （B） （C） （D）0a10化简 得（ ）243xx（A）2 （B） （C） （D）44x二、填空题11若 的平方根是 ，则 21x541_x12当 时，式子 有意义_313已知：最简二次根式 与 的被开方数相同，则 4ab2a _ab14若 是 的整数部分， 是 的小数部分，则 ， x8y8_xy15已知 ，且 ，则满足上式的整数对 有_209x0x,x16若 ，则 121_17若 ，且 成立的条件是_ xy3xyx18若 ，则 等于_ 0122144三、解答题1 9计算下列各题：（1） ；315206（2） 3247108.3aa20已知 ，求 的值 0600255a 24a21已知 是实数，且 ，求 的值.yx, 3922xy yx6522若 与 互为相反数，求代数式 的值.4221x 32341海豚教育个性化教案 （内部资料，存档保存，不得外泄）23若 满足 ，求 的最大值和最小值.abS、 、 357,23abSabS
