1、实验七 数字填图问题,数学实验,数字填图是数学问题的一种趣味形式。 如：魔方矩阵、费马定理等,数学问题一般都要经过严格的逻辑证明才能得以解决。但随着计算机的诞生和发展，计算机改变了整个世界，计算机已经在各个领域发挥着作用，并取得了许多重大发展。但能否用计算机来证明数学问题？,问题背景和实验目的,所谓计算机证明是指充分发挥计算机计算速度快和会“推理”的特点，用计算机程序模拟解题或进行穷举检验，最后得到问题的解。如著名的“四色问题”。但几乎所有的数学家对计算机证明持保留态度。,本实验通过生活中常见的数字填图问题，研究这类问题的逻辑推理解法和计算机解法。,问题背景和实验目的,问题一：在下面的几个加法
2、等式中，每个方框表示一个非零数字，且任意两个数字互不相同，问有多少个解？, ，, ，, ,0,逻辑推理解法,注：本实验中，表达式 abc 表示 a*100+b*10+c，其余类推,方程两边相加得：,45=2(c+f)+11,a,b,c,d,e,f,g,h,i,数字填图问题一,首先有： i=1,c+f=17,c=8,f=9 或 c=9,f=8,a+b+d+e+g+h =c+f+i0,+c+f+i,+c+f+i,由于 a,b,c,d,e,f,g,h,i 互不相同，为了简单起见，不妨设 a b，d e，g h，此时问题的解为：,c=8,f=9 或 c=9,f=8,记作,c,f=8,9,逻辑解法,事实
3、上，本问题只有两个解是本质的。,如果不要求 a b，d e，g h ，则解的个数为,逻辑解法,计算机解法,计算机解法,穷举法,可以用 Matlab、Mathematica、C 语言等编程，充分利用计算机运算速度快的特点进行穷举法检验。,计算机解法,% 程序伪码 n=0; % n 用来记录解的个数 for a=1:9for b=1:9for c=1:9for d=1:9for e=1:9for f=1:9for g=1:9for h=1:9for i=1:9如果 a,b,c,d,e,f,g,h,i 互不相等，且a+b=c, d+e=f, g+h=i, 则输出这个解，并令 n=n+1; end;e
4、nd;end;end;end;end;end;end;end;end,计算机解法,Matlab 源程序见 fulu1.m, fulu1B.m 和 fulu2.m,计算机解法,穷举法,可以用 Matlab、Mathematica、C 语言等编程，充分利用计算机运算速度快的特点进行穷举法检验。,Mathematica 源程序见 fulu4.nb,Turbo C 源程序见 fulu3.c,问题二：在下面的 4 个算式中，每个方框表示一个非零数字，且任意两个数字互不相同，问 (A)、(B)、(C)、(D) 这四种情形分别有多少个解？,情形 (C)、(D) 无解。(A)、(B) 实际上是同一个问题。,(
5、A),(B),(C),(D),数字填图问题二,逻辑推理解法,a,b,c,d,e,f,g,h,i,由九余数性质得：两个“加数”中的六个数字之和被 9 除的余数应该等于“和数”中三个数字之和被 9 除的余数，即：,(a+b+c+d+e+f)-(g+h+i)=9*k，k 为一个整数,又 (a+b+c+d+e+f)+(g+h+i)=9*5,g+h+i 是 9 的倍数,g+h+i=9 或 18,情形 (A) 求解,考虑 g+h+i=9 的情形, 若 g 400，与 g = 3 矛盾。,g+h+i=9, 若 g = 4，则 h+i = 5，故 h,i = 1,4 或 2,3；,逻辑解法,g 3,从而 g
6、5，与 g = 4 矛盾。,又 g = 4，故 h,i = 2,3，此时 a,d 最小为 1,5，,g 4, 若 g = 6，则 h+i = 3，故 h,i = 1,2， a,d 最小为 3,4，从而 g 6。,g+h+i=9, 当 g 6 时，因为 g+h+i = 9，故 h+i 3，无解。,当 g+h+i=9 时，问题无解, 若 g = 5，则 h+i = 4，故h,i = 1,3， a,d 最小为 2,4，从而 g 5。,逻辑解法,g 5,g 6,考虑 g+h+i=18 的情形,由前面的推理可知 g 3，下面按 g = 9,8,7,6,5,4 逐个讨论。,g+h+i=18, g=9，记
7、L=a+d，M=b+e，N=c+f，则：,a+b+c+d+e+f=45-18=27,L 只能为 8 或 9，M、N 不能超过 15，但至少有一个大于 10,逻辑解法,与问题一的解法相类似，可得满足上面的方程的解为：,a,d=2,7,b,e=3,4,c,f=5,6,a,d=3,6,b,e=2,5,c,f=4,7,解的个数为：,用同样的方法，可以求得 g=9 时其它七种情形的解的个数。,28,逻辑解法,当 g=9,h=8,i=1 时，a+d=9，b+e=7，c+f=11,完全类似地，可以得到 g=8,7,6,5,4 时，问题二中情形 (A) 的解的情况：,所以当 g=9 时，解的个数总共为：,总共
8、有 336 个解。,如果不考虑两个“加数”的上下位置， 则解的个数为： 336/2=168,逻辑解法,计算机解法,计算机解法,穷举法,% 程序伪码 n=0; % n 用来记录解的个数 for a=1:9for b=1:9for c=1:9for d=1:9for e=1:9for f=1:9for g=1:9for h=1:9for i=1:9如果 a,b,c,d,e,f,g,h,i 互不相等，且100*a+10*b+c+100*d+10*e+f=100*g+10*h+i 则输出这个解，并令 n=n+1; end;end;end;end;end;end;end;end;end;end,Matl
9、ab 源程序见 fulu5.m。,对于本问题，逻辑方法比较复杂，而计算机解法与问题一几乎没什么区别，所需时间也几乎一样。,计算机解法,计算机解法,穷举法,问题三：在右下方的加法算式中，每个方框表示一个非零数字，且任意两个数字互不相同，问有多少个解？,由于 g d 且 g d，故 g = d+1 且 g 2。,a,b,c,d,e,f,g,h,i,首先根据九余数性质，完全类似于问题二的讨论可知：,g+h+i=9 或 18,下面按 g=9,8,7,6,5,4,3,2 逐个讨论。,数字填图问题三,逻辑推理解法,问题三的逻辑解法, g=9，则 d=8，h+i=9, g=8，则 d=7，h+i=10,0,
10、g+h+i=9或18,问题三的逻辑解法, g=7，则 d=6，h+i=11, g=6，则 d=5，h+i=3 或 12,g+h+i=9或18,问题三的逻辑解法, g=5，则 d=4，h+i=4 或13, g=4，则 d=3，h+i=5 或 14,g+h+i=9或18,问题三的逻辑解法, g=3，则 d=2，h+i=6 或 15, g=2，则 d=1，h+i=7 或 16,g+h+i=9或18,问题三的逻辑解法,问题三 的解的情况表,所以问题三 总共有 168 个解。,问题三的计算机解法,Matlab 程序自己动手！（参考附录中的程序）,这里的三个问题都是有穷问题，如果是无穷问题，如“费马大定理
11、”，计算机可能就无能为力了。但如果能将无穷问题可以转化成有穷问题，则仍然可以发挥计算机的特长，如著名的“四色问题”。,下面介绍的两个问题，目前还没见到它们的逻辑解法，但利用计算机却可以成功解决。,计算机解法,穷举法,问题四：下面的加法等式中：两个真分数之和等于第三个真分数；其中每个方框表示一个非零数字，且任意两个数字互不相同，比如：,试找出所有这样的解。,本题可用计算机找到解答，共 10 个解。,如果用 fulu6.m 计算，却只能找到 6 个解；用Turbo C 可能找到 7 个、9 个或 “11” 个解。Why? 具体原因留给大家思考！,a,b,c,d,e,f,g,h,i,数字填图问题四,
12、问题五：两个假分数之和等于第三个假分数，其中每个方框表示一个非零数字，且任意两个数字互不相同，试找出所有的解。,自己动手编写 Matlab 程序,数字填图问题五,本题可用计算机找到解答，共 41 个解。,Matlab 的计时函数共有三类,Matlab 计时函数的调用,cputime：显示 Matlab 启动后所占用的 CPU 时间；tic,toc：秒表计时，tic 开始，toc 结束；clock,etime：clock 显示系统时间，etime计算两次调用 clock 之间的时间差。,t0=cputime; 你的 Matlab 程序; time=cputime-t0; % Matlab 程序的
13、运行时间,Matlab 计时函数介绍,tic; 你的 Matlab 程序; time=toc; % Matlab 程序的运行时间,t0=clock; 你的 Matlab 程序; time=etime(clock,t0); % Matlab 程序的运行时间,Matlab 计时函数介绍,例：example0701.m / example0702.m,教材 P. 113-114：练习 1、5、6,上机作业,写入实验报告册。,请在下周上机前（课后）将报告册中的问题背景与实验目的、实验原理和数学模型、实验所用软件及版本、主要内容、实验程序（参考附录）填写好，上机时验证你修改的实验程序，记录异常情况，完成实验报告，并在下周上机结束后即刻递交实验报告;并将结果存入文本文件(data?.txt)中。,练习 2、3、4 作为思考题，不必写入实验报告,
