1、3 差商与牛顿插值,一、差商及其性质,三、牛顿插值公式,四、牛顿插值法举例,二、差商的计算,五、牛顿插值法特点,一、差商及其性质,1. 差商的定义,二阶差商,一般的k阶差商定义为,特别地，f(x)关于一个点xi的零阶差商定义为函数值本身，即,1.差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性;,性质：,2.高阶差商可由低阶差商反复作一阶差商得到，计算具有递推性,3.若f(x)在a, b上存在n阶导数，则,思考题：设f(x)=x3，则 fx0, x1, x2, x3 = ? , fx0, x1, x2, x3, x4 = ?,答：1,0,二、差商的计算,例 已知函数y= f (x)的观测数据如下，试
2、构造差商表，并求 f 2,4,5,6的值,解 构造差商表如下,由表可知,f2,4,5,6,=5,二、牛顿差商插值多项式,由差商定义,可得,又,代入得,插值余项,牛顿插值 多项式,n=1,n=2,牛顿插值与拉氏插值的比较：,注：牛顿插值只需增加一项，拉氏插值需要重新计算！,1.由插值多项式的唯一性，两余项是等价的，即,2.牛顿插值法由差商表中的差商值可判断出插值多项式的次数，而拉氏插值法则要计算到最后。,两点说明：,例 已知函数y=f(x)的观测数据如下，试用全部节点构造牛顿差商插值多项式，并用二次插值求f(3)的近似值。,四、牛顿插值法举例,解 构造差商表如下,由表可知,用二次插值求f (3)时，取x0=2, x1=4, x2=5, 得,思考：若本题只给出前三个点，结果如何？请你总结牛顿插值法何时停止？,五、牛顿插值法的特点,特点,1.计算量省，便于程序设计,2.具有承袭性的插值公式，便于理论分析,作业： 习题 7,8,
